Topografia

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nivelacion de terrenos por regresion tridimensional

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  • 1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIN A DISTANCIA CENTRO ASOCIADO DE TORTOSANIVELACIN DE TERRENOS POR REGRESIN TRIDIMENSIONAL Una aplicacin de los mtodos estadsticosJOSEP MARIA FRANQUET BERNIS ANTONIO QUEROL GMEZ2010

2. Primera edicin, agosto de 2010 Josep Maria Franquet i Bernise-mail: jfbernis@iies.es Antonio Querol i Gmeze-mail: antonio.querol@geografs.orgISBN:Depsito legal:Edita: UNED-Tortosa. C/ Cervantes, n: 17, 43.500 TORTOSAImprime: Cooperativa Grfica Dertosense,C/ Cervantes, n: 21, 43.500 Tortosa.Tel.: 977 44 00 28Fax: 977 78 39 22e-mail: graficadertosense@hotmail.comImpreso en EspaaPrinted in SpainReservados todos los derechos de publicacin en cualquier idioma. La reproduccin total oparcial de esta obra mediante cualquier procedimiento, ya sea mecnico, ptico, reprografa obien tratamiento informtico, as como la distribucin de ejemplares por medios de alquiler oprstamo, estn rigurosamente prohibidos sin la autorizacin escrita previa del autor, exceptocitas, siempre que se mencione su procedencia, y sern sometidos a las sanciones establecidaspor la ley. Cualquier forma de reproduccin, distribucin, comunicacin pblica otransformacin de esta obra slo puede ser realizada con la autorizacin de sus titulares, salvoexcepcin prevista por la ley. Deben dirigirse a CEDRO (Centro Espaol de DerechosReprogrficos, www.cedro.org) si se necesita fotocopiar o escanear algn fragmento de estaobra.PRLOGO 3. En el trabajo que ahora te presentamos, amable lector, se tratafundamentalmente de buscar el plano de ajuste ptimo para la nivelacin deun terreno cualquiera (solar urbano, industrial o campo de cultivo), esto es,aqul que nos ofrece la mnima compensacin volumtrica de tierrasposible entre desmonte (corte) y terrapln (relleno), siguiendo lametodologa estadstica de aplicacin al caso. La suma de las discrepancias o diferencias de altura entre los puntosdel plano nivelado y los correspondientes del terreno original, afectadas desu signo correspondiente (desmonte o terrapln) debe ser nula, como puededemostrarse de la propia teora de la regresin minimocuadrtica. De estasuerte, el ajuste aqu propugnado debe ofrecer siempre una compensacinde tierras que resulta absolutamente ajustada y matemticamente perfecta,no obtenindose volmenes ni de tierras sobrantes ni de tierras a aportar ala parcela, salvando la consideracin de los pertinentes coeficientes deesponjamiento que haya que aplicar en su caso. Ello evidencia la granutilidad del mtodo expuesto. Este clculo puede ser contrastado, en todomomento, con la cuantificacin correspondiente mediante el estudio de losperfiles transversales y longitudinales de la parcela en estudio,determinados por la malla o red de vrtices considerados al efecto. As pues, con el sistema propugnado en el presente libro, trabajandoen el espacio tridimensional, el ajuste se producir de manera automtica,rpida y exacta, proporcionando al topgrafo una herramienta de trabajo deextraordinaria utilidad para la realizacin de este tipo de trabajos. Por otraparte, con nuestro sistema tridimensional puede obviarse la previaconfiguracin en malla o red de la situacin de las estacas o vrtices delterreno a nivelar, siendo suficiente el considerar una nube de puntos quecomprenda un nmero determinado pero suficientemente representativo delas cotas del terreno original, an estando distribuidos aleatoriamente por elmismo.As mismo, a ttulo meramente ilustrativo o recordatorio, se realizaalguna explicacin complementaria sobre los mtodos altimtricos y denivelacin de terrenos ms usuales, adjuntndose al final del libro algunosanexos ampliatorios acerca de los instrumentos matemticos o estadsticosempleados. Completamos nuestro trabajo con diversos cuadros, tablas,grficos, planos y fotografas, que deseamos confieran a nuestrainvestigacin un carcter mucho ms ilustrativo y exacto. Llegados a este punto, quisiramos puntualizar alguna ideajustificativa acerca del instrumental estadstico empleado. Efectivamente,tambin el pensamiento abstracto demuestra ser til en el enfoque de 4. problemas concretos como los propios de la topografa, y al buscar en elloslos esquemas esenciales surgen inesperadas analogas que sugierenelegantes soluciones a los mismos por la va del isomorfismo, es decir, porreduccin, simulacin o transplante de un mbito conceptual a otro deidntica estructura legal, pero de intuicin ms fcil o de recursostcnicos ms conocidos y manejables.Desde estas lneas, y en el marco limitado de estas reflexiones,queremos rendir tributo sincero de admiracin y agradecimiento a losexcelentes libros de texto y consulta existentes, citados en la bibliografa,sobre Topografa y Estadstica, habiendo sido influidos notablemente, ennuestros estudios, por el brillante trabajo de sus autores. A lo largo de una investigacin cuidadosa, como la que ahorapresentamos, se acumula toda una serie de dbitos intelectuales yprofesionales que resulta harto difcil describir en toda su extensin; pese aello, algunos nos parecen especialmente relevantes. Tampoco olvidan,quienes esto escriben, la formidable deuda de gratitud contrada con los quefueron sus guas y maestros, algunos de ellos ya desaparecidos. Nuestroreconocimiento, en fin, a las diversas instituciones que han apoyado laedicin del presente libro y, particularmente, al Patronato del CentroAsociado en Tortosa de la Universidad Nacional de Educacin a Distancia(UNED), a nuestro competente compaero en las tareas docentesuniversitarias Dr. Jordi Sard Pons por sus observaciones al modelo deajuste no lineal y, en general, a todos cuantos se han interesado por laelaboracin de esta monografa, aportando sugerencias y valiosos consejosdirigidos a la mejor consecucin de nuestro empeo. Muy particularmente,quisiramos agradecer a Jos Mara Franquet Jr. (cuntas horas!) sucuidadoso esmero puesto en la composicin y tratamiento del texto, eincluso sus acertadas observaciones en relacin a aspectos diversos de lapresente obra, ms bien propias de un experto profesional.Ignoramos las repercusiones de cualquier orden que este trabajopueda tener en el futuro, ms no dudamos en afirmar (puesto que el acervocomn del conocimiento humano se ha venido logrando por minsculasaportaciones sucesivas) que ningn noble empeo es despreciable a priori, ni ningn conocimiento puede tacharse de intil a perpetuidad,haciendo bueno aquel desprecia cuanto ignora del que lamentbase amargamente el poeta. Los nicos conocimientos que no se aplican jamsson los que no se tienen; los nicos esfuerzos baldos de verdad son los queslo quedan en meros proyectos o en declaracin de buenas intenciones. 5. Y para que del propio soar nazcan nuevas y fecundas realizaciones,brindamos nuestra aportacin a todos los estudiosos de los temastopogrficos y a las empresas constructoras especializadas en estosmenesteres, confiando y deseando que pueda reportar un extenso campo deutilidades a quienes, seducidos por una loable inquietud tcnica oespoleados por la perentoriedad de mejorar su trabajo profesional, nosdispensen el inmenso honor de consultarla.Tortosa, junio de 2010LOS AUTORESCAPTULO 1 CONCEPTOS PREVIOS1. OBJETIVOS E INTRODUCCIN 6. La Topografa es la ciencia que estudia la representacin grfica de unterreno sobre el papel o la pantalla de un ordenador con las tcnicas yprocedimientos de campo y gabinete necesarias para lograrlo.Recurriendo al amparo de sus races etimolgicas griegas, veamos queTopos significa (lugar) y Graphos (descripcin). As pues, se trata deproceder a la descripcin de un lugar o zona de la superficie de la tierra ysu representacin grfica, es decir, con sus formas y detalles, tantonaturales como artificiales, refirindose por tanto a su planimetra yaltimetra. La Topografa, pues, se puede entender como una ciencia geomtrica aplicada a la descripcin de la realidad fsica inmvil circundante. Consiste en plasmar en un plano la realidad vista en campo, en el mbito rural o natural, de la superficie terrestre; enel mbito urbano, es la descripcin de los hechos existentes en un lugar determinado: muros, edificios, calles, entre otros. Es laciencia que estudia el conjunto de procedimientos para determinarlas posiciones de puntos sobre la superficie de la tierra por mediode medidas segn los tres elementos del espacio. Estos elementos pueden ser: dos distancias y una elevacin, o bien una distancia,una direccin y una elevacin.Para la medicin de distancias y elevaciones se emplean unidades delongitud (operando, normalmente, en el sistema mtrico decimal), y paradirecciones se emplean unidades de arco (grados sexagesimales, gradoscentesimales, radianes o milsimas artilleras). El conjunto deoperaciones necesarias para determinar las posiciones de puntos yposteriormente su representacin en un plano es lo que se llamacomnmente "levantamiento topogrfico". La mayor parte de loslevantamientos, tienen por objeto el clculo de superficies y volmenesas como la representacin de las medidas tomadas en el campomediante perfiles y planos, por lo cual estos trabajos tambin seconsideran incluidos dentro de la Topografa.Se puede dividir el trabajo topogrfico como dos actividadescongruentes: llevar "el terreno al gabinete" (mediante la medicin de puntos o relevamiento, su archivo en el instrumentalelectrnico y luego su edicin en la computadora) y llevar "elgabinete al terreno" (mediante el replanteo por el camino inverso, es decir, desde un proyecto residente en la computadora a la ubicacin del mismo mediante puntos sobre el terreno). Los 7. puntos relevados o replanteados tienen un valor tridimensional; esdecir, se determina la ubicacin de cada punto en el plano horizontal (de dos dimensiones, norte y este) y en altura (terceradimensin) mediante las tres coordenadas cartesianasrectangulares X, Y, Z.La Topografa no slo se limita a realizar los levantamientos de campo enel terreno sino que posee componentes de edicin y redaccincartogrfica para que, al confeccionar un plano, se puede entender elfonema representado a travs del empleo de smbolos convencionales yestndares previamente normados para la representacin de los objetosnaturales y antrpicos en los mapas o cartas topogrficas.Esta representacin tiene lugar sobre superficies planas, limitndose apequeas extensiones de terreno, utilizando la denominacin degeodesia para reas mayores. De manera muy simple, puede decirseque para un topgrafo la Tierra es plana, mientras que para un geodestano lo es. Para eso se utiliza un sistema de coordenadas tridimensional,siendo la X y la Y competencia de la planimetra, y la Z de la altimetra.Los mapas topogrficos utilizan el sistema de representacin de planosacotados, mostrando la elevacin del terreno utilizando lneas queconectan los puntos con la misma cota respecto de un plano dereferencia, denominadas curvas de nivel (cuya conceptualizacinmostraremos en el siguiente captulo de nuestro libro), en cuyo caso sedice que el mapa es hipsogrfico. Dicho plano de referencia puede ser ono el nivel del mar, pero en caso de serlo se hablar normalmente dealtitudes en lugar de cotas.No pretendemos en este trabajo realizar un completo tratado olibro sobre los trabajos topogrficos en general, ni siquiera losaltimtricos, sino ms bien sobre cmo emplear un mtodo declculo original por regresin tridimensional, de un trabajo topogrfico de cualquier terreno, ya sea para efectuar unaexplanacin ptima del mismo o bien para una nivelacin y su posterior curvado.Las cotas de proyecto de rasante y subrasante de las obras deexplanacin de terrenos establecen la necesidad de modificar el perfilnatural del suelo, siendo necesario, en algunos casos, rebajar dichascotas, y en otros casos elevarlas. En el primer caso corresponde ejecutarun trabajo de "corte o excavacin", y en el segundo, un trabajo de"relleno o de terrapln". En ambos casos debe efectuarse lo queconstituye propiamente un movimiento de tierras. 8. En numerosas obras de ingeniera, el captulo de movimientosde tierras tiene un peso especfico muy importante en elpresupuesto de la actuacin. Es fundamental llevar un controlriguroso de los volmenes de tierra en desmonte y terrapln,con el fin de evitar conflictos a la hora de valorar el trabajorealizado. En algunas obras de ingeniera los movimientos detierras pueden llegar a suponer el 65% del presupuesto totaldel proyecto; este es el caso, por ejemplo, de lasrestauraciones medioambientales de antiguas zonas mineras.Pero, cul es la principal novedad que aportamos en este estudio?.Sencillamente, estriba en el modelo que utilizamos para obtener unacompensacin inicial exacta de volmenes (de desmonte y de relleno)al transformar una parte de cualquier terreno natural, basada,adems, en el mnimo movimiento de tierras preciso para conseguirla susodicha compensacin.Qu nos ofrece o aporta este mtodo de cubicacin?. Las ventajas deeste procedimiento son varias, a saber:1.La primera obtener, sin tanteos previos, la nivelacin decualquier terreno con el menor movimiento de tierras posible.2.La segunda, es que este movimiento de tierras estcompensado exactamente, es decir el volumen de corte odesmonte siempre ser igual al de relleno o terraplenado.3.La tercera es que el mtodo propugnado no requierenecesariamente el establecimiento de una malla cuadriculadao red regular de vrtices para tomar las lecturas de las cotastaquimtricas del terreno inicial.4.La cuarta es la facilidad y rapidez precisas para su clculo yaplicacin.Los que llevamos ya una cierta cantidad de aos en la profesin,sabemos de la importancia de una primera cubicacin y lo que cuesta irrealizando tanteos previos sobre el plano curvado, hasta conseguir unacompensacin de tierras aceptable. Por tanto -pensamos modestamentelos autores- que disponer de un mtodo rpido que nos permita lograruna cubicacin con un mnimo movimiento y compensacin absoluta detierras, resulta esencial para cualquier profesional dedicado a este tipo deobras de tierra.Es posible que esta primera cubicacin, efectuada con el mnimomovimiento de tierras, no cumpla las expectativas de la propiedad,proyectista o administracin correspondiente, por requerir ciertos 9. condicionamientos previos (cotas predeterminadas de nivelacin,perentoriedad de salvar obstculos naturales o artificiales, ...). Pues bien,a partir de este punto podemos ceirnos a sus indicaciones, y a base desucesivos tanteos o con este mismo mtodo buscar otras soluciones quecumplan satisfactoriamente los requerimientos sealados por lospromotores o proyectistas.2. BREVE RESEA HISTRICA DE LA TOPOGRAFALos primeros registros sobre la topografa los encontramos en lacivilizacin babilnica cerca del ao 3000 a.C., puesto que ya utilizabancuerdas y cadenas para sus mediciones. Pero es durante la civilizacinegipcia, hacia el ao 2600 a.C. cuando stos inventan el que podra serel primer aparato topogrfico, la plomada egipcia, con la queconstruyeron sus fabulosas pirmides. Herdoto 1 nos informa acerca delreinado del faran Sesostris (aproximadamente en el 1400 a.C.), quiendividi el imperio egipcio en diferentes lotes para el pago de impuestos.El ro Nilo inundaba -como es bien sabido- anualmente sus mrgenes, yde esta forma se design a los topgrafos para restablecer las orillas ylinderos. Se les denominaba estiracuerdas, por ser ste el sistema queutilizaban aquellos para realizar su labor.1Herdoto est considerado como el padre de la Historia; sin embargo, su trascendencia va ms all dela simple narracin de hechos y como tal tambin es considerado uno de los primeros cientficos.Herdoto naci en la antigua Halicarnaso, la actual ciudad turca de Bodrum, situada en el Asia Menor, enlo que hoy es la costa Egea de Turqua. Respecto a sus fechas de nacimiento y muerte no hay datosconcluyentes, pero se cree que debi de estar fechado aproximadamente entre el 485 y 425 a.C., unos150 aos anterior a la Biblioteca de Alejandra. Su familia era rica y liberal, lo que le debi de dar unabuena formacin de joven. Sin embargo, en esos tiempos la parte griega de Asia Menor estaba bajodominio Persa, lo que oblig a sus ciudadanos y barcos a luchar contra sus propios hermanos del Hlade(mundo griego). Hacia el 457 a.C. Herdoto huy a Samos por sus conflictos con el gobierno local y novolvera hasta el 450 a.C., cuando tom parte en la campaa para expulsar a Ligdamis, tirano de laciudad. Sin embargo, las disputas y envidias en su ciudad le decidieron a abandonarla para siempre. Aslleg a Atenas en el momento de su mximo esplendor, donde conoci al propio Pericles, gobernantedemocrtico de la ciudad. Tambin fue amigo de Sfocles y Anaxgoras. Herdoto lleg a recibir delestado ateniense una grandsima cantidad de dinero por su entusiasta investigacin histrica, en dondedestacaron sus viajes por casi todo el mundo conocido. En el 444 a.C. decidi trasladarse a la coloniaateniense de Tirio, al sur de Italia (Magna Grecia), con otros intelectuales como Hipodamo, constructordel Pireo. Herdoto debi de volver a Atenas poco despus del comienzo de la guerra del Peloponeso,aunque retorn a Tirio ms tarde, donde muri en plena labor de recopilacin de su obra. 10. De los sabios griegos Thales de Mileto 2 y Anaximandro 3, ste ltimoinventor del Gnomon, es de quienes se conocen las primeras cartasgeogrficas, las observaciones astronmicas y el establecimiento de ladireccin norte. Eratstenes 4, fue el primero que calcul (o al menos lointent) las dimensiones de la Tierra, estableciendo que sta tena unacircunferencia de unas 25.000 millas 5 con una aproximacinextraordinaria, habida cuenta de que las mediciones actuales la sitan en40.075 km. la ecuatorial y en 40.007 km. la polar, con una excentricidadde 000329. Hacia el ao 200 a.C., concluy que las ciudades deAlejandra y Siena en Egipto, estaban localizadas en el mismo meridiano,al realizar mediciones en ambas ciudades durante el solsticio de veranopor el reflejo del sol en la cara del agua de unos pozos profundos deestas ciudades. Hiparco 6 crea la teora de los meridianos convergentes y2Thales de Mileto (Mileto, hoy desaparecida, actual Turqua, 624 a.C.-?, 548 a.C.) fue un filsofo ymatemtico griego. En su juventud viaj a Egipto, donde aprendi geometra de los sacerdotes de Menfisy astronoma, que posteriormente enseara con el nombre de astrosofa. Dirigi en Mileto una escuela denutica, construy un canal para desviar las aguas del Halis y dio acertados consejos polticos. Fuemaestro de Pitgoras y Anaxmedes, as como contemporneo de Anaximandro.3Anaximandro (Mileto, actual Turqua, 610 a.C.-id., 545 a.C.) fue un filsofo, gemetra y astrnomogriego. Discpulo de Thales, Anaximandro fue miembro de la escuela de Mileto, y sucedi a Thales en ladireccin de la misma. Segn parece, tambin fue un activo ciudadano de Mileto, y condujo unaexpedicin a Apolonia (Mar Negro). Anaximandro se dedic a mltiples investigaciones, que le llevarona la afirmacin de que la Tierra es esfrica y que gira en torno a su eje. Tambin se le atribuye el trazadode un mapa terrestre, adems de otros trabajos como la fijacin de los equinoccios y los solsticios, y elclculo de las distancias y los tamaos de las estrellas, as como la elaboracin de un reloj de sol y de unaesfera celeste.4Eratstenes posea una gran variedad de conocimientos y aptitudes para el estudio. Astrnomo, poeta,gegrafo y filsofo, fue apellidado Pentathlos, nombre que se reservaba al atleta vencedor en las cincocompeticiones de los Juegos Olmpicos. Suidas afirma que tambin era conocido como el segundoPlatn, y diversos autores dicen que se le daba el sobrenombre de Beta (por , la segunda letra delalfabeto griego), porque ocup el segundo lugar en todas las ramas de la ciencia que cultiv.5Ello resulta equivalente a 40.225 km. La milla es una unidad de longitud que no forma parte del sistemamtrico decimal. De origen muy antiguo, fue heredada de la Antigua Roma y equivala a la distanciarecorrida con mil pasos, siendo un paso la longitud avanzada por un pie al caminar -el doble que lo queahora se considerara un paso- (en latn: milia passuum). La milla romana meda unos 1.480 m. frente alos 1.609 m. actuales o los 1.852 m. de la milla nutica, y por tanto, un paso simple era de unos 74 cm.Como herencia romana (antes de establecerse el sistema mtrico) la milla, terrestre o martima, fue una delas principales medidas de longitud empleadas en el mundo occidental (si bien su longitud difera de unpas a otro). Con la introduccin del sistema mtrico, los pases latinos y otros muchos comenzaron a usarel metro y sus mltiplos para medir las distancias terrestres, y actualmente se utiliza en todo el mundo,excepto en los pases anglosajones y los de su mbito de influencia, donde todava utilizan la milla(aunque oficialmente ya est implantado el sistema internacional de medidas y con el tiempo adoptarn elmetro).6Hiparco de Nicea fue el observador ms grande de la antigedad, tanto que su catlogo estelar, quecontena posiciones y brillos de unas 850 estrellas, fue superado en precisin solamente en el siglo XVI.Su escala de los brillos aparentes, que distingue seis magnitudes diferentes, est en la base de la actualclasificacin fotomtrica de las estrellas. Por otra parte, hizo el notable descubrimiento de la precesin delos equinoccios, es decir, del desplazamiento de los puntos equinocciales puntos comunes a la eclptica yal ecuador celeste- a lo largo de la eclptica. Para ello, procedi a desarrollar un mtodo que anteriormentehaba sido ideado por Aristarco; midi la distancia y el tamao de la Luna. Por otro lado, invent latrigonometra esfrica que increment el potencial del clculo; renov las matemticas, herramienta 11. otros, como Estrabn 7, Plinio el Viejo 8 y Plinio el Joven 9, sonconsiderados los fundadores o padres de la geografa. Finalmente,Ptolomeo 10 actualiz los planos de la poca de los Antnimos. Sustcnicas para la medicin de ngulos verticales o cenitales se utilizaronhasta la Edad Media.Los griegos utilizaron tambin otros aparatos adems del gnomon comola dioptria, para medir ngulos y el corobates, que consista en una reglaesencial de la cosmologa, astrofsica y astronoma, a la que perfeccion con nuevos instrumentos.Conocedor de la distancia y de los movimientos de la Luna y en posesin de una teora mejor que la desus predecesores acerca de la rbita solar, Hiparco pudo conseguir satisfacer una de las principalesexigencias de la astronoma antigua: la prediccin de eclipses, cuestin que para los griegos, antes deHiparco, constitua un serio problema, ya que tan slo contaban para desarrollar sus predicciones sobreeclipses con el mtodo del saros de los babilonios.7 Estrabn (60 a.C.-21 d.C.), griego de Amas, estado de Ponto (actual Amas, Turqua), fue un granviajero que recorri casi todo el mundo conocido y un importante gegrafo de la poca romana. Alregreso de sus viajes, y durante su larga estada en Roma, Estrabn escribe su ms importante obratitulada Geographik, el principal documento de aquella poca que ha llegado hasta nosotros.8Plinio el Viejo (23 d.C.-79 d.C.), escritor latino. Tras estudiar en Roma, a los veintitrs aos inici sucarrera militar en Germania, que habra de durar doce aos. Lleg a ser comandante de caballera antes deregresar a Roma, en el ao 57, para entregarse al estudio y el cultivo de las letras. A partir del ao 69desempe varios cargos oficiales al servicio del emperador Vespasiano. Agudo observador, fue autor dealgunos tratados de caballera, una historia de Roma y varias crnicas histricas, hoy perdidas.nicamente se conserva su Historia natural (77), que comprende 37 libros y est dedicada a Tito. Escritaen un lenguaje claro y con un rico vocabulario, contiene gran cantidad de informacin sobre las msdiversas disciplinas y constituye un importante tratado enciclopdico que recopila todo el saber de laAntigedad.9Plinio el Joven (62 d.C.-113 d.C.), era sobrino de Plinio el Viejo, considerado como el mejor naturalistade la antigedad. Siendo nio Plinio perdi a sus padres, quedando bajo la tutela de Lucio Verginio Rufo(un influyente general del ejrcito romano). Posteriormente fue adoptado por su to Plinio el Viejo, quienlo mand a estudiar a Roma, con profesores ilustres como Quintiliano y Nices Sacerdos. Comenz lacarrera de leyes a la edad de 19 aos, creciendo su reputacin en este campo muy rpidamente. Plinio,siendo un hombre honesto y moderado, fue ascendiendo por el cursus honorum (cargos administrativosciviles y militares de la Repblica).10 Claudio Ptolomeo, astrnomo, matemtico y gegrafo egipcio del siglo II de la era cristiana, nace enTolemaida Hermia (en el Alto Egipto), alrededor del ao 100, y vive y trabaja en Alejandra. Su ingeniorivaliz con el del gran Hiparco de Nicea y, en su poca, pocos lo sobrepasaron en conocimiento dentrode varios campos cientficos, al margen del de la astronoma y cosmologa. Para su uso como astrnomoinvent una trigonometra, tan completa, que sobrevivi todo el perodo de la Edad Media. Descubri elsiguiente teorema: "La suma de los productos de los lados opuestos de un cuadriltero cclico es igual alproducto de las diagonales", a partir del cual logr desarrollar varias expresiones trigonomtricas.Ptolomeo expuso su doctrina en los trece libros de su Gran composicin matemtica, que recibi de lostraductores rabes el ttulo consagrado de Almagesto. Ningn escrito astronmico de la Antigedadtuvo un xito comparable a la obra de Ptolomeo, cuyos principios permanecieron indiscutidos hasta elRenacimiento. Pero es menester agregar, adems, que los mritos de Ptolomeo no slo estaban limitadosa la ciencia del cielo: fue con Eratstenes y Estrabn uno de los eminentes gegrafos de la Antigedad.Para representar la superficie esfrica del globo sobre una superficie plana, cre un sistema deproyecciones: los paralelos son crculos con el centro en el Polo Norte; los meridianos, lneas rectas queconvergen en el Polo. La imagen que Ptolomeo forjaba de tierras lejanas es, sin duda, fantstica, mientrasque la descripcin de la cuenca del Mediterrneo revela la exactitud, notable para la poca, de sus fuentes,que son mapas militares del Imperio Romano. 12. con un surco que se llenaba con agua y haca la funcin de nivel. Sepuede considerar como antecesor del teodolito el astrolabio 11 de Hiparco,que fue contemporneo de Ptolomeo.Los romanos, portadores de los conocimientos griegos por Europa,utilizaron un aparato que se descubri en Bavaria y que se llamaba laGroma, para observar y establecer lneas y ngulos rectos. Era unaespecie de alidada, que proyectaba rectas o plomadas trabajando sloen el plano horizontal, o sea, sin diferencias de cota. Como los romanosconstruan sus ciudades, colonias o campamentos basados en planosortogonales siguiendo el modelo clsico, ste era el aparato perfectopara establecer las alineaciones de caminos, calles y las parcelacionesde sus centuriaciones. Su inconveniente principal era el viento, pero esteaspecto meteorolgico tambin nos ha venido afectando a los topgrafosen siglos posteriores y, por cierto, con mucho mejores aparatos a nuestradisposicin. Vitruvio 12 hace referencia a los carros medidores dedistancias por medio de contadores de vueltas, y fue el constructor de la11El astrolabio es un instrumento que permite determinar las posiciones de las estrellas sobre la bvedaceleste. La palabra astrolabio significa etimolgicamente "el que busca estrellas" y debe su procedencia algriego ("", estrella y "", del verbo "": tomar, agarrar). En realidad no se sabe bienquien fue el inventor original. Algunas obras de Ptolomeo ya describen su construccin (Almagesto), lascuales fueron utilizadas por otros cientficos como Hipatia para hacer mejoras en los clculos. Se conoceque Hipatia trabaj con su padre para hacer correcciones en el Almagesto de Ptolomeo y construy unastrolabio. An as, tambin sabemos que Hiparco de Nicea ya construa astrolabios antes que Ptolomeo eHipatia. Para el siglo VIII ya era ampliamente conocido en el mundo islmico y en Europa en el siglo XII.An cuando existen vestigios de la cultura Sumeria, desde 5000 a.C., que demuestra que los astrlogossumerios lo utilizaban para saber las posiciones de las estrellas. Durante los siglos XVI a XVIII elastrolabio fue utilizado como el principal instrumento de navegacin hasta la invencin del sextante.12 Vitruvio fue un ingeniero del ejrcito romano (denominacin que engloba los actuales oficios deIngeniero y Arquitecto, altamente especializados y expertos, pues construan carreteras, puentes yacueductos, fuertes, edificios pblicos y privados, mquinas de asedio...). Marco Vitruvio Polin viviaproximadamente en el siglo I a.C., desarrollando su labor bajo los mandatos de los emperadores Csar yAugusto. Los diez libros que componen "De Architectura" se redactaron entre el 35 y el 25 a.C., y sudestinatario fue con toda seguridad Augusto. "De architectura libri decem" es , por tanto, el tratado msantiguo de Arquitectura que se conoce. Redescubierto por los italianos varios siglos ms tarde, fuetomado como referencia para la recuperacin de la arquitectura greco-latina por los arquitectos de lapoca. El tratado de Vitruvio abarca un amplio abanico de temas ms o menos relacionados con laarquitectura en s, en coherencia con la idea antigua de que el conocimiento cientfico-tcnico deba ser loms extenso posible. Encontramos en l los principios de la formacin del arquitecto, los cnonescontemporneos de la arquitectura, los tipos de edificios, etc.; pero tambin temas de Astronoma,cuadrantes solares, ingeniera militar o una curiosa teora sobre la evolucin de la Humanidad. Vitruvioana la teora con la prctica y la normativa. Su obra tuvo una gran relevancia durante el Renacimiento,convirtindose en un libro de consulta obligada para arquitectos e ingenieros, y sigue siendo un hito en lahistoria de la literatura cientfica. Lamentablemente, los planos que acompaaban a la obra se perdieronen siglos sucesivos, dificultando enormemente la comprensin de las descripciones de los diversosingenios y mquinas. La obra del arquitecto es la de un amante del clasicismo, evidente en su crtica delas "nuevas tendencias" que se estaban poniendo de moda en su poca y que chocaban con su mentalidadde arquitecto militar, prctico y orientado a la solidez y la durabilidad de sus diseos. Por si esto fuerapoco, su narracin no es puramente un aburrido texto docente, sino que incluye interesantes ancdotas ycuriosidades de arquitectos, asedios y mtodos prcticos para , por ejemplo, localizar agua en un terreno obien cmo aplicar la acstica en la construccin de anfiteatros y plazas. 13. primera escuadra y cartabn aplicando el fundamento derivado deltringulo rectngulo de Pitgoras 13 (lados de 3-4-5 metros).Posteriormente, los rabes apoyndose en los conocimientos de losgriegos y romanos, usaban astrolabios divididos en 5 minutos de arco.Usbeke Biruni dise hacia el ao 1000 d.C., la primera mquina para lagraduacin de crculos. Sobre el ao 1300, descrito por Levi BenGershon 14, se conoce un curioso mecanismo empleado para la medidaindirecta de distancias, posteriormente conocido como la barra deJacob, mediante el movimiento de una barra perpendicular a otraprincipal graduada, que proporcionaba as los ngulos paralcticos.Ms tarde, ya en Europa occidental, en el S-XIII, se mejoran los trabajostopogrficos a partir de la invencin de las cartas planas, la aplicacin dela brjula (inventada por los chinos) y su desarrollo posterior porLeonardo Da Vinci 15 y Schmalcalder, como instrumento precursor delteodolito.13 Pitgoras (582 a.C.-500 a.C.), filsofo y matemtico griego, cuyas doctrinas influyeron mucho enPlatn. Nacido en la isla de Samos, Pitgoras fue instruido en las enseanzas de los primeros filsofosjonios: Thales de Mileto, Anaximandro y Anaxmenes. Se dice que Pitgoras haba sido condenado aexiliarse de Samos por su aversin a la tirana de Polcrates. Hacia el 530 a.C. se instal en Crotona, unacolonia griega al sur de Italia, donde fund un movimiento con propsitos religiosos, polticos yfilosficos, conocido como pitagorismo. Entre las amplias investigaciones matemticas realizadas por lospitagricos se encuentran sus estudios de los nmeros pares e impares y de los nmeros primos y de loscuadrados, esenciales en la teora de los nmeros. Desde este punto de vista aritmtico, cultivaron elconcepto de nmero, que lleg a ser para ellos el principio crucial de toda proporcin, orden y armona enel universo. A travs de estos estudios, establecieron una base cientfica para las matemticas. Engeometra, el gran descubrimiento de la escuela fue el teorema de la hipotenusa, conocido como teoremade Pitgoras, que establece que el cuadrado de la hipotenusa de un tringulo rectngulo es igual a la sumade los cuadrados de los otros dos lados menores (catetos).sus estudios14 Levi ben Gershon (en hebreo, ,) mejor conocido como Gersnides o Ralbag (Bagnols-sur-Cze, Languedoc, 1288-1344) fue un famoso rabino, filsofo, talmudista, matemtico, astrnomo yastrlogo. Fue uno de los ms importantes comentadores bblicos de su tiempo.15 Leonardo da Vinci fue un artista, pensador e investigador italiano que, por su insaciable curiosidad ysu genio polifactico, representa el modelo ms acabado del hombre del Renacimiento (Vinci, Toscana,1452 - Amboise, Turena, 1519). Leonardo da Vinci era hijo ilegtimo de un abogado florentino, quien nole permiti conocer a su madre, una modesta campesina. Leonardo se form como artista en Florencia, enel taller de Andrea Verrochio; pero gran parte de su carrera se desarroll en otras ciudades italianas comoMiln (en donde permaneci entre 1489 y 1499 bajo el mecenazgo del duque Ludovico Sforza, el Moro)o Roma (en donde trabaj para Julio de Mdicis). Aunque practic las tres artes plsticas, no se haconservado ninguna escultura suya y parece que ninguno de los edificios que dise lleg a construirse,por lo que de su obra como escultor y arquitecto slo quedan indicios en sus notas y bocetos personales.Interesado por todas las ramas del saber y por todos los aspectos de la vida, los apuntes que dejLeonardo (escritos de derecha a izquierda y salpicados de dibujos) contienen tambin incursiones en otrosterrenos artsticos, como la msica (en la que destac tocando la lira) o la literatura. Segn su criterio nodeba existir separacin entre el arte y la ciencia, como no la hubo en sus investigaciones, dirigidas deforma preferente hacia temas como la anatoma humana (avanzando en el conocimiento de los msculos,el ojo o la circulacin de la sangre), la zoologa (con especial atencin a los mecanismos de vuelo de avese insectos), la geologa (con certeras observaciones sobre el origen de los fsiles), la astronoma (terrenoen el que se anticip a Galileo al defender que la Tierra era slo un planeta del Sistema Solar), la fsica ola ingeniera. 14. A partir de la poca de los grandes descubrimientos, ya entrados en elsiglo XV, comienza el periodo de la topografa moderna, con la aparicindel periscopio, el sextante y otros aparatos que permitieron la realizacinde nuevas mediciones, la navegacin y la circunvalacin del globoterrqueo.Es importante, en este crucial momento histrico, la labor de loscartgrafos espaoles en el nuevo mundo, como Juan de la Cosa 16, o ladel italiano Americo Vespucci 17, que dio nombre al nuevo continente. Esla gran poca de la cartografa de los portulanos. En Amrica, desde lostiempos de la conquista, aunque con posterioridad, la aplicacin concretay el desarrollo de la Topografa nos presenta un panorama brillantementejalonado por los trabajos de Mutis, el alemn Alexander Von Humboldt 18,16 Juan de la Cosa fue un navegante espaol (Santoa, Cantabria, ? - Turbaco, Colombia, 1509).Particip como cartgrafo en el segundo viaje de Cristbal Coln (1493-95) y es posible que tambinestuviera presente en el primero, que descubri Amrica (aunque el que figura como maestre de la SantaMara podra ser otro del mismo nombre). En 1499-1500 organiz su propia expedicin dedescubrimiento por las costas de Guayana y Venezuela, en la que le acompaaron Alonso de Hojeda yAmrico Vespucci. Al regresar a la Pennsula elabor para los Reyes Catlicos el primer mapa en el queaparece el continente americano, obra fechada en 1500 en el Puerto de Santa Mara, que le haproporcionado su lugar en la Historia. En dicho mapa reflej los resultados de los descubrimientos deColn, Hojeda, Vasco da Gama, Cabral, Pinzn y Juan Caboto, acertando al suponer que las tierrasdescubiertas en el norte y el sur de Amrica estaban unidas formando una nica masa continental; Cubaaparece identificada como una isla, en contra de lo que crea Coln; y el contorno de frica est dibujadopor primera vez con su forma correcta. En cambio grandes zonas de Asia estn vacas por serdesconocidas o bien porque se identificaban an con las Indias descubiertas por Coln.17 Amrico Vespucci (Florencia 1451-Sevilla 1512) fue el tercer hijo de Nastagio Vespucci y Lisa diGiovanni Mini. En 1472 su bien situada familia fue retratada por Domnico Ghirlandaio. Su to GiorgioAntonio le dio a conocer las ideas de Aristteles y Ptolomeo en la escuela que diriga en el convento deSan Marcos, donde Paolo Toscanelli (1397-1482) estaba al frente de la librera. Toscanelli era el mejorcosmgrafo de la poca, reproduca y coleccionaba gran cantidad de mapas y se planteaba la idea dealcanzar las Indias viajando hacia el oeste. Amrigo o Amrico aprendi latn y lea apasionadamente aVirgilio, Dante y Petrarca. En 1478 march a Pars donde desempe funciones administrativas para suto Guido Antonio Vespucci, que haba sido designado embajador de Lorenzo el Magnfico en la corte deLuis XI. Su estancia en Francia le sirvi para completar su avanzada formacin. Tras la muerte de supadre (1482) regres a Florencia y entr al servicio de la familia Medici hasta 1491. En 1492 se traslada aSevilla y sigue trabajando como representante comercial de esta familia, al servicio de Juanoto Berardi,florentino dedicado al comercio de oro y esclavos y proveedor de los aprestos de las naves en las travesasal Nuevo Mundo. Tras la muerte de Berardi (1496), decidi dedicarse a la navegacin. Se interes por losviajes de Coln y probablemente invirti en el segundo de ellos. Se cree que haba tomado parte en cuatroexpediciones atlnticas, pero en la dcada de 1930 se sugiri que el relato autntico de sus viajes estabacontenido en su correspondencia privada con los Mdicis, en cuyo caso el nmero real quedara reducidoa dos.18El prusiano Alexander von Humboldt (1769-1859) es uno de los grandes naturalistas de la historia. En1799, durante el reinado de Carlos IV, efectu un viaje por la Pennsula Ibrica y las Islas Canarias en elque no slo hizo una mera escala en su clebre viaje a tierras americanas, sino que aprovech paraestablecer contactos cientficos y realizar investigaciones en compaa de su acompaante AimBonpland. Sus trabajos de este perodo, dedicados a climatologa, astronoma, geologa y botnicaprincipalmente, muestran cmo en su estancia puso por primera vez en funcionamiento diversos aparatosy dispositivos de medicin que le permitieron hacer aportaciones nuevas y esenciales en el conocimientode estas disciplinas aplicadas a la geografa de Espaa. 15. uno de los padres de la geografa moderna y Francisco Jos de Caldas.Aqu son importantes tambin los trabajos de topgrafos y agrimensoresenviados desde Espaa, como Agustn Cordazzi, puesto que eranecesario establecer y reflejar correctamente las mediciones de lastierras del prometedor continente americano.Aparecen posteriormente numerosos tratados y libros de varios autores como Oronzio Fineo y Joshua Habernel19, ambos con modificaciones sobre la brjula. Johan Praetorius, apoyndose enlos conocimientos de Gemma Frisius, perfecciona la planchetaque, durante mucho tiempo, fue el instrumento ms fino y avanzado con que podan contar los topgrafos. Galileo 20 mont19 Oronteus Finaeus (nombre latinizado de Oroncio Fineo) fue un matemtico y cartgrafo francsnacido en Brianon (1494) y fallecido en Pars (1555). De joven estudi en la capital francesa y en elColegio de Navarra, donde se gradu como licenciado en Medicina (1522); antes de eso, fue puesto enprisin y volvi a ella dos aos despus, por motivos poco claros. Desempe oficios cientficos para lacorona francesa y el rey Francisco I de Francia lo nombr profesor del Collge Royal de Pars, dondeejerci la docencia hasta su muerte. Oronzio Fineo, en su libro "Geometra Prctica", aplica la brjula aun semicrculo graduado con dos alidadas, una fija y otra mvil. El siguiente paso hacia el gonimetroactual fue la mejora introducida por Joshua Habernel con el teodolito-brjula, que data del ao 1576.20 Galileo Galilei naci en Pisa en 1564. Su padre, Vincenzo Galilei fue un msico de indudable espriturenovador, defensor del cambio de una msica religiosa anquilosada en favor de formas ms modernas. Ala edad de 17 aos, Galileo sigui el consejo de su padre y empez a cursar medicina en la Universidad dePisa. Ms adelante decidi cambiar al estudio de las matemticas con el consentimiento paterno bajo latutela del matemtico Ricci (expero en fortificaciones). Su notable talento para la geometra se hizoevidente con un trabajo en el que extenda ideas de Arqumedes para calcular el centro de gravedad deuna figura. A los 25 aos se le asign la ctedra de matemticas en Pisa y a los 28, en 1592, mejor susituacin aceptando una posicin en Venecia que mantuvo hasta la edad de 46 aos. Venecia era entoncesuna ciudad llena de vida, poblada por unos 150.000 habitantes y dedicada al comercio. Galileo se cas en1599 con Marina Gamba de 21 aos con quien tuvo tres hijos. De entre sus amistades venecianas figura eljoven noble Sagredo, quien aparece como uno de los personajes del Dilogo concerniente a los dossistemas del mundo. A la edad de 46 aos, en 1610, Galileo desarroll el telescopio consiguiendo graciasa ello una posicin permanente con un buen sueldo en Padua. Present sus asombrosos descubrimientos:montaas en la luna, lunas en Jpiter, fases en Venus. Astutamente, dio el nombre de la familia Medici alas lunas de Jpiter logrando as el puesto de Matemtico y Filsofo (es decir Fsico) del Gran Duque dela Toscana. Los descubrimientos astronmicos de Galileo favorecan dramticamente al sistemacopernicano, lo que presagiaba serios problemas con la Iglesia. En 1611, Galileo fue a Roma para hablarcon el padre Clavius, artfice del calendario Gregoriano y lder indiscutible de la astronoma entre losjesuitas. Clavius era reacio a creer en la existencia de montaas en la luna, actitud que dej de defendertras observarlas a travs del telescopio. Pero, poco a poco, nuevos descubrimientos como el de lasmanchas solares aadidos a la inusitada contundencia de Galileo para refutar y ridiculizar a sus oponentesle fueron granjeando enemistades. La complejidad de la situacin se acentu y Galileo fue reconvenido ano defender sus ideas. El cambio de Papa, ahora Urbano VIII, inicialmente admirador de Galileo, lellevaron a aumentar el nivel de defensa de sus ideas. En 1632, en un entraado laberinto de permisosoficiales poco claro, Galileo public su Dilogo, donde su defensa acrrima del sistema heliocntricoviene acompaada de vejaciones e insultos hacia sus enemigos. La Inquisicin tom cartas en el asunto,ms por desobediencia de las directivas eclesisticas que por el propio contenido de su obra. Un largoproceso inquisitorial llev a un viejo y decrpito Galileo a abdicar de sus ideas y verse confinado a unavilla en Florencia hasta su muerte acaecida en 1642. Galileo, padre de la ciencia moderna, defendi lamatematizacin de la naturaleza, asent el procedimiento cientfico y propici, para bien o para mal, eldivorcio iglesia-ciencia. 16. su famoso telescopio, continuando con el telescopio de Kepler21 y el holands Christiaan Huyghens 22 quien coloc un retculo pararealizar las punteras, con el avance que esto presentaba en lostrabajos sobre la alidada de pnulas, usada hasta la poca. William Gascoigne aadi el tornillo de los movimientos lentos dentro delos teodolitos. De hecho, el siglo XVIII es el gran siglo de los avances en lainstrumentacin topogrfica. Se construy el primer teodolito,provisto de cuatro tornillos nivelantes por Johanes Sisson. IgnacioPorro invent el taqumetro autorreductor23 en 1839, al quebautiz como taqumetro y Reichenbach con el teodolito repetidor. Posteriormente, ya en el siglo siguiente, Adrien Bordaloue invent, alrededor de 1830, la mira parlante y fabric la primera mira para nivelacin, hecho singular que potenci el estudio y la fabricacin de autorreductores, permitiendo as leeren la mira la distancia reducida (o sea, la proyeccin ortogonal de la distancia natural sobre el plano horizontal) .El siglo XX es el de los grandes fabricantes y de la ptica, con Carl Zeisscon el anteojo de enfoque interno y Heinrich Wild el nivel de coincidencia,el micrmetro de coincidencia y la estada invar, tal como ahora laconocemos. Los limbos de cristal fueron fabricados en serie poco antesdel ao 1936, mejorando as la graduacin en el propio limbo.21Johannes Kepler (Weil der Stadt, Alemania, 27 de diciembre de 1571 - Ratisbona, Alemania, 15 denoviembre de 1630), figura clave en la revolucin cientfica, astrnomo y matemtico alemn;fundamentalmente conocido por sus leyes sobre el movimiento de los planetas sobre su rbita alrededordel sol. Fue colaborador de Tycho Brahe, a quien substituy como matemtico imperial de Rodolfo II.22 Para Huyghens la naturaleza de la luz es ondulatoria. Los cuerpos luminosos, segn Huyghens, emitanondas transversales que se propagaban aun en el vaco con una velocidad muy grande. En 1820 Fresneldemostr que las ondas eran transversales y reafirm la teora ondulatoria que en un principio tuvo muypocas personas de acuerdo con su teora. Aficionado a la astronoma desde pequeo, pronto aprendi atallar lentes (especialidad de Holanda desde la invencin del telescopio, hacia el ao 1608) y junto a suhermano lleg a construir varios telescopios de gran calidad. Por el mtodo de ensayo y errorcomprobaron que los objetivos de gran longitud focal proporcionaban mejores imgenes, de manera quese dedic a construir instrumentos de focales cada vez mayores: elabor un sistema especial para tallareste tipo de lentes, siendo ayudado por su amigo el filsofo Spinoza, pulidor de lentes de profesin. Elxito obtenido anim a Johannes Hevelius a fabricarse l mismo sus telescopios.23Este taqumetro facilita las tareas, ya que ofrecen directamente la distancia reducida por simple lecturade la mira. En algunos taqumetros antiguos, hoy en desuso, era preciso manipular en ellos cada visualpara adaptar ciertas piezas mviles al ngulo medido en el eclmetro: estos taqumetros se denominabansimplemente reductores, a los que substituyeron los autorreductores que hoy en da se manejan. Losprimeros taqumetros autorreductores que se utilizaron, entre ellos alguno de origen espaol, tenan seriosinconvenientes, como su mayor peso y fcil descorreccin, pero no ocurre lo mismo con los msmodernos, que son mucho ms rpidos y seguros. 17. El primer nivel automtico, tuvo que esperar hasta 1946, ao en el que elruso Stodolkjewich puso en prctica estos principios. En el ao 1950,Carl Zeiss fabric el Ni2, instrumento que posea un compensadormecnico en lugar de burbuja tubular, y que era precursor de los actualessistemas de compensacin por gravedad. Askania traspas este principioa los teodolitos en 1956 montando el compensador para el limbo verticalo cenital.El primer distancimetro o estadmetro electro-ptico se fabric en Rusiaen el ao 1936, promovido por el Instituto de ptica Gubernamental. Estetipo de instrumento se emple en el distancimetro Aga fabricado enEstocolmo en 1948. En 1957, Wadley obtuvo un distancimetro demicroondas, el Telurometer. Hasta 1968 no aparecern losdistancimetros electro-pticos de rayo lser. Wild fabricar el DI-10,distancimetro de pequeas dimensiones, que unido a un teodolitoproporcionaba un gran beneficio para las medidas topogrficas, tanto enrapidez como en precisin.En las ltimas dcadas el avance en la instrumentacin topogrfica hasido poco menos que vertiginoso, con la aparicin de los sistemaselectrnicos, pasando rpidamente de los distancimetros y las semi-estaciones, a los teodolitos digitales y a la concepcin de la actualestacin total, las estaciones motorizadas y robotizadas, para efectuarlevantamientos taquimtricos y replanteos. Debemos aadir tambin loscolectores de datos, los colectores de tarjetas de registro y los colectoresinternos en la propia estacin, debiendo conectar sta al ordenador parasu descarga y procesamiento. Por ltimo, aparecen los modernossistemas G.P.S. con su estacionamiento en tiempo real o diferido, con lasaltas precisiones que se estn obteniendo ltimamente.3. EL LEVANTAMIENTO TOPOGRAFICOSe define como tal el conjunto de operaciones ejecutadas sobre unterreno con los instrumentos adecuados para poder confeccionar unacorrecta representacin grfica o plano. Este plano resulta esencial parasituar correctamente cualquier obra que se desee llevar a cabo, as comopara elaborar cualquier proyecto tcnico. Si se desea conocer la posicinde puntos en el rea de inters, es necesario determinar su ubicacinmediante tres coordenadas que son latitud, longitud y elevacin o cota.Para realizar levantamientos topogrficos se necesitan variosinstrumentos, como el nivel y la estacin total. El levantamientotopogrfico es el punto de partida para poder realizar toda una serie deetapas bsicas dentro de la identificacin y sealamiento del terreno aedificar, como levantamiento de planos (planimtricos y altimtricos), 18. replanteo de planos, deslindes, amojonamientos y dems. Existen dosgrandes modalidades: Levantamiento topogrfico planimtrico: es el conjunto de operaciones necesarias para obtener los puntos y definir la proyeccin sobre el plano de comparacin. Levantamiento topogrfico altimtrico: es el conjunto de operaciones necesarias para obtener las alturas respecto al plano de comparacin.La realizacin de un levantamiento topogrfico de cualquier parte de lasuperficie de la tierra, constituye una de las actividades principales de lalabor cotidiana de los topgrafos. En todo trabajo han de utilizarse losmtodos fundamentales de la topografa, la interseccin, el itinerario y laradiacin, aprendiendo a escalonarlos adecuadamente unos con otros yevitando la acumulacin de errores.Todo levantamiento topogrfico tiene lugar sobre superficies planas,limitndose a pequeas extensiones de terreno, utilizando ladenominacin de geodesia para reas mayores. Sin embargo, debemospuntualizar que en la topografa clsica, para dar coordenadas a unpunto, no se utiliza directamente un sistema cartesiano tridimensional,sino que se utiliza un sistema de coordenadas esfricas queposteriormente nos permiten obtener las coordenadas cartesianas.La altimetra utiliza mtodos y procedimientos que determinan la altura ocota de cada punto. Se realiza sobre un plano de referencia, sobre elnivel medio del mar en Alicante (para el territorio espaol) y sirve para larepresentacin del relieve terrestre, es decir para el curvado de losplanos.Los mapas topogrficos utilizan el sistema de representacin de planosacotados, mostrando la elevacin del terreno y utilizando lneas queconectan los puntos con la misma cota respecto de un plano dereferencia, denominadas curvas de nivel, en cuyo caso se dice que elmapa es hipsogrfico. Dicho plano de referencia puede ser o no el nivelmedio del mar, pero en caso de serlo se hablar ms propiamente dealtitudes en lugar de cotas.Antes de concretar la delimitacin de la zona donde vamos a realizar ellevantamiento, o bien cuando ste sea muy extenso en superficie o enforma lineal, como hemos comentado, debemos situarnos dentro de uncontexto general ms amplio, para lo cual debemos proceder a situarnuestro levantamiento dentro del campo de la Geodesia 24.24 La Geodesia es una ciencia interdisciplinaria que utiliza sensores remotos transportados ensatlites espaciales y plataformas areas y mediciones terrestres para estudiar la forma y lasdimensiones de la Tierra, de los planetas y de sus satlites, as como sus cambios; para determinar 19. La prctica de la Geodesia se basa en una serie de puntos denominadosvrtices geodsicos, que a su vez forman redes de tringulos. Estasredes se denominan de triangulacin y por su importancia y tamao sondenominadas de primero, segundo y tercer orden. La de primer ordensuele tener las distancias mayores; son los tringulos bsicos, donde nosapoyamos con las posteriores de segundo y tercer orden. Esta red detercer orden es la que sirve con mayor asiduidad, por lgica, de apoyo ala red topogrfica, aunque podamos -para la situacin inicial- apoyarnosen cualquier vrtice que tengamos dentro de la zona de influencia deltrabajo.Utilizando, pues, sta o la que nos convenga, por medio de la tcnica devarios itinerarios entre los diversos vrtices, realizaremos lo quedenominamos poligonal o poligonacin. Esta poligonal, que calculamosy compensamos por los diferentes mtodos existentes en topografa, nospermite obtener una red de puntos de apoyo o base de orden menor,desde la que pasamos a otra ms densa denominada de relleno, desdedonde, por medio de la radiacin y del itinerario, tomaremos todos losdetalles del terreno.4. LA TAQUIMETRALa palabra taquimetra significa medida rpida y, como su propionombre indica, tiene como objeto simplificar o abreviar el trabajotopogrfico, suprimiendo todas la redes excepto la triangulacin,realizando en campo simultneamente la poligonacin o poligonal, latoma de puntos o relleno y el levantamiento altimtrico. Se fundamentaen determinar la posicin de un punto en el espacio definido por trescoordenadas, x, y, z, con respecto a un sistema de tres ejes cartesianosrectangulares, cuyo eje Y-Y, ocupa la direccin norte-sur o de lameridiana; X-X el de la direccin este-oeste o paralela, y el Z-Z lavertical o altura. Si el levantamiento topogrfico lo significamos en base ala planimetra, en el taquimtrico el clculo lo realizamos siempre ysimultneamente de las tres coordenadas.Existe la posibilidad de no tener que situar por coordenadas absolutas eltrabajo, tanto en planimetra como en la altimetra, y se puede realizarentonces el levantamiento por coordenadas relativas. En este caso nosevitamos todo el proceso previo al levantamiento o taquimtrico en s, ybasta con que nos situemos en una base determinada de partida con lascoordenadas relativas que consideremos, que siempre resultarn demayor simplicidad operatoria que las absolutas, y por medio de loscon precisin su posicin y la velocidad de los puntos u objetos en la superficie u orbitando elplaneta, en un sistema de referencia terrestre materializado, y la aplicacin de este conocimiento adistintas aplicaciones cientficas y tcnicas, usando la matemtica, la fsica, la astronoma y lasciencias de la computacin. 20. mtodos taquimtricos adecuados realizar el correspondiente trabajo decampo.Para efectuar el enlace de las diferentes estaciones o bases del trabajo,tanto sea con un sistema de coordenadas absolutas como relativas, elmodo de actuacin difiere substancialmente de la poligonacin ordinariaen cuanto al modo de enlazar las estaciones y transmitir la orientacin.Obviamente, interesa desde cada estacin barrer el mximo de zona orea geogrfica para disminuir el nmero de estaciones, lo cual nosobliga a adoptar diversos mtodos de enlace. Estos mtodos, que aquslo esbozaremos por comprensibles razones de espacio y oportunidad,son los siguientes:1.El de Moinot o directo, para el que resulta indispensable que elalcance normal del anteojo est comprendido entre las dos estaciones demodo que desde cada una de ellas se pueda percibir claramente lamedia divisin de una mira situada en la otra.2.El de Porro o indirecto. La transmisin de la orientacin suelehacerse sin necesidad de que las dos estaciones sean visibles entre si,ya que basta con tener dos puntos visibles entre ambas, lo que permitealejas stas una distancia casi el doble del mximo alcance del anteojo.Este mtodo es poco usado entre otras cosas porque, eligiendo bien lasestaciones, fcilmente se consigue que sean visibles entre s.3. El de Villani o mixto. Es posiblemente el mejor de todos ellos,puesto que con ste es preciso que las estaciones sean visibles entre s,pero pueden estar situadas a una distancia que puede llegar a ser eldoble del alcance normal del anteojo. Desde el punto de vista de larapidez en el trabajo, especialmente en terrenos llanos y despejados,este mtodo ofrece una positiva ventaja puesto que pueden lograrse -anen trabajos de gran precisin- longitudes de ejes comprendidas entre los300 y 400 metros, y an de 500 metros o ms en trabajos de menorprecisin. Esto hace que, en el caso ms desfavorable, baste un solopunto poligonomtrico por cada 10 Ha. de terreno, que resulta ser unadensidad de puntos equiparable a la de cualquier poligonacin ordinaria.En terrenos quebrados o con arbolado, la densidad de los puntosnecesaria por este mtodo sera obviamente mayor, pero siempreofrecer ventaja sobre el enlace directo (Moinot) con el que puedesimultanearse el mtodo, segn las exigencias del terreno natural.Tambin ofrece ventaja el enlace mixto sobre el directo por lo que serefiere a la precisin de ambos, al considerar en todo itinerario sendoserrores: el angular y el lineal (DOMNGUEZ, 1989).Las tcnicas y aparatos actuales, a los que nos hemos referido conanterioridad, nos permiten acelerar y simplificar de manera notable lostrabajos con respecto a los que realizbamos hasta hace bien pocos 21. aos. Los antiguos teodolitos y taqumetros, con los que nos valamospara realizar triangulaciones de todo tipo, y los taquimtricos con miras,para completar la red topogrfica, han dado paso a los nuevos aparatosde posicionamiento por satlite con los G.P.S. 25 (Global PositioningSystem), y las estaciones totales, lo que nos permite gozar de unarapidez de posicionamiento y de toma de datos taquimtricosfrancamente notable.Actualmente, el aparato ms utilizado para la toma de datos se basa enel empleo de una estacin total, con la cual se pueden medir nguloshorizontales (acimutales), ngulos verticales (cenitales) y distancias conuna gran precisin y proceder al almacenamiento de los datos encolectores informticos incorporados, con todo lo que esto supone paraevitar la comisin de buena parte de los errores tpicos de este tipo detrabajos.Procesando posteriormente los datos tomados y utilizando las nuevastecnologas con los diferentes software para los ordenadores y losactuales programas de clculo y dibujo asistido por ordenador (CAD) 26,25 El Global Positioning System (GPS) o Sistema de Posicionamiento Global (ms conocido con lassiglas GPS, aunque su nombre correcto es NAVSTAR-GPS) es un sistema global de navegacin porsatlite (GNSS) que permite determinar en todo el mundo la posicin de un objeto, una persona, unvehculo o una nave, con una precisin hasta de centmetros, usando GPS diferencial, aunque lo habitualson unos pocos metros. Aunque su invencin se atribuye a los gobiernos francs y belga, el sistema fuedesarrollado e instalado, y actualmente es operado por el Departamento de Defensa de los EstadosUnidos. El GPS funciona mediante una red de 27 satlites (24 operativos y 3 de respaldo) en rbita sobreel globo terrqueo, a 20.200 km. de altitud, con trayectorias sincronizadas para cubrir toda la superficie dela Tierra. Cuando se desea determinar la posicin, el receptor que se utiliza para ello localizaautomticamente como mnimo tres satlites de la red, de los que recibe unas seales indicando laposicin y el reloj de cada uno de ellos. Con base en estas seales, el aparato sincroniza el reloj del GPS ycalcula el retraso de las seales; es decir, la distancia al satlite. Por "triangulacin" calcula la posicin enque ste se encuentra. La triangulacin en el caso del GPS, a diferencia del caso 2-D que consiste enaveriguar el ngulo respecto de puntos conocidos, se basa en determinar la distancia de cada satliterespecto al punto de medicin. Conocidas las distancias, se determina fcilmente la propia posicinrelativa respecto a los tres satlites. Conociendo adems las coordenadas o posicin de cada uno de ellospor la seal que emiten, se obtiene la posicin absoluta o coordenadas reales del punto de medicin.Tambin se consigue una exactitud extrema en el reloj del GPS, similar a la de los relojes atmicos quellevan a bordo cada uno de los satlites. La antigua Unin Sovitica (URSS) tena un sistema similarllamado GLONASS, ahora gestionado por la Federacin Rusa. Actualmente la Unin Europea estdesarrollando su propio sistema de posicionamiento por satlite, denominado Galileo.26 El diseo asistido por computadora u ordenador, ms conocido por sus siglas inglesas CAD(computer assisted design), es el uso de un amplio rango de herramientas computacionales que asisten aingenieros, arquitectos, topgrafos y a otros profesionales del diseo en sus respectivas actividades.Tambin se puede llegar a encontrar denotado con las siglas CADD, es decir, dibujo y diseo asistido porcomputadora (computer assisted drawing and design). El CAD es tambin utilizado en el marco deprocesos de administracin del ciclo de vida de productos (en ingls product lifecycle management). Estasherramientas se pueden dividir bsicamente en programas de dibujo en dos dimensiones (2D) ymodeladores en tres dimensiones (3D). Las herramientas de dibujo en 2D se basan en entidadesgeomtricas vectoriales como puntos, lneas, arcos y polgonos, con las que se puede operar a travs deuna interfaz grfica. Los modeladores en 3D aaden tambin superficies y cuerpos slidos. El usuariopuede asociar a cada entidad una serie de propiedades como color, usuario, capa, estilo de lnea, nombre,definicin geomtrica, etc., que permiten manejar la informacin de forma lgica. Adems, pueden 22. es posible dibujar y representar grficamente los detalles del terrenoconsiderados, aportando una precisin y rapidez desconocida hasta hacepoco ms de dos dcadas. El sistema de coordenadas actual U.T.M. 27est siendo el substituto de las antiguas coordenadas geogrficas y suuso se halla prcticamente generalizado en toda Europa.5. MODELO DIGITAL DEL TERRENOPara nuestra exposicin vamos a realizar una serie de ejemplos condiferentes tipos de trabajos topogrficos, bien sean taquimtricos onivelaciones de diferentes zonas y con diferentes sistemas decoordenadas absolutas y relativas. Para realizar el clculo de nuestraexplanacin, debemos puntualizar, ya desde un principio, quenecesitamos tener un terreno topografiado, curvado y digitalizado, parapoder obtener un cierto Modelo Digital del Terreno, (a partir de este puntoMDT), puesto que la informacin de base para la confeccin del MDTslo la podemos obtener con un mapa topogrfico o bien por restitucinfotogramtrica tridimensional de fotografas areas del terreno (CEBRINy MARK, 1986).asociarse a las entidades o conjuntos de stas otro tipo de propiedades como material, etc., que permitenenlazar el CAD a los sistemas de gestin y produccin. De los modelos pueden obtenerse planos concotas y anotaciones para generar la documentacin tcnica especfica de cada proyecto. Los modeladoresen 3D pueden, complementariamente, producir previsualizaciones fotorealistas del producto, aunque amenudo se prefiere exportar los modelos a programas especializados en visualizacin y animacin, comoMaya, Softimage XSI o 3D Studio Max.27 El Sistema de Coordenadas Universal Transversal de Mercator (en ingls Universal TransverseMercator, UTM) es un sistema de tres coordenadas basado en la proyeccin geogrfica transversa deMercator, que se construye como la proyeccin de Mercator normal, pero en vez de hacerla tangente alEcuador, se la hace tangente a un meridiano. A diferencia del sistema de coordenadas tradicional,expresadas en longitud y latitud, las magnitudes en el sistema UTM se expresan en metros nicamente alnivel del mar que es la base de la proyeccin del elipsoide de referencia. El sistema de coordenadas UTMfue desarrollado por el Cuerpo de Ingenieros del Ejrcito de los Estados Unidos en la dcada de 1940. Elsistema se bas en un modelo elipsoidal de la Tierra. Se us el elipsoide de Clarke de 1866 para elterritorio de los 48 estados contiguos. Para el resto del mundo incluidos Alaska y Hawai se us elElipsoide Internacional. Actualmente se usa el elipsoide WGS84 como modelo de base para el sistema decoordenadas UTM. Anteriormente al desarrollo del sistema de coordenadas UTM varios pases europeosya haban experimentado la utilidad de mapas cuadriculados, en proyeccin conforme, al cartografiar susterritorios en el perodo de entreguerras. El clculo de distancias entre dos puntos con esos mapas sobre elterreno se haca ms fcil usando el teorema de Pitgoras, al contrario que con las frmulastrigonomtricas que haba que emplear con los mapas referenciados en longitud y latitud. En los aos depost-guerra estos conceptos se extendieron al sistema de coordenadas basado en las proyeccionesUniversal Transversa de Mercator y Estereogrfica Polar Universal, que es un sistema cartogrficomundial basado en cuadrcula recta. La "proyeccin transversa de Mercator" es una variante de la"proyeccin de Mercator" que fue desarrollada por el gegrafo flamenco Gerardus Mercator en el ao1659. Esta proyeccin es "conforme", es decir, que conserva los ngulos y casi no distorsiona las formaspero inevitablemente s lo hace con las distancias y reas. El sistema UTM implica el uso de escalas nolineales para las coordenadas X e Y (longitud y latitud cartogrficas) para asegurar que el mapaproyectado resulte conforme. 23. Tambin podemos utilizar una superficie nivelada, para lo cualparcelaremos primero el terreno en base a una malla o red cuadriculada,nivelando posteriormente cada uno de los vrtices. Debemos constatarque para el clculo posterior slo utilizaremos la cota o elevacin delcentro de cada cuadrcula, sin necesidad de tener que confeccionar eneste caso de nivelacin el MDT. Como vemos, pues, son dosprocedimientos diferentes aunque con una misma finalidad. La diferenciaesencial estriba en que el programa calcula siempre sobre un modelo demalla cuadriculada. Con el levantamiento taquimtrico y la formacinposterior del MDT, ste nos la ofrece y si realizamos el trabajo con niveldebemos formarlo nosotros mismos.Pero qu entendemos por un MDT?. Segn el profesor Bosque Sendra(obra citada en la bibliografa), un Modelo Digital del Terreno (MDT) esla representacin simplificada, en un formato accesible a losordenadores, de la topografa del terreno (las alturas sobre el nivel mediodel mar) (Cebrin y Mark, 1986). Para ello se considera que laselevaciones forman una superficie tridimensional ondulada, en la que dosdimensiones se refieren a los ejes de un espacio ortogonal plano (X e Y),y la tercera mide la "altura" o cota (Z). Por ello, se suele hablar derepresentaciones grficas con dos dimensiones topolgicas y media(grficos 2.5D), a diferencia de una verdadera representacin en tresdimensiones, que exige considerar el contenido o volumen al queenvuelve la superficie tridimensional (Raper, 1989; Tumer, 1989).Aunque un Modelo Digital del Terreno representa, habitualmente, latopografa del terreno, en realidad cualquier hecho que cumpla unasmnimas caractersticas, esencialmente la continuidad espacial de lavariacin, puede ser representado mediante este planteamiento: lasprecipitaciones, las temperaturas, la composicin litolgica o mineral, laacidez o basicidad de los suelos, etc.El modelo digital de una parcela o solar resulta indispensable para elaborar estudios diversos y proyectos tcnicos. Estos modelos tienen muchas ventajas, a saber: Clculo de volumen. Hacer cortes y perfiles en cualquier sitio. Elaborar estudios de diferentes variantes de un proyecto con un sololevantamiento topogrfico.Su denominacin ha ido cambiando a lo largo de los aos, llamndosedesde Modelos Altimtricos Digitales, Modelos Digitales de Alturas o bienModelos Topogrficos Digitales. Su origen est relacionado con lasnecesidades militares del ejrcito de los EEUU y por la propia ingeniera 24. civil del pas. Actualmente los MDT estn en relacin estrecha con lacartografa digital y los Sistemas de Informacin Geogrfica (SIG) 28.La topografa del terreno siempre se representa con curvas de nivel (alas que nos referiremos in extenso en otros apartados de este mismolibro), independientemente de que sean absolutas o relativas, con suequidistancia correspondiente y en papel. Su clculo era y es laborioso ymuchas aplicaciones prcticas quedaban limitadas por la organizacinanalgica y compleja del mapa. Precisamente, estas necesidades dieronorigen al desarrollo de una nueva forma de representar el relieve enforma digital, o sea, al desarrollo de los Modelos Digitales del Terreno.Siguiendo con las indicaciones del estimado colega y profesor BosqueSendra, veamos que Un MDT se puede representar, principalmente,mediante dos modelos de datos: la matriz de alturas (organizacin"raster") y la estructura TIN (red de tringulos irregulares). Ambos estnbasados en el empleo de puntos para la representacin de la informacinque constituye el Modelo Digital del Terreno. En los dos casos el modelose genera a partir de una muestra de datos puntuales repartidos de algnmodo, en muchas ocasiones aleatoriamente, sobre el plano. Otraposibilidad diferente es la de recoger una muestra de las altitudes realesempleando las curvas de nivel existentes en el mapa fuente y a partir deesta muestra obtener el pretendido Modelo Digital del Terreno.La digitalizacin de la informacin sobre alturas (las curvas de nivel)contenida en el mapa topogrfico forma una de las fuentes msimportantes para la elaboracin de un Modelo Digital del Terreno.Evidentemente, lo nico que es preciso digitalizar, en este caso, son lascurvas de nivel y, a veces, las cotas de altitud puntuales.Por tanto, nosotros podemos construir nuestro propio MDT para efectuarnuestra cubicacin con un levantamiento taquimtrico o bien con unanivelacin con cotas puntuales. A partir de la informacin de base, la28 Un Sistema de Informacin Geogrfica (SIG o GIS, en su acrnimo ingls) es una integracinorganizada de hardware, software y datos geogrficos diseado para capturar, almacenar, manipular,analizar y desplegar en todas sus formas la informacin geogrficamente referenciada con el fin deresolver problemas complejos de planificacin y gestin. Tambin puede definirse como un modelo deuna parte de la realidad referido a un sistema de coordenadas terrestre y construido para satisfacer unasnecesidades concretas de informacin. En el sentido ms estricto, es cualquier sistema de informacincapaz de integrar, almacenar, editar, analizar, compartir y mostrar la informacin geogrficamentereferenciada. En un sentido ms genrico, los SIG son herramientas que permiten a los usuarios crearconsultas interactivas, analizar la informacin espacial, editar datos, mapas y presentar los resultados detodas estas operaciones. La tecnologa de los Sistemas de Informacin Geogrfica puede ser utilizada parainvestigaciones cientficas, la gestin de los recursos, gestin de activos, la arqueologa, la evaluacin delimpacto ambiental, la planificacin urbana, la cartografa, la sociologa, la geografa histrica, elmarketing o la logstica, por nombrar slo unos pocos. Por ejemplo, un SIG podra permitir a los gruposde emergencia calcular fcilmente los tiempos de respuesta en caso de un desastre natural, el SIG puedeser usado para encontrar los humedales que necesitan proteccin contra la contaminacin, o bien puedenser utilizados por una empresa para ubicar un nuevo negocio y aprovechar las ventajas de una zona demercado con escasa competencia. 25. construccin de un MDT suele necesitar realizar una fase deinterpolacin espacial. La interpolacin espacial es un procedimiento quepermite calcular el valor de una variable en un posicin del espacio(punto no muestral, donde se estima un valor de la altura), conociendolos valores de esa variable en otras posiciones del espacio (puntosmuestrales, con valores verdaderos) (BOSQUE et alt., 1990).Los procedimientos de interpolacin son muy distintos segn se deseeobtener el modelo raster o el modelo TIN. Igualmente existen diferenciasnotorias en cuanto a cul es la organizacin de la informacin de partida:puntos o lneas. Se parte de informacin de base organizada en forma decurvas. Suele proporcionar resultados bastante adecuados el realizar unainterpolacin lineal entre dos puntos pertenecientes a curvas de niveldiferentes pero contiguas, para determinar las alturas de los puntos nomuestrales situados entre ellas, usando para ello la lnea de mximapendiente entre las curvas de nivel y que pasa por el punto cuya altura sedesea estimar (CEBRIN y MARK, 1986).Las posibilidades analticas de un MDT son variadas, puesto queutilizando la informacin topogrfica representada en un MDT, es posiblerealizar un amplio nmero de procesos de anlisis de gran intersprctico, como por ejemplo la confeccin de mapas de pendientes yorientaciones, delimitar cuencas aportadoras de drenaje, o intervisibilidadde puntos. Pero tambin nos permite realizar clculos de magnitudes, porejemplo de volmenes, lo que resulta esencial para la consecucin delobjetivo que perseguimos en el presente libro.Otras aplicaciones diversas pueden ser: anlisis de problemashidrolgicos y de la erosin del terreno, as como la combinacin dealgunas funciones con los programas SIG, respecto a mapas de suelos,hidrologa, erosin, etc.Para la exposicin de nuestros ejemplos prcticos, realizaremos nuestrostaquimtricos sobre diferentes zonas de terreno, y aprovechando losprogramas de topografa existentes en el mercado, volcaremos los datosal ordenador para procesarlos y obtener los MDT correspondientes. Unavez realizada esta operacin pasaremos los datos a un libro u hoja declculo por ordenador (Excel), donde por medio de la novedosametodologa aqu propuesta realizaremos la posterior explanacin ycubicacin del terreno en cuestin buscando siempre la mayor facilidad yla compensacin total de tierras en su movimiento.6. PLAN DE TRABAJO, MTODOS E INSTRUMENTOS 26. Los taquimtricos los realizaremos con coordenadas UTM, con valoresabsolutos, de la red CATNET. Esta red, tal y como su editorial expone,tiene un servicio de estaciones permanentes que recogen datos de laconstelacin GPS interrumpidamente, segundo a segundo lasveinticuatro horas al da, que son almacenados y distribuidos al pblicomediante diferentes servicios de posicionamiento, bien en tiempo real obien para procesar posteriormente. Los datos de todas sus estaciones secombinan en una solucin de red que permite determinar la componenteespacial de los errores ionosfricos, troposfricos y geomtricos queafecten a la seal GPS, y de esta forma determinar un conjunto deobservaciones virtuales de cualquier punto del territorio. Con estatcnica, se provee de servicios al usuario que le permiten trabajarutilizando un solo receptor, como es nuestro caso, para posicionarse contoda precisin sobre toda la geografa.Debemos precisar que en el momento de introducir los datos en la hojade clculo, podemos disminuir el valor alfanumrico de dichos datos enlos ejes X-Y para obtener una mayor rapidez del clculo. La razn es dendole simplemente temporal, puesto que al introducir los datos en la hojade clculo, cuanto menor sean los dgitos empleados, mayor es larapidez operacional. Cul es la razn fundamental que nos proponemoscon esta observacin?. Sencillamente, que podemos tener inicialmentenuestro taquimtrico con coordenadas U.T.M. por ejemplo y utilizar slopara el clculo (coordenadas X e Y) desde las decenas o los millares, aexcepcin de las cotas o elevaciones, sin tener que introducir las seis osiete cifras de cada punto. Evidentemente el resultado es el mismo y lacomodidad mucho mayor.Los aparatos o instrumentos topogrficos utilizados para los trabajos decampo que presentamos sern una estacin total robotizada de la marcaTrimble 5503 DR Std, un receptor GPS Trimble R6, provistos de todoslos accesorios y colectores precisos para la toma de los datos de campoy su posterior traspaso al ordenador. Los programas de topografa autilizar son el SDR Varin versin 6.5, que ya no se produce y que nopuede acoplarse al sistema Windows, aunque su prestancia, capacidad yeficiencia estn fuera de toda duda, y personalmente pensamos que esde los mejores softwares existentes para topografa. Nos apoyaremos,complementariamente, en otro programa ms actual como es elCartomap; ste s se puede acoplar al sistema Windows en su versinactual 6.0, ltima en el mercado en el momento de realizar este estudio.Acompaamos a estos programas de topografa el Autocad, de dibujoasistido por ordenador en su versin 2008 (ver nota a pie de pgina eneste mismo captulo), y los de Word y Excel del paquete Office deMicrosoft, tambin en sus versiones ms actuales. Los datos setomarn siguiendo las especificaciones expuestas, segn los modelos ytcnicas propios de la topografa. Para los taquimtricos, previo 27. reconocimiento del terreno, se proceder a la situacin de las bases deapoyo con el GPS, y a partir de este punto, se realizar la comprobaciny compensacin de la poligonal, en caso de ser necesario. Los puntos delos taquimtricos se levantarn con la estacin total, con detalle para lasdiferentes escalas a dibujar. Los datos procesados con los diferentesprogramas nos permitirn exportarlos a la hoja de clculo, esto es, losdatos de las coordenadas para su posterior cubicacin.Por lo que respecta a las plataformas con trabajo de campo realizado connivel, utilizaremos un nivel automtico tipo WILD NAK-1, y otro digitalSOKKIA DS-50. Previo al trabajo de toma de datos, es preciso parcelar elterreno, en base a una serie de malla rectangular de 10x10 metros, obien de otras medidas superiores, segn sea la zona en estudio, paraposteriormente nivelar cada sub-parcela en el punto central de cadacuadrcula. Ya en el gabinete, las coordenadas X-Y se calcularn enfuncin de la cuadrcula, siendo la coordenada Z la cota de nivel queobtengamos en campo.Por ltimo, debemos tener un listado tridimensional de puntos para volcaren la hoja de clculo, aplicar el procedimiento de nivelacin/explanacinaqu desarrollado y obtener la nivelacin del terreno con el mnimomovimiento de tierras y adems ste debe estar absolutamentecompensado. Llegados a este punto debemos realizar un comentario, yno es otro que para exponer nuestros ejemplos de forma breve, una vezrealizado el MDT, calcularemos una malla de puntos cuadrangular (porejemplo de 10x10 metros u otros valores superiores, segn nosconvenga), con las coordenadas transformadas. Es decir, que si en eltaquimtrico hemos utilizado coordenadas UTM, las pasaremos a unorigen de valores coordenados relativo (0,0) y donde todos los puntosestarn siempre preferentemente en el primer cuadrante del crculo delas abscisas y ordenadas. Las cotas de nivel o elevaciones siempresern, salvo que tambin se quieran transformar, las mismas que lasobtenidas en el campo.Una vez hayamos calculado y cubicado las explanaciones con nuestroprograma, se realizar una comprobacin, siguiendo en todo momentolas pautas y procedimientos normales de nuestros programas SDR Varino Cartomap, para demostrar la fiabilidad de nuestra propuesta en cadauno de los ejemplos desarrollados, por comparacin de superficies yvolmenes.7. PERFILES Y VOLUMETRA7.1. Aspectos generales 28. En todo proyecto de explanacin de terrenos se consultan planos deperfiles longitudinales y transversales. Estos planos deben servir comogua para establecer las cotas que definirn la alineacin y las alturas deexcavacin o de relleno. Una vez definido el trazado en planta de unaobra, es necesario conocer la conformacin del terreno circundante paradefinir la posicin final de la rasante, as como las caractersticas de lassecciones transversales que resultarn al imponer la plataforma deproyecto.Los diversos tipos de perfiles que se levantan tienen por objetorepresentar con fidelidad la forma y las dimensiones que el terrenopresenta segn los planos principales. stos definen tridimensionalmentela obra en proyecto, a una escala que permite cubicar sus diversoscomponentes con suficiente comodidad.Antes de comenzar cualquier operacin relacionada con un movimientode tierras se debern estacar a distancias no superiores a 30 metrosentre s, el pie de los terraplenes y los bordes superiores de los cortes.Las excavaciones debern alcanzar con exactitud las trazas quemuestren los planos, debindose respetar estrictamente las alineaciones,niveles, taludes y secciones transversales. Las excavaciones de cortesincluyen en algunos casos, adems, la demolicin de revestimientosasflticos existentes, de pavimentos de hormign, incluso bases ysubbases cuando corresponda.7.2. Perfiles longitudinalesUna de las aplicaciones ms usuales e importantes de la nivelacingeomtrica, es la obtencin de perfiles del terreno a lo largo de una obrade ingeniera o arquitectura, o en una direccin dada. Generalmente, laseccin transversal de las parcelas a explanar tiene un eje de simetra, obien un eje de referencia que no vara de tipo a lo largo del trazado. A suvez, se llama eje longitudinal del trazado a la lnea formada por laproyeccin horizontal de la sucesin de todos los ejes de simetra oreferencia de la seccin transversal, entendiendo que cualquier trazo dela parcela es recto cuando su eje longitudinal tambin lo es. Ahora bien,si consideramos el eje longitudinal de una parcela como una directriz yadems consideramos una recta vertical que se traslada apoyndose enesa directriz, deduciremos que el perfil longitudinal es la interseccin delterreno natural con un cilindro vertical que contenga al eje longitudinal dela parcela en cuestin. O dicho de otro modo, se llama perfil longitudinaldel terreno a la interseccin de ste con una superficie de generatricesverticales que contiene el eje del proyecto. Es, pues, la representacingrfica del corte del terreno por el plano vertical determinado por laplanta. Su finalidad reside en relacionar altimtricamente el terrenodonde se ha replanteado la planta con la rasante proyectada. 29. Adems del dibujo se suelen aadir unas acotaciones en las que seanotan las distancias parciales y totales entre los puntos que determinanel perfil longitudinal, las cotas rojas, etc.; a la representacin grfica deese conjunto de datos se le denomina popularmente guitarra, puestoque recuerda el dibujo de las cuerdas paralelas de dicho popularinstrumento musical.Generalmente el dibujo se realiza utilizando dos escalas: en abscisas seponen las distancias parciales y al origen y se mantiene la escala de laplanta; y en ordenadas se ponen las cotas o altitudes y se suele realzarla escala de planta un cierto nmero de veces, normalmente 10, a fin depoder conseguir una buena representacin visual de la altimetra. Portanto, la escala vertical es 10 veces la escala horizontal con el fin demejorar visualmente la percepcin del relieve.Podemos agregar que los clculos variaran un poco al leer loscomplementarios aritmticos en los puntos intermedios y en la niveladade frente, pues bastara sumar para obtener tanto el horizonte o alturainstrumental como las altitudes o cotas del terreno.Cuando se toman muchos puntos intermedios es mejor observar lospuntos de paso y luego los intermedios; al terminar, se debe hacer unalectura de comprobacin al ltimo punto de mira frontal. Tambin esconveniente, con el fin de comprobar dos estaciones consecutivas, eldeterminar dos veces un mismo punto de comprobacin.Estos clculos, en cuanto se refieren a los puntos de paso o de cambiode estacin y a los de comprobacin, se hacen, de ordinario, en elcampo, segn el registro destinado al efecto, y despus se calculan engabinete, primero, los horizontes sucesivos y las altitudes de los puntosde paso; despus se harn las sumas de comprobacin, para finalizarcon el clculo de la altitud o cota de todos los puntos intermedios. Paralos puntos de paso se aproxima el clculo al milmetro y para losintermedios bastara, en la prctica, con aproximar al centmetro.Un perfil longitudinal es, pues, un perfil topogrfico a lo largo del eje de laplanta y, por tanto, constituye la interseccin de la superficie topogrficacon el plano vertical que contiene al eje de la planta.El perfil longitudinal se utiliza para proyectar el alzado de la parcela aexplanar. Se puede obtener a partir de la cartografa base (que tendrnormalmente curvas de nivel), pero lo ms preciso es obtenerlo despusde realizar el replanteo. A la vez que se replantean los puntossecuenciales se toman tambin sus cotas. 30. Las alineaciones rectas del alzado estarn definidas por dos puntos conuna distancia al origen y una cota. La inclinacin de estas rectas seexpresa en % y seala su pendiente longitudinal, siendo positiva cuandola rasante aumenta de cota en el sentido de la marcha y negativa cuandodisminuye. Se suele utilizar el trmino rampa para las pendientespositivas y el de pendiente para las negativas.Una vez calculadas las altitudes o cotas taquimtricas de todos lospuntos, ordinariamente referidas a un nivel o plano de comparacinconvenientemente elegido, se toman aquellas en papel milimtrico opapel especial para perfiles. Cuando hay que dibujar un perfil longitudinaljunto con otros transversales, se toma la misma escala para representarlas altitudes de ambos perfiles. En casi todos los pases avanzados delorbe se han formado instrucciones oficiales sobre escalas, dibujos, etc.,segn los distintos servicios afectados, a las cuales hay que atenerse enel trazado de los perfiles.7.3. Perfiles transversalesEl perfil transversal tiene por objeto presentar, en un corte por un planotransversal, la posicin que tendr la obra proyectada respecto delproyecto, y a partir de esta informacin, determinar las distintascantidades de obra, ya sea en forma grfica o analtica. Para poderdeterminar las aristas de explanacin de una obra y el movimiento detierras resultante de su ejecucin, se habrn de obtener perfiles delterreno normales al eje de la planta del proyecto que debern sertrazados por cada uno de los puntos de la longitudinal de ese eje al cualestn referidos.Se obtienen los perfiles transversales en la direccin normal operpendicular al eje del proyecto, tomando todos los datos necesarios acada lado del eje; su longitud ser variable, rebasando siempre con unamplio margen de seguridad la anchura de la franja de terreno ocupadapor la obra. Esta anchura est en funcin de la pendiente del terreno aambos lados del eje y del tipo de taludes que las caractersticas delterreno exijan. Por ejemplo, la anchura oscila de una longitudprcticamente nula en el caso de una zanja para una tubera deconduccin de agua, hasta los 200 metros o ms para una extensaparcela de cultivo.As pues, son perfiles topogrficos en direcciones perpendiculares al ejede la planta de la parcela por los puntos secuenciales. Se utilizanbsicamente para calcular los movimientos de tierras y los bordes de laexplanacin. El perfil transversal se representa en unos ejes cartesianosrectangulares: en el eje OX, se toman las distancias reducidas al puntosecuencial, que son desarrollos desde el origen, y en el eje OY las cotas. 31. Se utilizan escalas iguales para los dos ejes porque la finalidad de estosperfiles, generalmente, y an ms cuando se trata de cubicar elmovimiento de tierras correspondiente, es medir sobre ellos superficiespara luego calcular volmenes (antiguamente, ello se llevaba a efectomediante la doble superficiacin geomtrica y posterior comprobacinmecnica con el planmetro polar ordinario o digital; hoy en da, elsoftware existente de diseo asistido por ordenador, CAD, ya ofrece estedato con toda comodidad y precisin).Los perfiles transversales se pueden obtener de forma aproximada apartir de la cartografa base existente. Pero lo ms preciso es obtenerlosen campo una vez replanteado el eje. Actualmente, esto se lleva a cabodel siguiente modo:- levantando los puntos destacados de la direccin transversal dondehay cambios de pendiente y detalles planimtricos importantes, comopueden ser muros o vallas de fincas. El levantamiento se hara conestacin total.- utilizando un nivel (para determinar los desniveles existentes entre lospuntos destacados de la direccin transversal y del eje) y cinta mtrica(para medir las distancias reducidas entre los puntos y el eje).Hay que considerar a los perfiles transversales como que son lainterseccin del terreno con un plano vertical normal al eje longitudinaldel terreno; o sea, que los perfiles transversales son necesariamenteperpendiculares al perfil longitudinal. Por lo general, estos perfilestransversales se toman frente a cada una de las estacas que indican eltrazado y se levantan a escala mayor que los longitudinales, ya que elobjetivo principal de estos perfiles es obtener -frente a cada estaca- laforma ms exacta posible de la seccin transversal de la parcela cuyaexplanacin se pretende. Los perfiles se sealan primero con jalones ydespus con miras o cinta mtrica, y con un nivel se lleva a cabo sulevantamiento.Cuando los perfiles transversales son muy uniformes se deben levantarde igual manera que los perfiles longitudinales, anotndose las altitudes ydistancias ledas en un registro similar al empleado anteriormente paralos perfiles longitudinales. Todas las lecturas deben, por lo general,aproximarse al centmetro. Pero cuando los perfiles transversales de laparcela a explanar sean muy irregulares se dibujarn todos los detallesen un croquis, sobre el cual se anotarn todas las medidas y lecturashechas durante el levantamiento.El perfil transversal se dibuja de modo que la izquierda y la derecha seanlas del perfil longitudinal, suponiendo que se recorre ste en el sentido desu numeracin ascendente. Tambin se pueden numerar los puntos de 32. los perfiles transversales, y en el croquis se anotan solamente estospuntos y las medidas planimtricas (distancias horizontales), anotandolas lecturas de nivelacin en el registro de campo, que es idntico al delos perfiles longitudinales.Es mejor aproximar las alturas al milmetro, mientras que para lasdistancias horizontales basta en general con el centmetro. El nivel secoloca en un punto previamente determinado del perfil longitudinal y seasegura la observacin leyendo la altura de un punto de comprobacinbien elegido o bien la de otro punto del mismo perfil longitudinal; tambinpuede estacionarse el nivel en un punto cualquiera de un itinerario denivelacin que pase cerca del perfil que se trata de levantar.Cuando la obra estudiada es una superficie poligonal en configuracinplantar, como suceder en el caso general de la explanacin de lasparcelas urbanas, industriales o agrcolas, el proyecto se estudia pormedio de diferentes perfiles longitudinales, a los cuales se trazantransversales perpendiculares o normales convenientemente distribuidasa fin de cubrir toda la zona de accin de la obra. La escala horizontal a laque suelen dibujarse los perfiles transversales es la misma que la escalavertical, y normalmente se tiene el convenio de hacer coincidir la escalavertical del perfil longitudinal con la escala de los perfiles transversales.Escalas comnmente empleadas en los perfiles transversales son: 1/500,1/200, 1/100 e incluso 1/50.7.4. Perfiles especialesPara resolver algunos aspectos concretos de un estudio del terreno aexplanar, edificaciones u obras de arte por ejemplo, puede ser necesariotomar perfiles especiales en el mismo. Los ms corrientes son loselaborados segn ejes que corten el eje longitudinal bajo un cierto ngulono necesariamente recto; en otros casos, pueden ser perfiles de estudiosespeciales o complementarios en lugares que se ven comprometidos porla obra.Los perfiles especiales que corten al eje longitudinal se pueden definirpor el kilometraje de la interseccin ms el ngulo de corte; a otros se lesdefinir por nmeros o letras y se les ubicar en la planta de la parcelaen estudio.7.5. Clculo de volmenes del movimiento de tierras7.5.1. IntroduccinLa cubicacin comprende aquellos clculos necesarios para conocer elvolumen a efectuar en los movimientos de tierras necesarios para 33. efectuar la explanacin de un terreno. Generalmente, las cubicaciones seexpresan en metros cbicos.Como se sabe, los movimientos de tierras resultantes al realizar unaexcavacin se denominan desmontes y a las tierras que se echan en elterreno se les llama terraplenes o pedraplenes.Los tres mtodos diferentes utilizados normalmente para cubicar lastierras en un presupuesto de explanacin/nivelacin de terrenos sedescriben en los epgrafes siguientes.7.5.2. Cubicacin por perfiles transversalesUna vez calculadas las curvas verticales, ya estamos en condiciones decalcular los volmenes de material a remover y su desplazamiento otransporte. Todo ello si contamos con el perfil longitudinal y contamostambin con las secciones transversales correspondientes a todos y cadauno de los cadenamientos. Si enlistamos convenientemente losvolmenes correspondientes a cada seccin transversal, tanto de cortecomo de terrapln, y en una tercera columna indicamos los valoresacumulados, podremos graficar una cierta curva de volmenes contracadenamientos, a la que se le denomina curva de masa o rea de cortetransversal, para realizar el clculo volumtrico de la seccin transversalcorrespondiente. Hoy en da existen en el mercado programasinformticos de clculo de gran eficacia y rigurosa exactitud para larealizacin automtica e iterativa de este tipo de operaciones.Se parte del perfil longitudinal en el cual se aprecia la cota roja (cota dela rasante menos cota del terreno natural) y posteriormente se proyectala caja del perfil transversal (carriles, arcenes y taludes). El movimientode tierra resultante se calcula a partir de los perfiles transversales,cajeando la seccin tipo y teniendo en cuenta las siguientes frmulas:a) Volumen de tierras existente entre dos perfiles de desmonte: b) Volumen de tierras existente entre un perfil de desmonte y unode terrapln:c) Volumen de tierras existente entre dos perfiles de terrapln: 34. En las frmulas anteriores, D y T son las superficies que se obtienen enlos perfiles tras cajear la seccin tipo, y d expresa la distancia reducidaexistente entre dos perfiles consecutivos. El cajeo de la seccin tiposirve, adems de para calcular volmenes, para determinar las cabezasde desmonte y los pies de terrapln. Esos son los primeros puntos quese replantean, y desde ellos las mquinas van formando los planos dedesmonte o de terrapln con la pendiente que tengan en la seccin tipodel proyecto. Las estacas del eje desaparecern y se replantearn denuevo cuando quede poca diferencia de cota respecto a la rasanteproyectada.Este mtodo se utiliza especialmente cuando la obra tiene grandesarrollo longitudinal, siendo el ancho de dimensin muy inferior conrespecto a la longitud, como es el caso de las parcelas alargadas para laconstruccin de vas de comunicacin, lneas de ferrocarril, etc.Veamos, en fin, que si aplicamos perfiles sin tener en cuenta la lnea depaso, el mtodo del rea media resulta ser ms exacto que el de losprismatoides, en la cubicacin de tierras por perfiles transversales enexplanaciones a realizar a media ladera. Si las explanaciones son puras,en desmonte o terrapln, no hay diferencias apreciables o significativasentre ambos mtodos de clculo.As mismo, deben tenerse bien en cuenta las siguientes consideracionesen la operatoria a seguir:- En explanaciones a realizar a media ladera cometeremos mayor erroren la cubicacin de tierras que en explanaciones de desmonte oterrapln puras, a no ser que intensifiquemos el nmero de perfiles en lazona prxima a la lnea de paso o bien que hagamos coincidir un perfilcon esta misma lnea de paso.- Existe una relacin potencial clara entre la distancia entre los perfiles yel error cometido en la cubicacin de tierras por el mtodo de los perfilestransversales. Por otro lado, la variable morfologa del terreno tambintiene un peso importante en el error cometido en el clculo devolmenes. Estos errores aumentan lgicamente a medida que lo hacecorrelativamente la rugosidad del terreno.- Se puede realizar una modelizacin del error cometido en la cubicacinde tierras por perfiles transversales en funcin de la morfologa delterreno en estudio (DEVUN) y la distancia existente entre los perfiles enexplanaciones de desmonte o terrapln. 35. - Cuando se trate de un proyecto de vial (carretera o va frrea), sepuede considerar el bloque de tierra que hay que remover como unprisma muy alargado, o bien como una sucesin de pequeos prismas.El volumen correspondiente se obtiene multiplicando la superficie de laseccin normal al eje por la longitud del susodicho prisma. Convienecalcular la inclinacin sobre el horizonte de las lneas de paso deldesmonte al terrapln, as como tambin el volumen engendradoexactamente por las superficies de revolucin en las distintas curvas.Los clculos resultantes pueden anotarse en un estadillo u hojas demedicin parecidas a los siguientes modelos: Fig. 1. Hoja-tipo de medicin de obras de tierra I. 36. Fig. 2. Hoja-tipo de medicin de obras de tierra II.7.5.3. Cubicacin por curvas de nivelEste mtodo de cubicacin por secciones horizontales debe usarsecuando el desmonte o el terrapln a realizar tienen forma de montculo ode cubeta.Cuando se dispone de un plano topogrfico suficientemente preciso concurvas de nivel de la parcela en estudio y se quiere calcular el volumende movimiento de tierras a efectuar para la explanacin de la misma, sepuede emplear este sistema a nivel de anteproyecto o estudio previo. Seobtendrn unos valores slo aproximados dependiendo de la bondad delplano y de la equidistancia de las curvas de nivel.La frmula empleada es la siguiente:Volumen = [(S + S)h] / 2,donde S y S son las superficies delimitadas por curvas de nivelcontiguas y h es la equidistancia existente entre las mismas.Este mtodo resulta poco exacto y se debe emplear slo cuando sequieren calcular -de forma aproximada y rpida- grandes volmenes. Endesmontes, los valores obtenidos son menores que en la realidad, puestoque entre las curvas de nivel se considera el terreno natural conpendiente uniforme, cuando en realidad no tiene por que ser as.7.5.4. Cubicacin por cuadrcula o mallaSe utiliza este mtodo cuando el terreno es de forma poligonal, tienedimensiones comparables en longitud y anchura, adems de presentaraccidentes poco importantes y que se hallan regularmente repartidos.En la zona donde se va a realizar la cubicacin se replantea, previo alclculo correspondiente, una cuadrcula o parrilla, materializndolamediante clavos, varillas metlicas o estacas de madera; cada puntoreplanteado tendr una nomenclatura determinada: un nmero la abscisay una letra la ordenada. Tambin pueden emplearse nmeros solamente.La distancia existente entre los puntos replanteados ser constante y si se trata de una malla cuadrada, obviamente la distancia es lamisma en abscisas y ordenadas. Por lo tanto, se conoce la cota decada punto de la malla replanteada y se sabe tambin la cota de la 37. rasante junto con la pendiente de los taludes. Se puede entoncesaplicar la frmula de la altura media a cada uno de los troncos de prisma de base rectangular, del siguiente modo:Volumen = SHm, donde: Hm = (h1 + h2 + h3 + h4) / 48. CLASIFICACIN DE LOS TERRENOSDe acuerdo a la mecnica de suelos, se han establecido sistemas declasificaciones de los suelos, como por ejemplo el AASHTO. En estossistemas de clasificacin se consideran, en general, suelos de tipogranulares (gravas y arenas) y limosos-arcillosos, dentro de los cualesexisten subdivisiones que estn relacionadas con el tamao de laspartculas del suelo, el lmite lquido, ndice de plasticidad e ndice degrupo. Desde el punto de vista edafolgico, dichas clasificacionesdeterminan la textura de los horizontes del suelo cultivable.Esta clasificacin reviste singular importancia en el movimiento de tierrapreciso para llevar a cabo la explanacin de un terreno, ya que una vezefectuada, la capa superior del suelo ya rectificada de acuerdo al nivel deproyecto de la subrasante, debe tener una capacidad resistente mnimaaceptable (requerimiento geotcnico) para soportar las cargastransmitidas desde la superficie del solar o parcela, o bien para cumplirciertos requerimientos texturales o granulomtricos desde el punto devista edafolgico si se trata de un campo de cultivo.Considerando la clasificacin AASHTO se acepta que cumplen estacondicin los suelos clasificados como A-1, A-2, A-3, y adems los queexplcitamente recomiende el laboratorio oficial correspondiente.En general se clasifican los suelos segn propiedades mecnicassimilares. El vigente Cdigo Tcnico de la Edificacin (REAL DECRETO314/2006, de 17 de marzo, por el que se aprueba el Cdigo Tcnico de laEdificacin. BOE n. 74 de 28/3/2006 (pgs. 11.81611.831) define comosuelo la parte de la corteza terrestre formada por materiales que puedenser disgregados en partculas individuales por la accin del agua 29.29 El Cdigo Tcnico de la Edificacin (CTE) es el marco normativo espaol que establece las exigencias bsicas de los edificios que cumplen los requisitos bsicos definidos por la Ley de Ordenacin de laEdificacin (LOE). El Ministerio de Vivienda, a travs de la Direccin General de Arquitectura y Polticade Vivienda, fue el organismo encargado en su da por el Gobierno de Espaa para la elaboracin delCTE. Para ello cont con la colaboracin del Instituto de Ciencias de la Construccin Eduardo Torroja perteneciente al Consejo Superior de Investigaciones Cientficas (CSIC). Adems, la Comisin Tcnicapara la Calidad de la Edificacin (CTCE) colabor en la elaboracin del CTE y sirvi de cauce para laparticipacin de las diversas Comunidades Autnomas en el proceso. Tambin se tuvo la participacin de centros de investigacin y universitarios y la colaboracin desinteresada de expertos independientes. La estructura utilizada es una simplificacin del esquema nrdico de Cinco Niveles. Se compone de 38. Segn la legislacin espaola, se realiza la clasificacin de los terrenosde cimentacin en consideracin a su comportamiento frente a las cargasde cimentacin, y a los efectos de determinar las presiones admisiblesque pueden soportar. En cualquier caso, por su inters tambin a losefectos del presente libro, haremos una descripcin sucinta de la misma.De este modo, se clasifican los terrenos naturales en: rocas, terrenos sincohesin, terrenos coherentes y terrenos deficientes. La mayor parte delos suelos naturales estn compuestos por una mezcla de dos o ms deestos elementos, aunque tambin puede encontrarse en su composicinun porcentaje variable de materia orgnica o restos vegetales(descompuesta o en proceso de descomposicin). Respectivamente:1. Rocas. Se clasificar como "roca" el material constitutivo de aquellasexcavaciones que deban efectuarse en formaciones geolgicasfirmemente cementadas, mediante el uso imprescindible, sistemtico ypermanente de explosivos legalmente autorizados; los materiales que nocumplan con esta condicin, se clasificarn como terreno de cualquiernaturaleza. Las rocas son, pues, formaciones geolgicas slidas, connotable resistencia a la compresin. Se agrupan en: A. Rocas istropas. Sin visible estratificacin: granitos, dioritas, etc. B. Rocas estratificadas. Con visible estratificacin laminar: pizarras, esquistos, etc.Los terrenos formados mayoritariamente por estratos rocosos son muy resistentes a la compresin, como ya se ha dicho, y en casode no presentar la roca en cuestin fisuras o estratificacin,resultan ser, sin duda alguna, los ms adecuados para soportar lascimentaciones de cualquier tipo. En el estudio de los materialesrocosos se debe distinguir claramente entre el comportamiento de las propiedades geomecnicas de la roca matriz, que se obtienen por medio de los pertinentes ensayos, y el del medio rocoso, que suelen incluir significativas discontinuidades en su estructura. Objetivos, Exigencias, Mtodos de verificacin y Soluciones aceptadas. Las Normas Bsicas de laEdificacin (NBE) desaparecen como tales y su contenido, convenientemente actualizado y estructuradode acuerdo con este nuevo enfoque, queda recogido en el CTE. Las Instrucciones de hormign armado yen masa EHE y EF, de carcter bsico, coexistirn con el CTE y en principio tendrn su tratamiento especial. Otras normativas reglamentarias que afectan a las instalaciones que se incorporan en losedificios (RIPCI, REBT, RITE, RIGLO, etc.), que dependen de otros departamentos ministeriales, serntambin referencias externas al CTE. Los Eurocdigos fueron considerados como documentos de referencia bsicos en la elaboracin del CTE y su utilizacin como mtodos de verificacin serconsiderada en cada caso. De cualquier modo el CTE, como marco tcnico de carcter bsico, podr completarse con las exigencias dimanantes de otras normativas dictadas por las Administraciones competentes. 39. 2. Terrenos sin cohesin. Son terrenos formados fundamentalmentepor ridos de grano grueso: grava, arena y limo inorgnico, pudiendocontener arcillas en cantidad moderada. Predomina en ellos laresistencia debida al rozamiento interno. La distribucin granulomtricade los suelos de grano grueso se determina mediante tamizado. Seclasifican en: A. Terrenos de graveras. Si predominan las gravas y gravillas, conteniendo al menos un 30% de estos ridos. B. Terrenos arenosos gruesos. Si predominan las arenas gruesas y medias, conteniendo menos del 30% de gravas y gravillas y menos del 50% de arenas finas y limo inorgnico. C. Terrenos arenosos finos. Si predominan las arenas finas, conteniendo menos del 30% de grava y gravilla y ms del 50% de arenas finas y limo inorgnico.A estos efectos, se denominarn los ridos, segn el tamao de susgranos, como sigue: Gravas y gravillas: mayor de 200 mm. Arenas gruesas y medias: entre 200 y 0,20 mm. Arenas finas: entre 0,20 y 0,06 mm. Limos inorgnicos: menor de 0,06 mm.3. Terrenos coherentes. Son terrenos de grano fino formadosfundamentalmente por arcillas, que pueden contener ridos en cantidadmoderada. Al secarse forman terrones que no pueden pulverizarse conlos dedos. Predomina en ellos la resistencia debida a la cohesin. Ladistribucin granulomtrica de los suelos de grano fino se determina porlo general, por sedimentacin. Segn su consistencia y su resistencia ala compresin en estado natural no alterado, se clasifican en: A. Terrenos arcillosos duros. Los terrones con su humedad natural se rompen difcilmente con la mano. Tonalidad, en general, clara. Resistencia a la compresin superior a 40 kp/cm (> 04 N/mm2). B. Terrenos arcillosos semiduros. Los terrones con su humedad natural se amasan difcilmente con la mano. Tonalidad, en general, oscura. Resistencia a la compresin comprendida entre 20 y 40 kp/cm (02-04 N/mm2). 40. C. Terrenos arcillosos blandos. Los terrones con su humedad natural se amasan difcilmente, permitiendo obtener entre las manos cilindros o fideos de 3 mm. de dimetro. Tonalidad, en general, oscura. Resistencia a la compresin comprendida entre 10 y 20 kp/cm (01-02 N/mm2). D. Terrenos arcillosos fluidos. Los terrones con su humedad natural, presionados en la mano cerrada, fluyen entre los dedos. Tonalidad, en general, oscura. Resistencia a la compresin inferior a 10 kp/cm (< 01 N/mm2).4. Terrenos deficientes. Son terrenos en general no aptos para lacimentacin de construcciones aunque s pueden serlo perfectamentepara otros usos: agrcolas, forestales, espacios verdes, etc. Entre ellos seencuentran los siguientes: A. Fangos inorgnicos. Limos inorgnicos y arcillas con gran cantidad de agua, que no permite la formacin de cilindros que resistan su propio peso. B. Terrenos orgnicos. Los que contienen una proporcin notable de materia orgnica o humus. Se les denomina comnmente como tierra vegetal. C. Terreno de relleno o echadizos. De naturaleza artificial, como los vertederos sin consolidar.9. ALGUNAS ESPECIFICACIONES DE INTERS9.1. Respecto de los desmontes o excavacionesPara los efectos de determinar el costo de ejecucin material de unaexcavacin se establece una clasificacin, basada en la mayor o menordureza del terreno, y que debe ser usada para la cubicacin de losmovimientos de tierra, pues de esta clasificacin dependern los mediosmateriales necesarios para realizar la excavacin, que varan con lanaturaleza del terreno. Desde este punto de vista, las excavaciones sepueden clasificar en:A) Excavacin en terreno blando. Puede ser ejecutada valindose exclusivamentede la pala. El material del suelo puede ser de tipo arenoso, arcilloso o limoso, o bienresultar una mezcla de estos materiales; tambin puede contener materiales de origenorgnico. 41. B) Excavacin en terreno semiduro. Puede ser ejecutada valindoseexclusivamente de picota. El material puede ser, en tal caso, una mezcla de grava,arena y arcilla, moderadamente consolidada, o bien una arcilla fuertementeconsolidada.C) Excavacin en terreno duro. Puede ser ejecutada valindose exclusivamente dela chuzo. El material puede ser una mezcla de grava, arena y arcilla, fuertementeconsolidada.D) Excavacin en terreno muy duro. Puede ser ejecutada valindosenecesariamente del uso de maquinaria especializada. El tipo de material puede seruna roca semi-descompuesta.E) Excavacin en roca. Es la que precisa para su ejecucin del uso de explosivosautorizados. El material puede estar constituido por un manto de roca, o bien porpiedras de gran tamao, que no pueden ser removidas mediante el simple uso demaquinaria.9.2. Respecto de los terraplenes o rellenosEl material que se emplee en los rellenos debe ser el apropiado, segn laclasificacin de suelo y los ensayos de laboratorio. Material que deberser verificado preferentemente por el propio laboratorio, o bien en base alos mtodos prcticos de reconocimiento de suelos. El relleno debeejecutarse por capas horizontales o tongadas de espesor suelto nomayor de 25 cm. al objeto de que adquieran la necesaria compacidad, entodo el ancho de la parcela y en longitudes adecuadas, de acuerdo almtodo empleado en la distribucin, mezcla y compactacin. En caso deser transportado y vaciado el material mediante camiones, moto trallas uotro equipo de volteo cualquiera, la distribucin debe ser efectuadamediante bulldozer, motoniveladoras u otro equipo adecuado. Si elmaterial no fuese uniforme, se debe proceder adems a mezclarlo hastaobtener la debida uniformidad. Al mismo tiempo, deber controlarse eltamao mximo de los elementos que integren dicho material, eliminandotodo aquel que supere este tamao. Para la ejecucin de las obras deterraplenado en carreteras y puentes, deben considerarse los distintostipos de material de relleno segn sus caractersticas y cumpliendo lascondiciones bsicas de: a. Estabilidad. b. Deformaciones tolerables acorto y largo plazo. c. Puesta en obra en condiciones aceptables.El Proyecto o Director facultativo de obra debe especificar el tipo dematerial a emplear de acuerdo a la siguiente clasificacin: Suelos Seleccionados Suelos Adecuados Suelos Tolerables Suelos Marginales Suelos InadecuadosSe distinguen en el terrapln cuatro zonas bien diferenciadas, a saber: 42. Coronacin: es la parte superior del relleno tipo terrapln, sobre la que se apoya el firme, con espesor mnimo de 2 tongadas y siempre mayor de 50 cm. Ncleo: es la parte del relleno tipo terrapln comprendida entre el cimiento y la coronacin. Espaldn: es la parte exterior del relleno tipo terrapln que, ocasionalmente formar parte de los taludes del mismo. No se consideran parte del espaldn los revestimientos sin funcin estructural en el relleno entre los que se consideran plantaciones, cubiertas de tierra vegetal o protecciones antierosin. Cimiento: es la parte inferior del terrapln en contacto con la superficie de apoyo. Su espesor ser como mnimo de 1 metro.Fig. 3. Relleno efectuado con moto-tralla. CAPTULO 2EXPLANACIN Y NIVELACIN DEL TERRENO1. CONCEPTOLas nivelaciones consisten en la operacin de determinar una cotataquimtrica del terreno u obra, conociendo previamente una cota inicialo de salida. Dichas nivelaciones reflejarn el desnivel que existe entre losdiferentes puntos de la parcela o solar estudiado. Las nivelacionesservirn para resolver las incgnitas de diferencias altimtricas, para 43. definir cotas de obra de plataformas, pendientes de evacuacin de aguasen vas pblicas, desniveles de tuberas, nivelacin de explanacionestales como autovas, campos de ftbol, campos de cultivo, diques,jardines, escolleras, pistas aeroportuarias, soleras, etc. Podramosentender la explanacin como la operacin de movimiento de tierrasa efectuar con el objetivo de convertir la superficie de un terrenonatural en un plano horizontal o inclinado.En general, estos trabajos consisten en la ejecucin de todas las obrasde tierra necesarias para la correcta nivelacin de las reas destinadas ala construccin, la excavacin de prstamos cuando estos seannecesarios, la evacuacin de materiales inadecuados que se encuentranen las reas sobre las cuales se va a construir, la disposicin final de losmateriales excavados y la conformacin y compactacin de las reasdonde se realizar la obra. Dichos trabajos se ejecutarn de conformidadcon los detalles mostrados en los planos o por el Director de Obra,utilizando siempre el equipo ms apropiado para ello. La nivelacin ha contribuido en forma muy importante al desarrollo de la civilizacin, ya que las construcciones de caminos, conductos de agua o canales y las grandes obras de arquitectura e ingeniera, entre otras,tanto de la era moderna como de la antigedad, son una prueba palpablede este sorprendente descubrimiento. No se sabe con exactitud el origen de esta rama de la topografa, pero se piensa que desde que el hombrequiso ponerse a cubierto, tanto del clima como de las bestias salvajes, setuvo una idea ms o menos precisa de la nivelacin; desde apilarmateriales y dar cierta estabilidad a stos, como el hecho de cursar lasaguas para los cultivos, pensando incluso ya en las pendientes. Todo ello condujo a la fabricacin de ingeniosos instrumentos, desarrollndoseparalelamente las tcnicas y estudios pertinentes, lo que origin laaparicin de nuevas teoras basadas en el desarrollo tecnolgico ycientfico, dando lugar, en fin, a las denominaciones que utilizamos cotidianamente en la actualidad. Son muestras de belleza dignas de admiracin lo logrado en las pirmides de Egipto, los caminos y canales hechos por los antiguos griegos y romanos, el canal de Suez o el dePanam, la Gran Muralla china, los tneles del Mont-Cenis en Panam o bajo el canal de la Mancha, y tantas otras obras que sin las tcnicas propias de la nivelacin, jams estaran de pie para poderlas admirar enestos aos.La utilidad de la nivelacin del terreno resulta innegable. Su fin principales el clculo de las pendientes y de los desmontes o terraplenes que hayque realizar en la ejecucin de los distintos trabajos. Las instruccionesoficiales obligan a los constructores a tomar, como plano horizontal dereferencia, el nivel medio del mar; este nivel se considera como de cotacero. Por consiguiente, el punto de partida de toda nivelacin, ha de 44. referirse al nivel del mar. Para ello debe buscarse, en las inmediacionesdel lugar que se trata de nivelar, un punto cuya altura sobre el nivel delmar sea conocida. En todos los pases occidentales, al realizar lanivelacin general por el cuerpo de Topgrafos e Ingenieros gegrafos,se dejan sealados puntos de cota conocida, que sirven de referencia enlas operaciones ulteriores. En Espaa, tradicionalmente, estos puntos losfijaba el Instituto Geogrfico Nacional, sealndolos con un disco demetal que lleva las letras N.P. (nivelacin de precisin) y el nmero deorden de la cota correspondiente. Esta placa o redondel de metal, secoloca generalmente al pie de algn edificio o muro, y en ste se instala,a poca altura del suelo, una placa mucho mayor en la que consta laaltura en metros y milmetros que corresponde al punto sealado.Ordinariamente, hay un punto de cota determinada en casi todas lasestaciones de ferrocarril de nuestro pas. Una vez conocida la altura del punto de referencia, se le toma como origen para determinar la cota de todos los puntos cuya altura sobre elnivel del mar se quiere conocer. Basta, para esto, con hallar la diferenciaentre las alturas de estos puntos y la del punto de referencia, y sumarla o restarla de la de ste, segn est situado ms bajo o ms alto que losdems.La Altimetra es la parte de la topografa que tiene por objeto el estudiode los mtodos y procedimientos que sirven para la representacin delrelieve del terreno mediante el levantamiento de los perfileslongitudinales y transversales del mismo. La exactitud de estasmediciones depende del objetivo que se persigue y tambin de losmedios disponibles (instrumentos topogrficos e informticos). Losinstrumentos topogrficos empleados en la prctica de la nivelacin son,bsicamente, los siguientes:- Niveles para dirigir visuales- Miras para medir distancias- Estaciones totales- Instrumentos GPSLos niveles pueden ser de precisin y de mano. Aunque el teodolito y elbarmetro no son aparatos propiamente diseados para la prctica de lanivelacin, tambin se emplean para calcular las diferencias de nivelexistentes entre los puntos del terreno. En cualquier caso, paradeterminar las alturas de puntos sobre la superficie terrestre es necesarioutilizar algn punto o superficie como referencia o datum. 45. 2. ALGUNAS DEFINICIONES O CONCEPTOS DE INTERS EN LANIVELACIN DE TERRENOSVeamos las ms relevantes (algunas de ellas ya han sido definidas en elcaptulo anterior).Topgrafo: El topgrafo es el profesional especialista que describe ohace mapas de la topografa de un lugar o regin; son los encargados deplasmar, en un plano topogrfico, la realidad vista en el mbito rural onatural de la superficie terrestre y en el campo urbano la descripcin delos hechos o elementos existentes, como muros, edificios, calles ypuentes, entre otros. El topgrafo no se limita a realizar levantamientostopogrficos sino que posee el conocimiento suficiente para editar yredactar mapas cartogrficos. Las principales facultades de un topgrafoson las siguientes: Calcular las superficies y volmenes. Representar las medidas tomadas en el campo mediante levantamientos topogrficos y perfiles necesarios para elaborar un plano. En un mapa topogrfico con curvas de nivel determinar la elevacin y la pendiente as como estimar los volmenes de corte (desmonte) y relleno de material (terrapln o pedrapln) requerido en la ejecucin de una obra pblica o privada.La tarea del topgrafo resulta previa al inicio de un proyecto tcnico: unarquitecto o ingeniero proyectista debe contar con un buen levantamientoplani-altimtrico o tridimensional previo del terreno y de "hechosexistentes" (elementos inmviles y fijos al suelo), ya sea que la obra seconstruya en el mbito rural o urbano. Una vez realizado el proyecto conbase en este relevamiento, el topgrafo se encarga del "replanteo" delmismo: ubica los lmites de la obra, los ejes desde los cuales se midenlos elementos (columnas, tabiques...); establece los niveles o la altura dereferencia. Luego la obra avanza y en cualquier momento, el arquitecto oingeniero director de obra puede solicitar un "estado de la obra" (unrelevamiento in situ para verificar si se est construyendo dentro de laprecisin establecida por los pliegos de condiciones) al topgrafo. Laprecisin de una obra vara para cada caso: no es lo mismo efectuar elreplanteo de la cimentacin de una central nuclear que la ubicacin deleje hidrulico de un canal de riego o de desage, o bien de un caminorural de uso pblico.Rasante: Con sendas acepciones: 1. Consideracin de una lnea, de unacalle, camino o terreno, con respecto a su inclinacin con la horizontal. 2.Lnea que marca el encuentro del terreno con el paramento vertical de unedificio. 46. Planta: es la representacin del proyecto de explanacin en un planohorizontal de referencia. Los puntos estn definidos por sus trescoordenadas (X, Y, Z) en un sistema de coordenadas general (UTM) obien local (relativo).Traza: es la interseccin del terreno con los planos verticales quecontienen a la planta del proyecto.Cota roja de un punto: es la diferencia existente entre la cota que tieneese punto en la rasante definitiva y la que tiene en la traza. Es decir, es lacota en el proyecto menos la cota en el terreno natural. Desde luego, esel dato preciso para llevar a cabo el replanteo altimtrico. La cota rojapuede ser: Positiva: proyecto a mayor cota que el terreno (exige terrapln orelleno de tierras). Negativa: proyecto a menor cota que el terreno (supone corte odesmonte de tierras).Esquemticamente, veamos que los pasos o fases que se siguen paracalcular las cotas rojas de los puntos del proyecto son los siguientes: Realizar el proyecto sobre la cartografa base: se proyecta laplanta del proyecto. Replantear la planta: se obtiene la traza a lo largo del eje delproyecto, el perfil longitudinal del terreno. Sobre la traza se proyecta la altimetra de la obra, la rasante.Comparando las cotas de la rasante y las de la traza, se calculanlas cotas rojas de los puntos secuenciales. Se realiza, en fin, el replanteo altimtrico.Estaca o piquete de rasante: Estaca que marca el nivel especfico ydetermina la cantidad de relleno requerido para nivelar el terreno.Relleno controlado: Relleno colocado en capas sucesivas, compactadoy controlado para asegurar que se corresponde con las normas decompactacin especficas y para conocer el contenido de humedad decada una de las capas, as como su espesor y capacidad portante.Perfil o rasante del terreno natural: Perfil y elevacin natural de lasuperficie del terreno.Movimientos de tierra: Las cotas de proyecto de rasante y subrasantede las obras de pavimentacin o de explanacin de una parcela decultivo o de un terreno industrial o deportivo establecen la necesidad demodificar el perfil natural del suelo, siendo necesario, en algunos casos,rebajar dichas cotas y en otros casos elevarlas. En el primer caso 47. corresponde ejecutar un trabajo de "corte o excavacin", y en elsegundo, un trabajo de "relleno o de terrapln".Alineaciones, niveles y perfiles: En todo proyecto de pavimentacin seconsultan planos de perfiles longitudinales y transversales, relacionadoscon la lnea de la calzada. Estos planos deben servir como gua paraestablecer las cotas que definirn la alineacin y las alturas deexcavacin o de relleno. Una vez definido el trazado en planta de unaobra vial, v. gr., es necesario conocer la conformacin del terrenocircundante para definir la posicin final de la rasante y las caractersticasde las secciones transversales que resultarn al imponer la plataforma deproyecto. Los diversos tipos de perfiles que se levantan, tienen por objetorepresentar con fidelidad la forma y las dimensiones que el terrenopresenta segn los planos principales. Estos definen tridimensionalmentela obra en proyecto, a una escala adecuada que permita cubicar susdiversos componentes.Perfiles longitudinales del terreno: Se llama perfil longitudinal delterreno a la interseccin de ste con una superficie de generatricesverticales que contiene el eje del proyecto.Perfiles transversales del terreno: Se define como perfil transversal deuna parcela a la interseccin de la misma con un plano vertical que esnormal, en el punto de inters, a la superficie vertical que contiene el ejedel proyecto. El perfil transversal tiene por objeto presentar, en un cortepor un plano transversal, la posicin que tendr la obra proyectadarespecto del proyecto y, a partir de esta informacin, determinar lasdistintas cantidades de obra a remover, ya sea en forma grfica oanaltica.Perfiles especiales del terreno: Para resolver algunos aspectos de unestudio de un camino, emplazamiento de obras de arte por ejemplo,puede ser necesario tomar perfiles especiales. Los ms corrientes sellevan a cabo segn ejes que corten el eje longitudinal bajo un ciertongulo; en otros casos pueden ser perfiles de estudios especiales ocomplementarios en lugares que se ven comprometidos por la obra. Losperfiles especiales que corten al eje longitudinal se pueden definir por elkilometraje de la interseccin ms el ngulo de corte; a otros se lesdefinir por nmeros o bien por letras y se les ubicar en la planta.Especificaciones: Antes de comenzar cualquier operacin relacionadacon movimiento de tierras se debern estacar, a distancias no superioresa 30 m. entre s, el pie de los terraplenes y los bordes superiores de loscortes. Las excavaciones debern alcanzar con exactitud las trazas quemuestren los planos, debindose respetar estrictamente las alineaciones,niveles, taludes y secciones transversales. Las excavaciones de cortes 48. incluyen en algunos casos, adems, la demolicin de revestimientosasflticos existentes, de pavimentos de hormign, incluso de bases ysub-bases cuando as corresponda.Curvas o lneas de nivel: Las curvas de nivel son lneas imaginarias,verticalmente equidistantes, que unen en forma continua todos los puntosde igual cota taquimtrica de un terreno. En un mapa topogrfico concurvas de nivel podemos determinar la cota o elevacin de cualquierpunto sobre el plano, la pendiente existente entre dos puntos, as comoestimar los volmenes del corte (desmonte) y relleno (terrapln opedrapln) del material requerido en la ejecucin de una obra. Existendos tipos de curvas de nivel: las curvas maestras y las intercaladas. Enun mapa o plano con curvas de nivel podemos observar una grancantidad de informacin sobre las caractersticas de la topografa dellugar.Las curvas o lneas de nivel se caracterizan porque: No se cruzan entre s. Deben ser lneas cerradas, aunque esto no suceda dentro de las lneas del dibujo. Cuando se acercan entre s indican un declive ms pronunciado y viceversa. La direccin de mxima pendiente del terreno, en un punto determinado del mismo, queda en ngulo recto con la tangente a la curva o lnea de nivel en dicho punto.Consideremos ahora una funcin de dos variables independientes querelaciona la cota taquimtrica de cada punto del terreno (Z) con laordenada (Y) y la abscisa (X) correspondientes, as:Z = f(X,Y)Observamos que dicha funcin f es una regla numrica mediante la cualdistintos valores de las coordenadas X e Y se traducen en distintosniveles de Z. En este caso, al tener nicamente dos variablesindependientes podemos realizar la representacin grfica de estafuncin. En la figura siguiente puede verse que todos los puntos delprimer cuadrante o cuadrante positivo (puntos del plano cartesianocorrespondientes a valores positivos de X y de Y) representan diversascombinaciones de ambas coordenadas. A saber: 49. Fig. 1. Representacin grfica de las curvas de nivel o isocuantas altimtricas.Cada punto, en este plano en planta del terreno, representa un nicovalor de la funcin Z o cota. As, los puntos A, B, C y D ofrecen una Z = 5m. mientras que el punto F ofrece una Z = 15 m. En la figura anterior, lalnea suave que entrelaza los puntos en que la funcin altura toma elmismo valor representa el lugar geomtrico (o geogrfico) de todas lasposibles combinaciones de la abscisa y la ordenada para las cuales lacota taquimtrica resultante es la misma. Esta curva o isocuantaaltimtrica constituye la curva de nivel que, en el caso de un plano,configurar una recta de nivel.En definitiva, una curva de nivel es un modelo analgico del terrenonatural consistente en realizar una substitucin adecuada de unapropiedad de la situacin real por otra en el modelo asociado, de acuerdocon ciertas reglas. Y as, las distintas alturas de un terreno quedandelimitadas por las curvas de nivel que, como se ha dicho, son el lugargeomtrico de los puntos del terreno que tienen idntica altitud o cotataquimtrica con respecto al nivel medio del mar o a cualquier planorelativo de comparacin. Y sin embargo, es obvio que en la realidad delterreno no aparecen precisamente las curvas de nivel surcando valles ymontaas o serpenteando por las llanuras a la vista arrobada delobservador (FRANQUET, 1991).Descapote y desenraizado: Consiste en la retirada de races y suelosvegetales que contengan materia orgnica, arcillas expansivas ocualquier otro material que la Direccin facultativa considere inapropiadopara la construccin de la obra. Los materiales resultantes sernretirados del sitio de la obra por el Contratista y depositados envertederos autorizados o terrenos de cultivo. No se pagar el descapoteejecutado por fuera de los lmites indicados en los planos o no ordenadospor la Direccin facultativa de las obras. La cantidad de la obracorrespondiente a este tem se medir por metros cbicos (m3). Elvolumen se calcula de acuerdo con las secciones del terreno tomadas 50. antes y despus de descapotar. Su precio incluye todos los costosdirectos e indirectos necesarios para la ejecucin del trabajo y la retiradade los materiales resultantes.Corte en roca: Se define como roca aquel material cuya dureza ytextura sea tal que no puede excavarse por mtodos diferentes devoladuras o trabajo manual por medio de fracturas y cuas posteriores ycuyo volumen sea superior a 3/4 de metro cbico (075 m3).Cortes en material comn: Comprende todas las excavaciones noclasificadas como excavacin en roca.Remocin de derrumbes: Comprende la extraccin y disposicin de losmateriales provenientes de derrumbes o deslizamientos de los taludessobre la explanacin ya terminada o en proceso de ejecucin. Estosderrumbes deben ser removidos tan pronto como se presenten paraevitar daos y perjuicios a terceros. Si durante el proceso de ejecucinde los cortes se presentaren derrumbes en los taludes y aquellos nofuesen atribuibles a descuido, negligencia o falta de cuidado delContratista, ste los retirar, y el costo le ser reconocido de acuerdo conel volumen efectivamente removido. Las cunetas y drenajes serestablecern tan pronto como sean removidos los derrumbes. Si por elcontrario stos se debieran a negligencia o descuido del Contratista o aoperaciones deficientes, sern retirados por el Contratista a su costo opor el Promotor en ejecucin subsidiaria. Si tales derrumbes produjerenperjuicios a las obras, al personal o a terceros, las indemnizacionescorrern por cuenta del Contratista.Medida y abono de derrumbes en explanaciones: La unidad demedida empleada ser el metro cbico (m3) y se pagar de acuerdo conlo convenido en la obra o el contrato de obra existente entre el Promotory el Contratista-adjudicatario de las obras de tierra correspondientes. Enlas bases tcnicas especiales, se indicar la forma de presentacin delas partidas que comprende el movimiento de tierras de la obracontratada, de acuerdo a los siguientes criterios: Volumen de excavaciones, de acuerdo a su clasificacin. Volumen de material de excavacin empleado como relleno en la misma obra (movimiento de tierra compensado). Relleno de emprstito.En la presentacin de las propuestas en base a precios unitarios, secubicar separadamente cada una de estas partidas.Medidas de distancias verticales: Mediante ellas se trata de determinarla diferencia de elevacin existente entre dos puntos del terreno, o sea, la 51. distancia que separa dos planos horizontales, ya sean reales oimaginarios, en los cuales estn contenidos dichos puntos. Se observaque las medidas de diferencias de nivel tienen mucho que ver, directa obien indirectamente, con las medidas de distancias verticales, debido aque este conjunto de procedimientos realizados para tomar las medidascitadas recibe, como ya hemos visto, el nombre de nivelacin. Seconsidera el nivel medio del mar (en Alicante, en nuestro pas) 30 como elplano de referencia ms empleado; sin embargo, para realizar unanivelacin no es necesario relacionarse con esta consideracin, puestoque un levantamiento taquimtrico se realiza referencindole a un planocualquiera, con respecto a las cotas referenciadas, si slo se desea lanivelacin relativa de los puntos entre s.3. TIPOS O MTODOS DE NIVELACIN3.1. Clasificacin de los mtodos de nivelacinLos trabajos altimtricos, o nivelaciones de terrenos, tienen por objetodeterminar la altura de sus puntos sobre una superficie de nivel, que setoma como superficie de comparacin y se denominan cotas. La cota deun punto referido al nivel del mar se llamar altitud. En todo trabajo ha departirse de un punto de origen de altitud conocida o de cota arbitraria.En la nivelacin, a diferencia de la representacin plana de la topografa,debemos tener sumo cuidado con los errores, puesto que en altimetralas superficies de nivel hemos de considerarlas esfricas. Debemos tenerpresente los errores de esfericidad y de refraccin y que los mismosestn contenidos dentro de las tolerancias exigibles.Casi todos los tratados de Topografa ofrecen el modo de llevar unalibreta de nivelacin y, por consiguiente, la manera de efectuarcorrectamente las distintas operaciones sobre el terreno. Estosprocedimientos son exigentes y obligan al operador a comprobar a cadapaso; sin embargo, tienen el inconveniente de complicar los clculos, porlo cual indicaremos aqu un procedimiento mucho ms expedito, con elque un operador medianamente prctico efectuar rpidamente todas lascomprobaciones, ahorrndose tiempo y trabajo.Desde luego, la nivelacin se ejecuta valindose de un instrumentotopogrfico adecuado y una mira. Prescindamos, por ahora, de la clasede instrumento que se emplee, ya sea ste un nivel con anteojo o con30 En Espaa, el nivel del mar es la medida media tomada en la costa de la ciudad de Alicante. Todaslas mediciones de nivel estatales (altitudes positivas o negativas) toman como referencia la cota ceroque indica esa altura media y que est indicada con una placa colocada al pie de la escalera delayuntamiento de esa bella ciudad levantina. 52. colimador, rayo lser, GPS, etc.; y lo mismo respecto a la mira, quepuede ser parlante, de tablilla, receptor de lser,...Se empieza por situar el nivel, esto es, ponerlo en estacin, sobre unpunto desde donde pueda leerse la mira colocada en el punto de origen oen los dems puntos que se trata de nivelar. A continuacin, se coloca lamira verticalmente sobre el punto de partida. El nivel, que se muevesolamente en el plano horizontal o acimutal, se dirige a la mira y se haceuna lectura. Se suma esta lectura al nmero, conocido de antemano, queexpresa la altura taquimtrica del punto de partida. El nmero resultanteofrece la cota del plano, que llamamos plano de nivel, que es el planohorizontal (paralelo al plano XOY en una representacin tridimensionalen coordenadas cartesianas rectangulares) al cual se refieren todos lospuntos que pueden nivelarse sin cambiar el nivel de su sitio; este planopasa por el eje ptico del nivel.Se comprende fcilmente que bastar entonces con restar todas laslecturas que se hagan sobre los distintos puntos en que se pone la mira,del nmero que indica la altura del plano del nivel, para tener todas lasalturas o cotas taquimtricas buscadas. La sencillez de estos clculosofrece la ventaja de permitir al operador el clculo de los diversos puntosa medida que avanza la operacin, de tal modo que si en el curso de lanivelacin encuentra un punto de referencia conocido, puede realizar lacomprobacin inmediatamente, lo cual le evitar tener que volver sobreel terreno.Al igual que en la taquimetra, existen varios mtodos altimtricos. El msusado para obtener el desnivel entre dos puntos es el denominadonivelacin geomtrica o por alturas, tambin puede utilizarse lanivelacin trigonomtrica o por pendientes y, por ltimo, la nivelacinbaromtrica. De todas ellas, la ms importante es la nivelacingeomtrica o por alturas y la ms imprecisa la baromtrica, hoy en daprcticamente en desuso.En definitiva, los diferentes mtodos de nivelacin usualmenteempleados los podemos clasificar as: Longitudinal NIV. SIMPLE Radial-DIRECTA O GEOMTRICA Longitudinal NIV. COMPUESTA Radial Por ejes cortosNIV. TRIGONOMTRICA-INDIRECTA A grandes distanciasNIV. BAROMTRICA 53. Vamos a desarrollar estos mtodos sucintamente a continuacin.3.2. Nivelacin geomtrica o directa (por alturas)3.2.1. DefinicinSe entiende por tal la determinacin del desnivel existente entre dospuntos mediante visuales horizontales hacia miras o reglas graduadas,que se ubican en posicin vertical sobre los puntos a nivelar (Figura 2).Permite la determinacin directa de las alturas de diversos puntos, almedir las distancias verticales con referencia a una superficie de nivel,cuya altura ya nos es conocida de antemano. La nivelacin por alturaspuede ser simple o compuesta. Es simple cuando los puntos cuyodesnivel pretendemos tomar estn prximos, y si por el contrario estnalejados y es preciso tomar puntos intermedios, haciendo cambios deestacin, se trata de una nivelacin compuesta. El desnivel (h)existente entre dos puntos 1 y 2 cualesquiera del terreno se calculainmediatamente hallando la diferencia entre las lecturas de la mira en losmismos, esto es:h = l1 - l2 (vase la Figura 2)Para realizar este tipo de nivelacin se utilizan aparatos pticosllamados niveles o equialtmetros que dirigen visuales horizontales (conlos clismetros, en cambio, se puede proporcionar a la visual unapendiente determinada) y la precisin de las mediciones efectuadasdepender, fundamentalmente, de las caractersticas del instrumentalempleado. De hecho, otros instrumentos topogrficos provistos deeclmetro podran utilizarse tambin como nivel, haciendo que la altura dehorizonte de la visual fuese cero; pero desde el momento en que elanteojo dispone de giro, esta horizontalidad no puede lograrse con laprecisin que se consigue con un nivel de anteojo, en que ste descansaen un soporte o bien va unido a l. Los niveles permiten determinar,adems, la distancia y los ngulos horizontales o acimutales al irprovistos del limbo correspondiente. Este mtodo se empleageneralmente en terrenos no muy accidentados. 54. Fig. 2. Nivelacin geomtrica o directa.Tal como hemos sealado anteriormente, al margen del mtodo aemplear en las nivelaciones directas, existen los siguientes tipos: lasnivelaciones simples, que consideran una posicin instrumental, y quepueden hacerse por el mtodo del punto medio, por el del punto extremo,por estaciones recprocas y por el de estaciones equidistantes. Y lasnivelaciones compuestas o de itinerario altimtrico, que consideranms de una posicin instrumental por lo que no son sino una repeticinde nivelaciones simples; comprenden los mtodos del punto medio, deestaciones dobles y de estaciones equidistantes.El mtodo de nivelacin por el punto medio, adems de ser el msrecomendable es el nico que elimina los errores sistemticos del nivel,incluso los de defectuosa correccin, esfericidad y refraccin. Se realizasituando el aparato a la misma distancia de cada uno de los puntos anivelar. Por el contrario, el mtodo del punto extremo se realiza situandola mira en uno de los puntos y en el otro el aparato, siendo conveniente,desde luego, no leer distancias superiores a los 100 metros.El mtodo de las estaciones recprocas aporta elementos nuevos. Enefecto, si bien los anteriores tienen el inconveniente de su falta decomprobacin, este ltimo mtodo permite al estacionar primero en unode los puntos y tomar el otro y, posteriormente, hacer lo mismo pero alcontrario; ello sirve como comprobacin del aparato y elimina los erroressistemticos del nivel. Por ltimo, existe el mtodo de las estacionesequidistantes que tambin elimina los errores, aunque realizamos dosveces el trabajo de lecturas.3.2.2. Nivelaciones simplesNivelacin simple longitudinal: 55. Los puntos se definen a lo largo de una recta, sin necesidad de quedichos puntos pasen por esta lnea.Nivelacin simple radial:Es muy parecida a la anterior, pero la diferencia con ella estriba en quelos puntos, en este caso, estn distribuidos en un rea y no en una lnearecta. La nivelacin radial, como su propio nombre indica, tiene lugarcentrando el aparato y tomando los puntos de forma radial; resulta muyrecomendable si pretendemos levantar altimtricamente un terrenotomando los puntos que lo definen, aprovechando tambin para levantarla zona planimtricamente.3.2.3. Composicin de nivelaciones simplesDentro del mtodo de nivelacin compuesta, cuando los puntos cuyodesnivel se quiere hallar estn situados a gran distancia, han de tomarseuna serie de puntos intermedios, obtenindose el desnivel entre cada dosconsecutivos. Al recorrer el itinerario de un extremo al otro, debemosutilizar el mtodo del punto medio, cerrando por supuesto la nivelacin ycalculando el correspondiente error de cierre. El error que obtengamos,denominado error kilomtrico o error de cierre, est expresado enmilmetros y no debe ser superior a 7 milmetros, como se verposteriormente.En este apartado, se distinguen dos grandes tipos o modalidades:Nivelacin compuesta longitudinal:Esta nivelacin est compuesta por dos o ms posicionesinstrumentales, pero los puntos estn distribuidos a lo largo de una recta,o dicho de otra manera, se tratara de unir dos o ms nivelacioneslongitudinales.Nivelacin compuesta radial:Esta modalidad de nivelacin, al igual que la anterior, la constituyen doso ms posiciones instrumentales, pero con la diferencia que los puntosestn distribuidos en un rea; en otras palabras, sera como tener unidasdos o ms nivelaciones radiales.3.2.4. Otros tiposNivelaciones abiertas y cerradas:Cabe destacar, que hay dos tipos de nivelaciones, al margen del tipo aemplear, que son tanto las nivelaciones abiertas, como las nivelacionescerradas, especificando que una nivelacin abierta ser cuando no tienecomprobacin; consiste en partir de una cota conocida para llegarposteriormente a un punto de cota desconocida. Por el contrario, una 56. nivelacin cerrada es aquella en que se puede comprobar el error decierre, ya que se parte de un punto con una cota conocida yposteriormente, luego de seguir un itinerario topogrfico determinado, sellegar a otra cota conocida, pudiendo tratarse, incluso, del mismo puntode partida.Nivelacin por doble posicin instrumental:Consiste en hacer dos registros por diferencia, ya que para una serie depuntos, se llevarn dos series de posiciones instrumentales, una por laderecha como otra por la izquierda, segn el sentido de avance. Todoello de modo que cuando ambos desniveles estn situados dentro de losrangos de tolerancia, se tomar el promedio aritmtico de ellos comodesnivel; de lo contrario, habr que realizar nuevamente las tomas de lascotas.Nivelacin por miras dobles:Dicha nivelacin consiste en usar dos miras; estas miras se ubican en elmismo punto, de tal forma que una de ellas se coloca invertida a laposicin de la otra. De esa forma, una vez realizada la lectura de ambasmiras en el mismo punto, la suma de ambas lecturas deber ser lalongitud de la mira; de lo contrario, se deber repetir dicha medicin.Nivelacin recproca:Esta nivelacin se utiliza cuando se estn tomando lecturas de lugaresinaccesibles, debiendo extremar la posicin del nivel con respecto a lasmiras ya que se est situado muy lejos de una y muy cerca de la otra.Estas lecturas extremas pueden ser interiormente a las miras oexteriormente a stas, pero siempre conservando una lnea recta.3.3. Nivelaciones indirectas3.3.1. Nivelacin trigonomtrica (por pendientes)Mediante este sistema se determinan los desniveles a travs de lamedicin de ngulos verticales o cenitales y las distancias entre lospuntos a nivelar (Figura 3). Se puede determinar con una cinta y unclismetro o bien, con un teodolito, al basar sus resoluciones en untringulo rectngulo situado en un plano vertical, por lo que se tomanmedidas de distancias horizontales y ngulos verticales o cenitales.Realizadas las operaciones correspondientes, la diferencia de cotataquimtrica entre ambos puntos A y B del terreno vendr dada por:h = h1 + h2Este tipo de nivelacin se utiliza principalmente en terrenos conpendientes muy pronunciadas. Se emplean, para ello, aparatos pticos 57. que permiten medir distancias as como ngulos horizontales y verticales.Estos instrumentos reciben el nombre de teodolitos.Fig. 3. Nivelacin trigonomtrica.3.3.2. Nivelacin baromtricaSe determina la diferencia de nivel, en este caso, por medio de unbarmetro o altmetro, puesto que la diferencia de altura existente entredos puntos se puede medir aproximadamente de acuerdo con susposiciones relativas bajo la superficie de la atmsfera, con relacin alpeso del aire o presin atmosfrica 31 gravitante sobre ellos, que sedetermina por el barmetro. La presin al nivel del mar es de 761 mm. decolumna de mercurio. Cada 100 m. de altura la presin atmosfrica varade 07 a 10 cm. de columna de Hg.De hecho, dicho mtodo es el ms impreciso de todos los expuestos yresulta til slo en reconocimientos, por lo que nos limitaremossimplemente a su cita sin ofrecer mayores detalles.4. ERRORES EN LA OPERATORIA Y RECOMENDACIONES31 La presin atmosfrica es la presin ejercida por los gases que conforman la atmsfera terrestre encualquier punto de la misma. Normalmente se refiere a la presin atmosfrica terrestre y al aire, pero eltrmino es extensible a la atmsfera de cualquier planeta o satlite y sus componentes. La atmsfera en laTierra tiene una presin media de 1.013,25 hectopascales (hPa) (o milibares (mbar)) al nivel del mar,medido en la latitud 45. La medida de presin del Sistema Internacional de Unidades (SI) es el newtonpor metro cuadrado (N/m) o Pascal (Pa). La presin atmosfrica a nivel del mar en unidadesinternacionales es 101.325 N/m Pa. 58. Hace tiempo se estudiaban los errores accidentales que tenan lugar enla prctica de las nivelaciones (errores aleatorios producidos por la faltade apreciacin del observador y sensibilidad del nivel) y los erroressistemticos (producidos por la falta de reglaje en el instrumento y que sedistribuyen segn reglas matemticas gaussianas 32 bien conocidas).A raz de la publicacin de las normas de calidad y su aplicacin, losfabricantes de instrumentacin topogrfico-geodsica nos ofrecen hoy enda las caractersticas tcnicas de la mencionada instrumentacin en elcumplimiento de dichas normas. Esto nos obliga a replantearnos la teoraaccidental y sistemtica empleada hasta ahora. Con ello pretendemosdar una visin de las normas de calidad en la medicin de alturasgeomtricas y una posible solucin al clculo de errores accidentales delos niveles, marcando los lmites entre los errores sistemticos y loserrores accidentales. Debemos aqu enunciar abreviadamente los diferentes tipos de errores ms comunes y ofrecer algunas recomendaciones interesantes para la realizacin de este tipo de trabajos topogrficos. A saber:Error de cierre (EC): Es la diferencia existente entre la lectura inicial delpunto de partida, considerando la cota en terreno, menos la cota deterreno del mismo punto al llegar y hacer el cierre; implicando un ECpositivo o negativo. Si este error de cierre escapa a la tolerancia, lanivelacin se debe realizar nuevamente; de lo contrario, se debercompensar. Suele establecerse la tolerancia en el cierre de un itinerarioen funcin del denominado error kilomtrico expresado en milmetros ydel nmero de kilmetros del itinerario, mediante la siguiente frmula:e2, significa que dichas variables estnrelacionadas por la expresin X1 = b1 > + b2 X2 + ... + bi Xi, siendo b1,..., bi constantes y por tanto, elcoeficiente de correlacin mltiple RX1|X2,...Xi tambin ser 1. Otro modo, por tanto, de definir lacolinealidad es decir que existe colinealidad cuando alguno de los coeficientes de correlacin simple omltiple entre algunas de las variables independientes es 1, es decir, cuando algunas variablesindependientes estn correlacionadas entre s. En la prctica, esta colinealidad exacta raras veces ocurre,pero s surge con cierta frecuencia la llamada quasi-colinealidad, o por extensin, simplementecolinealidad, en que alguna variable es "casi" combinacin lineal de otra u otras, o dicho de otro modo,algunos coeficientes de correlacin simple o mltiple entre las variables independientes estn cercanos a1, aunque no llegan a alcanzar dicho valor. En este caso la matriz XX es quasi-singular, es decir sudeterminante no es cero, pero es muy pequeo. Como para invertir una matriz hay que dividir por sudeterminante (vase el anexo 1), en esta situacin surgen problemas de precisin en la estimacin de loscoeficientes, ya que los algoritmos de inversin de matrices pierden precisin al tener que dividir por unnmero muy pequeo, siendo adems inestables. Adems, como la matriz de varianzas de los estimadoreses proporcional a XX, resulta que, en presencia de colinealidad, los errores estndar de los coeficientesson grandes (hay imprecisin tambin en sentido estadstico). Por consiguiente, a la hora de plantearmodelos de RLM conviene estudiar previamente la existencia de quasi-colinealidad (la colinealidadexacta no es necesario estudiarla previamente, ya que todos los algoritmos la detectan; de hecho nopueden acabar la estimacin). Como medida de la misma hay varios estadsticos propuestos; los mssencillos son los coeficientes de determinacin de cada variable independiente con todas las dems. 152. matrices. Precisamente, en el anexo 1 del presente libro se introduce untutorial elemental para el manejo adecuado de este tipo de instrumentosmatemticos algebraicos, en el que se desarrollan algunos ejemplos deinters.2. CONTRASTE DE REGRESINEl contraste de regresin es imperativo a la hora de diagnosticar y validarel modelo que se est ajustando; consiste en decidir si realmente lavariable respuesta o cota taquimtrica definitiva y es funcin lineal de lasvariables explicativas o coordenadas x1, x2, ..., xm (en nuestro casoconcreto, se tiene que m = 2).Formalmente, el contraste de hiptesis 59 se plantea en los siguientestrminos:H0: "no existe dependencia lineal:" (hiptesisnula), frente a la alternativa:H1: "s existe alguna dependencia lineal: ".El estadstico de contraste a emplear es el siguiente:que se distribuye como una Fm,n-m-1 de Snedecor60. El contraste se realizanormalmente con un nivel de significacin del 5% (vanse tablas delanexo 4).59 Un contraste de hiptesis (tambin denominado test de hiptesis o prueba de significacin) es unametodologa de inferencia estadstica para juzgar si una propiedad que se supone cumple una poblacinestadstica es compatible con lo observado en una muestra de dicha poblacin. Fue iniciada por RonaldFisher y fundamentada posteriormente por Jerzy Neyman y Karl Pearson. Mediante esta teora, se abordael problema estadstico considerando una hiptesis determinada H0 y una hiptesis alternativa H1, y seintenta dirimir cul de las dos es la hiptesis verdadera, tras aplicar el problema estadstico a un ciertonmero de experimentos. Est fuertemente asociada a los considerados errores de tipo I y II enEstadstica, que definen respectivamente, la posibilidad de tomar un suceso verdadero como falso, o unofalso como verdadero. Existen diversos mtodos para desarrollar dicho test, minimizando los errores detipo I y II, y hallando, por tanto, con una determinada potencia, la hiptesis con mayor probabilidad de sercorrecta. Los tipos ms importantes son los tests centrados, de hiptesis y alternativa simple,aleatorizados,... Dentro de los tests no paramtricos, el ms extendido es, probablemente, el test deKolmogrov-Smirnov.60Usada frecuentemente en teora de probabilidad y estadstica, la distribucin F es una distribucin deprobabilidad continua. Tambin se la conoce como distribucin F de Snedecor o como distribucin Fde Fisher-Snedecor. Una variable aleatoria de distribucin F se construye como el siguiente cociente: 153. Generalizando la notacin usada para el modelo de regresin linealsimple, disponemos en n observaciones del terreno de los datos de unavariable respuesta Y y de p variables explicativas X1,X2,...,Xp. Lasituacin ms sencilla se refiere justamente al caso de una nica variableregresora en la que se dispone de informacin en dos variablesadicionales (abscisa y ordenada de cada punto). Al igual que ocurra enel caso bidimensional, se puede visualizar la relacin entre las tresvariables en un grfico de dispersin en el espacio afn tridimensional61eucldeo R3, de modo que la tcnica de regresin lineal mltipleproporcionara el plano ptimo de nivelacin del terreno que mejorse ajusta a la nube de puntos resultante en un espacio n-dimensional.En el caso general, el modelo de regresin lineal mltiple con p variablesresponde a la ecuacin:(1)de modo que los coeficientes i se estiman siguiendo el criterio de losmnimos cuadrados:donde U1 y U2 siguen una distribucin ji-cuadrada con d1 y d2 grados de libertad respectivamente, y U1 yU2 son estadsticamente independientes. La distribucin F aparece frecuentemente como la distribucinnula de una prueba estadstica, especialmente en el anlisis de la varianza.61 Sin duda alguna, la obra ms famosa de Euclides de Megara (325-265 a.C.) es su tratado matemticotitulado Los elementos. El libro en cuestin era una recopilacin del conocimiento que se volvi el centrode la enseanza matemtica durante 2.000 aos. Probablemente, ninguno de los resultados en Loselementos haya sido demostrado por primera vez por Euclides, pero la organizacin del material y suexposicin, sin duda alguna se deben a l. De hecho hay mucha evidencia de que Euclides us libros detexto anteriores cuando escriba los elementos ya que presenta un gran nmero de definiciones que nuncason usadas, tales como la de un oblongo, un rombo y un romboide. El tratado empieza con definiciones ycinco postulados. Los primeros tres postulados son axiomas de construccin; por ejemplo, el primero deellos plantea que es posible dibujar una lnea recta entre cualesquiera dos puntos. Estos postuladostambin suponen implcitamente la existencia de puntos, lneas y crculos y despus deduce la existenciade otros objetos geomtricos a partir de que los primeros existen. Hay otros supuestos en los postuladosque no son explcitos. Por ejemplo, supone que hay una nica lnea uniendo cualesquiera dos puntos.Similarmente, los postulados dos y tres, al producir lneas rectas y dibujar crculos, respectivamente,suponen la unicidad de los objetos cuya construccin est siendo postulada. Los postulados cuarto yquinto son de naturaleza distinta. El cuarto afirma que todos los ngulos rectos son iguales. Esto puedeparecer obvio pero de hecho supone que el espacio es homogneo, es decir, que una figura serindependiente de la posicin en el espacio en la que est colocada. El famoso quinto postulado, o de lasparalelas, afirma que una y slo una lnea puede ser dibujada a travs de un punto y que sea paralela aotra lnea dada. La decisin de Euclides de hacer de esto un postulado llev a la geometra euclidiana. Nofue sino hasta el siglo XIX que este postulado fue abandonado y se estudiaron las geometras no-euclidianas. 154. La obtencin aqu de las expresiones de los estimadores mnimocuadrticos de dichos coeficientes exige reescribir la expresin (1)utilizando notacin matricial. As, la formulacin quedara escrita delsiguiente modo vectorial: (1)donde:en que los estimadores mnimo cuadrticos se obtienen a partir de laecuacin:y donde Y es un vector columna n dimensional; X es una matriz dedimensiones (nxp) denominada matriz de diseo, con p=p+1; es elvector columna de los coeficientes de regresin a ser estimados, dedimensin (px1), y e = e es un vector columna aleatorio de dimensin n.De este modo, la anterior formulacin vectorial (1) constituye una suma yproducto de matrices conformes, de dimensiones: (n x 1) = (n x p) x (p x 1) + (n x 1)Escribiendo el modelo para cada una de las observaciones (en nuestrocaso sern las coordenadas de los puntos del terreno analizado), stepuede ser considerado como un sistema de n ecuaciones lineales de laforma:que, a su vez, puede ser escrito en forma matricial como: 155. Se mantiene una interpretacin anloga al caso de la regresin lineal^simple (p.e. i representa el incremento por trmino medio en la variablerespuesta por cada unidad adicional en la variable Xi). Como se puedeobservar, la obtencin de estimadores, intervalos de confianza ycontrastes de hiptesis para los coeficientes de regresin involucranexpresiones matriciales y distribuciones multivariantes que complicannotablemente las operaciones, por lo que en la prctica dichos clculosse obtienen de un modo inmediato mediante el manejo de diferentespaquetes estadsticos. Son muchos los textos en los que se puedenencontrar desarrollos tericos de dichas expresiones. Sin detenerse enello, basta decir que manteniendo las hiptesis habituales deindependencia, homocedasticidad 62, normalidad y linealidad se calculanexpresiones para el error estndar de cada coeficiente estimado eintervalos de confianza de modo anlogo al caso de la regresin simple.La significacin estadstica de cada variable se obtiene simplementecalculando el cociente entre el coeficiente estimado y su error tpico, ycomparndolo con el cuantil correspondiente de una distribucin t deStudent63 con (n-p-1) grados de libertad. La bondad de ajuste del modelo62 La homocedasticidad es una propiedad fundamental del modelo de regresin lineal general y estdentro de sus supuestos clsicos bsicos. Se dice que existe homocedasticidad cuando la varianza de loserrores estocsticos de la regresin son los mismos para cada observacin i (de 1 a n observaciones), esdecir:donde 2 es un escalar constante para todo i. Lo que significara que habra una distribucin deprobabilidad de idntica amplitud para cada variable aleatoria. Esta cualidad resulta necesaria, segn elTeorema de Gauss-Mrkov, para que en un modelo los coeficientes estimados sean los mejores oeficientes, lineales e insesgados. Cuando no se cumple esta situacin, decimos que existeheterocedasticidad, que es cuando la varianza de cada trmino de perturbacin (ui) no es un nmeroconstante 2. Este fenmeno suele ser muy comn en datos de Corte Transversal y tambin se presenta,menos frecuentemente, en series de tiempo o cronolgicas. Si se regresiona un modelo a travs de latcnica de los Mnimos Cuadrados Ordinarios con presencia de heterocedasticidad, los coeficientes siguensiendo lineales e insesgados pero ya no poseen mnima varianza (eficiencia).63 En Probabilidad y Estadstica, la distribucin t (de Student) es una distribucin de probabilidad quesurge del problema de estimar la media de una poblacin normalmente distribuida cuando el tamao de lamuestra es pequeo. sta es la base de la popular prueba t de Student para la determinacin de lasdiferencias entre dos medias muestrales y para la construccin del intervalo de confianza para ladiferencia entre las medias de dos poblaciones. La distribucin t surge, en la mayora de los estudios 156. se puede valorar mediante la varianza residual y el estadstico R2(coeficiente de determinacin), definidos de la forma habitual. Tambinaqu puede utilizarse el contraste F global de la regresin, calculado apartir de las sumas de cuadrados explicada y no explicada para valorar lautilidad del modelo.Es importante recalcar la necesidad del uso de mtodos estadsticosmultivariantes para estudiar correctamente la relacin existente entrems de dos variables. La aplicacin de las tcnicas de regresin ha sidotratada en diversos textos desde un punto de vista eminentementeprctico. Aunque el modelo de regresin se ha planteado inicialmentepara analizar la relacin entre variables cuantitativas, su generalizacin alcaso de variables regresoras cualitativas es inmediata. Este tipo deanlisis recibe el nombre de anlisis de covarianza o anlisis de varianzasegn contenga o no adems variables numricas. La limitacin de estemodelo (por considerar que la relacin de cada variable con la respuestaes de tipo lineal) queda solventada mediante la transformacinlogartmica de cada variable regresora.3. SELECCIN DE VARIABLESUna de las principales dificultades a la hora de ajustar un modelo deregresin mltiple surge cuando es necesario identificar entre el conjuntode variables disponibles aquellas que estn relacionadas con larespuesta y que la predicen de la mejor forma posible. Cuando el nmerode variables es reducido, como en el caso que nos ocupa (3), laseleccin no resulta complicada y es incluso obligada: las tresdimensiones o coordenadas espaciales. En aquel caso, una primeraalternativa es construir un modelo por inclusin o hacia delante("forward"), considerando en primer lugar la relacin de cada variable conla respuesta e ignorando todas las dems variables, valorndola pormedio del coeficiente de correlacin lineal de Pearson. Aquella quemuestra una correlacin ms alta con la variable dependiente seintroduce en un modelo inicial.El segundo paso consiste en seleccionar entre las variables restantesaquella que al introducirla en el modelo permite explicar una mayor partede la variabilidad residual. La comparacin entre distintos modelos debehacerse en trminos del valor relativo de los coeficientes deestadsticos prcticos, cuando la desviacin tpica o standard de una poblacin se desconoce y debe serestimada a partir de los datos de una muestra. La distribucin de Student fue descrita en 1908 por WilliamSealy Gosset. Gosset trabajaba en una clebre fbrica de cerveza, Guiness, que prohiba a sus empleadosla publicacin de artculos cientficos debido a una difusin previa de secretos industriales. De ah queGosset publicase sus resultados bajo el pseudnimo de Student. De ah tambin que la distribucinantedicha se conozca por su nombre actual. 157. determinacin y el contraste F parcial. Este esquema se repetira hastaque ninguna otra variable entrase a formar parte del modelo.4. INTERACCIN, CONFUSIN Y COLINEALIDADCuando se introduce ms de una variable en el modelo de regresin esnecesario contrastar adems la independencia de los efectos de todasellas. Es decir, se supone que la asociacin de cada variable (abscisa,ordenada) con la respuesta (cota taquimtrica) no depende del valor quetomen el resto en la ecuacin de regresin. En otro caso se dir queexiste interaccin. Antes de aprobar el modelo definitivo, por lo tanto, sedebe explorar la necesidad de incluir trminos de interaccin calculadosa partir del producto de pares de variables, comprobando si mejora laprediccin, siendo aconsejable investigar solamente aquellasinteracciones que puedan tener una explicacin.En ocasiones, el fenmeno de la interaccin se hace coincidirerrneamente con los de confusin y correlacin. Existe confusincuando el efecto de una variable difiere significativamente segn seconsidere o no en el modelo alguna otra. sta se asociar tanto con lavariable inicial como con la respuesta, de modo que en casos extremospuede invertir el primer efecto observado. En ese caso las estimacionesadecuadas son aquellas que proporciona el modelo completo, y se dirnque estn controladas o ajustadas por variables de confusin.Por otro lado, el fenmeno que se produce cuando dos variablesexplicativas muestran una correlacin alta recibe el nombre, como yahemos visto, de quasi-colinealidad y puede producir estimacionesinestables de los coeficientes que se traducen en valores desorbitadosde sus errores tpicos y resultados poco crebles, lo que habr que tenermuy en cuenta. Por consiguiente, a la hora de plantear modelos de RLMconviene estudiar previamente la existencia de quasi-colinealidad (lacolinealidad exacta, esto es, cuando una o ms variables son unacombinacin lineal de otra, no es necesario estudiarla previamente, yaque todos los algoritmos la detectan; de hecho no pueden acabar laestimacin). Como medida de la misma hay varios estadsticospropuestos, los ms sencillos son los coeficientes de determinacin decada variable independiente con todas las dems.La mayora de los paquetes estadsticos existentes en el mercadomuestran en sus salidas diagnsticos de colinealidad (tolerancia, factorde inflacin de la varianza, ndice de condicin) que pueden ayudarnoseficazmente a solventar este tipo de problemas. Por lo tanto, se ha detener un cuidado especial en la etapa de construccin del modelo: uncambio significativo en las estimaciones, tras la inclusin de una nueva 158. variable, puede evidenciar cualquiera de estos fenmenos. Noscorresponder a nosotros, al cabo, evaluar la conveniencia de incluirla ono en el modelo.5. EL AJUSTE A UN PLANO PTIMO DE LA NIVELACIN DE UNTERRENOEl tratamiento completo del modelo general para m variables ya ha sidoexplicado con anterioridad. En el presente libro se trata de un caso biensimple de regresin lineal mltiple en que se dispone de una ecuacincon dos variables independientes adicionales (ordenada y abscisa) y unavariable funcional o funcin (cota taquimtrica), as:Dicha ecuacin representa un plano en el espacio afn tridimensionaleucldeo R3, donde a es la cota taquimtrica en el origen decoordenadas y es una estimacin del parmetro 1. El coeficiente b1indica la cantidad que se espera que un cambio de una unidad en x1afecte a Y y es una estimacin de 2, mientras que b2 es la cantidad enque se espera que resultar afectada Y por un cambio de una unidad enx2 y constituye una estimacin de 3 .Existen tres conjuntos de estadsticos muestrales que pueden emplearseal describir la relacin existente entre las tres variables del problematopogrfico planteado. El primer conjunto se compone de los coeficientesde regresin a, b1 y b2. Estos son una simple extensin de loscoeficientes de regresin en el caso de dos variables, siendo la nicadiferencia que, en el clculo de estas estimaciones se toman enconsideracin dos variables independientes o explicativas (la abscisa y laordenada de los puntos del terreno). En la determinacin del valor de loscoeficientes incgnitas a = a, b1 y b2 en una ecuacin de regresinmltiple (triple) el clculo se presenta muy tedioso porque se tiene unsistema heterogneo de 3 ecuaciones con 3 incgnitas que se generapor el mtodo de los mnimos cuadrados, esto es: 159. El sistema antedicho podra resolverse por los mtodos clsicos (regla deCramer, inversin de la matriz, mtodo de Gauss-Jordan). No obstante,para poder resolver cmodamente el anterior sistema se pueden utilizarprogramas informticos adecuados como AD+, SPSS, EViews, Minitab yExcel con Solver. Este ltimo, por su gran facilidad y universalidad, es elque hemos adoptado en el presente libro.Utilizando las frmulas de las ecuaciones normales a los datosobtendremos los coeficientes de regresin o bien utilizando Regresin deAnlisis de datos, en la Hoja de Clculo de Excel, podemos calculartambin los coeficientes de regresin.En el caso de emplear, para el ajuste ptimo, funciones no lineales(superficies diversas), podremos escoger entre las siguientes: - Funcin cuadrtica: Y = a + bx1 + cx2 + dx12 + ex22 + hx1x2para cuya aplicacin sugerimos la consulta del anexo nmero 2(superficies cudricas). - Funcin raz cuadrada: Y = a + bx 1 + cx 2 + d x 1 + e x 2 + h x 1x 2 - Funcin 3/2:Y = a + bx 1 + cx 2 + dx 1 / 2 + ex 3 / 2 + h( x 1x 2 )3 / 232 - Funcin potencial: Y = ax1 x2 Conviene, complementariamente, introducir los siguientes conceptos:a) El error estndar de la regresin mltiple o error tpico de laestimaEs una medida de variabilidad de la distribucin cuya estimacin se hacems precisa conforme el grado de dispersin alrededor del plano deregresin se hace ms pequeo. Las interpretaciones muestrales delerror tpico de la estima para dos variables, en el caso en que el nmeron de estacas o vrtices sea suficientemente grande, pueden extenderse 160. a tres dimensiones substituyendo las rectas paralelas a la de regresinpor planos paralelos al plano de regresin o nivelacin ptimo buscado.Para calcularlo se utiliza la frmula siguiente:Siendo:Y : Valores observados en la muestra (cotas del terreno inicial). ^Y : Valores estimados a partir a partir de la ecuacin de regresin(cotas del terreno definitivo).n : Nmero de datos o vrtices (estacas).m : Nmero de variables independientes del problema (2).En esta estimacin, el numerador de la fraccin del radicando que midela parte de variacin total de las cotas taquimtricas Y que se puedeatribuir al azar, es la suma de los cuadrados de las desviaciones de lamuestra de los valores de las cotas del terreno natural con respecto a losvalores proyectados resultantes del plano ptimo de explanacin. Eldenominador de la citada expresin es el nmero de grados de libertadasociados a esta estimacin de la variabilidad. A partir de la distribucin tde Student (Gosset), a la que nos hemos referido con anterioridad, esposible determinar la bondad del ajuste efectuado con una ciertaprobabilidad y sus lmites.En los ejercicios que se desarrollan en los posteriores captulos 6, 7 y 8se calcula dicha medida de dispersin a ttulo ilustrativo y tambin comomedida complementaria de la calidad o economa del movimiento detierras a llevar a cabo.b) Los coeficientes de determinacin y correlacin mltipleEl coeficiente de determinacin mide la tasa porcentual de los cambiosde Y que pueden ser explicados por las coordenadas X1 (abscisa) y X2(ordenada). Como veremos, se define en funcin de la variacin residualrespecto al plano de regresin.Su raz cuadrada es el coeficiente de correlacin mltiple lineal.c) Los coeficientes de correlacin parcial 161. Un nuevo concepto que surge aqu en relacin a la RLS (regresin linealsimple) es el de coeficiente de correlacin parcial. Por ejemplo, podemospreguntar si una correlacin observada entre Y y X1 se debe meramenteal hecho de que cada una de ellas resulta influida por X2 o si hay unaasociacin neta entre Y y X1 adems de la asociacin debida a lainfluencia comn de X2. As, al calcular una correlacin parcial entre Y yX1, se trata de eliminar de cada una de ellas la influencia de X2 y ver quecorrelacin existe entre los residuos inexplicados que quedan. Esto esel equivalente estadstico de la tcnica de los tericos econmicos deencerrar ciertas variables en una clusula de ceteris paribus (y todo lodems igual) 64.Efectivamente, puede resultar interesante en el anlisis altimtrico de unterreno estudiar la correlacin existente entre la variable dependiente(cota taquimtrica) y una variable independiente determinada (la abscisaX o la ordenada Y) cuando la otra variable (coordenada) se mantieneconstante, es decir, cuando se elimina su efecto.Los coeficientes de correlacin parcial se representan de la formasiguiente:r123 = correlacin parcial entre Y y X1, cuando X2 se mantiene constante.r132 = correlacin parcial entre Y y X2, cuando X1 se mantiene constante.r231 = correlacin parcial entre X1 y X2, cuando Y se mantiene constante.Conforme veremos con posterioridad, estos coeficientes de correlacinparcial estn ntimamente relacionados con los coeficientes de regresinen la expresin general del modelo lineal que propugnamos. Utilizando lamisma notacin de subndices, podemos indicar los siguientescoeficientes de correlacin simple:r12 = ( yx )1= correlacin simple entre Y y X1( y )( x2 21 )r13 = ( yx )2= correlacin simple entre Y y X2( y )( x2 22 )64 El trmino caeteris (originalmente) paribus es una locucin latina que significa permaneciendo elresto constante. Caeteris significa lo dems o el resto y par significa igual. Se trata de un recursometodolgico al que se recurre para aislar la influencia que alguna variable en particular ejerce sobre unfenmeno que est condicionado por muchos factores. Suponiendo que todos estos factores no cambian,es posible analizar por separado la accin de la variable en cuestin sobre el fenmeno estudiado. 162. r23 = (x x ) 1 2 = correlacin simple entre X1 y X2( x )( x 2 1 2 2 )d) Limitaciones del procesoVeamos, en fin, que estas frmulas ponen de manifiesto la existencia deunas ciertas limitaciones al resolver los expresados modelos. Para ellohay que invertir una matriz y no todas las matrices pueden invertirse(singulares, no regulares. Vase, al respecto, el anexo n: 1). En dossituaciones diferentes ello no se puede realizar, a saber: a) Cuando el nmero de observaciones del terreno (n), es menor oigual que el nmero de variables independientes (k=2).Evidentemente, este caso minimalista no se presentar en losproblemas de topografa que aqu contemplamos. b) Cuando una variable independiente es combinacin lineal de otra(s) o constante (existe colinealidad).6. LA DISTRIBUCIN F DE SNEDECOR Y EL ANLISIS DE LAVARIANZA DE LA REGRESINDe un modo similar a lo que sucede en la RLS se puede descomponer lavariacin de la variable Y en dos componentes: uno la variacin de Yalrededor de los valores predichos por la regresin y otro con la variacinde los valores predichos alrededor de la media. Si el modelo lineal no esadecuado, ambos estimadores estimaran la varianza de Y y si esadecuado no. Comparando ambos estimadores con la prueba de ladistribucin F de Snedecor se contrasta la adecuacin del modelo.Obsrvese que, a diferencia de la RLS, en la RLM (regresin linealmltiple) este contraste no es equivalente al realizado sobre loscoeficientes.Se define tambin el coeficiente de determinacin como el cocienteentre la suma de cuadrados de la regresin y la suma de cuadrados total(R2 = SSR/SST) y a su raz cuadrada (R) se le denomina coeficiente decorrelacin mltiple. En el captulo 7 de nuestro libro desarrollamos a ttuloilustrativo un ejemplo de aplicacin del anlisis de lavarianza o variancia de la regresin. 163. En definitiva, con la RLS analizamos si puede admitirse o no una relacinde tipo lineal entre la variable independiente X y la dependiente Y. Noobstante, lo habitual es que la variable dependiente trate de expresarseen funcin de varias variables independientes X1 , X2 , ... , Xk tambinde forma lineal, as: Y = a + b1 X1+ b2 X2 + ... + bk XkEl propsito, ahora, de la RLM sigue siendo, por un lado, determinarcules de las covariables independientes X1, X2, ... , Xk son significativasa la hora de explicar a la variable dependiente (Y = Z) y, luego, estimarlos parmetros b1, b2, ..., bk. En nuestro caso particular, el problema sesimplifica notoriamente al disponer de slo dos variables explicativas (lascoordenadas del vrtice).Con la Correlacin Multivariante estudiaremos el grado o fuerza de esarelacin; primero, con la Correlacin Mltiple observaremos el grado dela relacin existente entre la variable dependiente (cota taquimtrica) ylas covariables independientes (abscisa y ordenada de cada vrtice delterreno) y, luego, con la Correlacin Parcial, mediremos la fuerza de larelacin existente entre dos variables o coordenadas determinadas delproblema, una vez eliminada la influencia de la restante.Ambos anlisis estn basados, fundamentalmente, en tests de hiptesisestadsticas en los que la suposicin de normalidad de las variables enestudio resulta fundamental, por lo que, en caso de que no puedaadmitirse dicha suposicin, la utilizacin de los Mtodos Robustos que yase ha explicado en el captulo anterior se hace imprescindible.La tcnica del anlisis de la varianza, introducida por Fisher, en principio,para su aplicacin a la investigacin agrcola y biolgica, se haconvertido en un instrumento poderoso que puede ser utilizado encualquier campo de actividades, como en el caso de la Topografa quehoy nos ocupa. Se apoya en una divisin en varias partes de la varianzade todas las lecturas de cota, midiendo cada parte la variabilidadatribuible a alguna causa determinada.Al estudiar el contraste de hiptesis se contempla cmo se puede decidirentre la igualdad o desigualdad de dos medias, correspondientes a dospoblaciones que pueden representar dos procesos de fabricacin, doscaractersticas de una persona, etc. Ahora bien: qu hacer si en lugarde dos hay que comparar entre s tres, cuatro, o en general kpoblaciones? Pues bien, el problema se resuelve precisamente medianteel denominado anlisis de la varianza. 164. De su aplicacin original a la experimentacin agrcola queda unaterminologa tpica (tratamientos, parcelas, bloques, ...) pero,repetimos, su aplicacin es universal y cada vez se hace ms extensa,con eficientes aplicaciones en el campo de la Topografa como en elcaso del ejercicio o ejemplo 3 que se desarrolla en el captulo 7 denuestro libro.En otros apartados de nuestro trabajo definimos la distribucin 2 con ngrados de libertad como una determinada funcin de n variablesaleatorias normales e independientes.La distribucin continua F de Fisher-Snedecor 65 puede definirse de formaanloga, a saber: se dice que una variable aleatoria tiene una distribucinF con m grados de libertad en el numerador y n grados de libertad en eldenominador cuando dicha variable es:1 2m Fm , n = m1 2nnes decir, cuando es el cociente de las medias de la suma de loscuadrados de m y n variables normales (0, 1) e independientes.Sin profundizar ms en la forma o las propiedades de esta distribucin,digamos que el clculo de probabilidades se realiza, como en el caso delas distribuciones normal o de la 2, mediante las tablas de doble entradaexistentes al efecto que figuran al final del anexo 4, extradas del librotitulado Ejercicios de Estadstica Aplicada, de J. Santos y A. Muoz,citado en la bibliografa.La aplicacin fundamental de la distribucin F es la comparacin devarianzas, es decir, el contraste de hiptesis referentes a varianzas depoblaciones normales e independientes, y a la comparacin de mediasde varias poblaciones, que constituye precisamente el anlisis de lavarianza.65 Sobre el gran estadstico Fisher ya nos hemos referido con anterioridad. GeorgeWaddell Snedecor (1882 -1974) naci en Memphis, Tennessee, EUA. Estudimatemticas y fsica en las Universidades de Alabama y Michigan y posteriormente seconvirti en profesor dela Universidad EstataldeIowa.Trabaj en conjunto con Ronald Fisher y de dicha colaboracin surgieron muchos de losresultados en los que se basa el anlisis de la varianza. Uno de sus textos ms famososes el de Clculo e Interpretacin del Anlisis de Varianza y Covarianza, que public enel ao 1934. 165. El problema terico del anlisis de la varianza con un solo factor seplantea en los trminos siguientes:Sean r poblaciones, todas ellas con distribuciones normales, de medias1, 2 ... r, y todas con la misma varianza, 2, e independientes.Basndose en los resultados de r muestras, de tamaos n1, n2 ... nr,extradas aleatoriamente de cada una de las poblaciones, se deseacontrastar la hiptesis nula de que todas las medias son iguales: 1 = 2= ... r, contra la alternativa de que existen, al menos, dos mediasdiferentes.A las poblaciones que se comparan se les suele llamar tratamientos,debido a que originalmente la tcnica se utiliz para comparar, porejemplo, productividades de plantas sometidas a tratamientos agrcolas(abonados, riegos, labores de arada, marcos de plantacin o densidad desiembra, aplicaciones fitosanitarias, variedades de semillas, etc.)diferentes.El procedimiento del anlisis de la varianza consiste en suponer que lavariabilidad observada, en el conjunto de todas las muestras, se debe ados posibles causas: una, la variabilidad real de todas las poblaciones,es decir, la variacin de origen aleatorio o error, y la segunda, a laposible diferencia que exista realmente entre las poblaciones otratamientos. 7. EL GRADO DE EXPLANACIN DEL TERRENOPuede resultar de inters, por otra parte, la calificacin de un ciertoterreno a explanar en funcin de la cuanta del movimiento de tierras aefectuar en el mismo. Para ello podemos definir algn parmetro deinters que nos permita enjuiciar y valorar el tema con carcter previo ala realizacin de la obra. Ello constituye una medicin complementaria oalternativa a la ya definida del error standard o tpico de la estima. Eneste sentido, denominaremos discrepancia o correccin a la diferenciaexistente en cada estaca o vrtice entre las cotas observadas del terrenonatural y las tericas del plano resultante de su nivelacin ptima, o sea:di = Yi -Ti, i(1,2,...,N), siendo N el nmero de estacas o vrtices sobreNlos que operamos. Como sabemos que: d = 0 , es preferible considerari=1iNdi=12i (que puede ser muy grande, en tanto lo sean las cotas absolutas orelativas consideradas, lo cual es, sin duda, una desventaja operacional).Para obviar ello, se podra utilizar la expresin chi cuadrado o ji dos de 166. Pearson (ver anexo n: 3 de este mismo libro), que, aplicada a nuestrocaso, viene dada por: di2 ( Y Ti )22 = = i. TiTiDicho estadstico se utiliza tambin para contrastar la bondad del ajustede regresin.Debemos sealar aqu un nuevo concepto: el nmero de GRADOS DELIBERTAD (g.l.) de un estadstico, que se define como el nmero deobservaciones independientes de la muestra (tamao muestral) menos elnmero de parmetros de la poblacin que deben estimarse: de talsuerte, a mayor complejidad o amplitud del problema (mayor nmero depuntos del terreno levantados) mayor ser tambin el nmero de gradosde libertad.Este coeficiente 2 tiene un campo de variacin variable desde cerohasta determinados valores, todos ellos positivos, que dependern de lasmagnitudes de las cotas taquimtricas que lo componen. Dichoinconveniente de poseer lmites variables se puede eliminar con elempleo del siguiente coeficiente.El COEFICIENTE DE CONTINGENCIA DE PEARSON, que deriva del estadstico anterior, resulta ser una medida del grado o intensidad de la relacin existente entre las cotasdel terreno natural y las resultantes del proceso de explanacin, y que nosotros adoptaremos como grado deexplanacin del terreno, vendr dado por la expresin: 2C= 2 + NSu campo de variabilidad ser el siguiente:2- Si 2 0 lm .= 0 ; aqu coinciden las cotas reales y las 2 0 2 + Ntericas, con lo que di 0. 167. 21 2- Si lm .= lm .= 1 ; y en este caso de 2 2 + N2 N1+ 2mxima discrepancia o correccin entre ambas cotas sucede que di . O sea, C/: 0C1, o bien, C[0,1].As pues, su campo de variacin o intervalo de existencia oscila de ceroa uno, pudiendo tomar los valores extremos. El valor cero se dar en elcaso de encontrarnos a priori con un terreno perfectamente nivelado, ycon la pendiente idnea desde el punto de vista de la minimizacin delmovimiento de tierras y la maximizacin de la compensacin de lasmismas, al coincidir exactamente las cotas del terreno natural con lasproyectadas (Yi = Ti). A medida que C se va aproximando a la unidad, elgrado de disociacin entre ambas cotas es mayor y, por tanto, tambinser mayor el movimiento de tierras a efectuar para el logro de laexplanacin ptima. Slo alcanzar la unidad en el supuesto lmite deque el cuadrado de contingencia 2 sea muy grande, ya que el lmite deC cuando 2 tiende a infinito es uno, como acabamos de demostrar.Veamos ahora, por ejemplo, el caso de una parcela cualquiera de terrenoque se desea explanar, de planta sensiblemente irregular, de la cual seha dibujado la planta curvada con equidistancia entre las curvas de nivelde 020 m. y sobre la base levantada de 26 vrtices o estacas, queaparece en la figura siguiente: 168. Fig. 1. Planta curvada de una parcela.Una solucin que proponemos consistira, para comparar esta parcelacon otras diferentes parcelas a nivelar (y tener, as, una medida de ladificultad o coste relativo de la operacin) efectuar la determinacin desus respectivos grados de explanacin operando con cotastaquimtricas relativas y refiriendo a la cota media del terreno el valorrelativo 1000 2000 m. con el objetivo de no tener valores inferiores a 169. 500 m. que dificultaran la operatoria que se pretende con la distribucinterica de probabilidad 2 (vase anexo 3, II) y aplicar, en fin, la tablaestadstica que mostramos en dicho anexo con P = 0005 (percentil 05) yN-1 grados de libertad. En caso de operar con un nmero intermedio degrados de libertad de los existentes en la mencionada tabla, se puedeinterpolar en la misma o bien aplicar la frmula aproximativa que tambinse seala al final de la susodicha tabla.Adems del error tpico de la estima Sxy, los ndices 2 y C asobtenidos supondran, pues, una cierta medida a posteriori o ex post delgrado de explanacin a efectuar en el terreno analizado, una vezrealizado el proyecto de nivelacin ptima del mismo, mientras que elcoeficiente de uniformidad altimtrica, definido en el anterior captulo 3,constituye una medida a priori o ex anto del mismo problema, que sepuede determinar con anterioridad al clculo del plano ptimo de ajustepor regresin.En los captulos siguientes 6, 7 y 8 de nuestro libro tendremos ocasin deaplicar in extenso todos estos conceptos a la resolucin de algunosejemplos prcticos de inters. CAPTULO 6APLICACIN DE LA HOJA DE CLCULOMICROSOFT EXCEL 170. 1. EJEMPLO DEL PROCESO1.1. Consideraciones previasAqu se muestra un ejemplo de como utilizar el Solver del Excel paraencontrar la funcin lineal o no que mejor se ajusta a una serie de datoscon dos variables independientes o explicativas y una funcional (esto es,la llamada regresin mltiple que, en nuestro caso, es triple). Elejemplo le debe servir para que se infiera como realizar unprocedimiento anlogo si ya no es una relacin lineal sino que se tratade una estimacin polinmica de grado n, potencial, logartmica,semilogartmica, exponencial, superficie cudrica o alabeada, etc.Supongamos que tenemos las siguientes mediciones de las coordenadasde diversos puntos de la malla o red de un terreno a nivelar o explanar,obtenidas con el instrumento correspondiente (taqumetro, nivel, estacintotal, GPS, ...):X1 X2 Yi1837210 4733214739, donde a los efectos de los trabajos topogrficos, dichas variables secorresponden con las tres coordenadas: X1 = X, X2 = Y, Y = Z, quepueden ser absolutas UTM 66 o bien relativas al objeto de simplificar losclculos subsiguientes.66 El Sistema de Coordenadas Universal Transversal de Mercator (en ingls Universal TransverseMercator, UTM) es un sistema de coordenadas basado en la proyeccin geogrfica transversa deMercator, que se construye como la proyeccin de Mercator normal, pero en vez de hacerla tangente alecuador, se la hace tangente a un meridiano. A diferencia del sistema de coordenadas geogrficastradicional, expresadas en longitud y latitud, las magnitudes en el sistema UTM se expresan en metrosnicamente al nivel del mar que es la base de la proyeccin del elipsoide de referencia. Fue desarrolladopor el Cuerpo de Ingenieros del Ejrcito de los Estados Unidos en la dcada de 1940. El sistema se basen un modelo elipsoidal de la Tierra. Se us el elipsoide de Clarke de 1866 para el territorio de los 48estados contiguos. Para el resto del mundo incluidos Alaska y Hawai se us el Elipsoide Internacional.Actualmente se usa el elipsoide WGS84 como modelo de base para el sistema de coordenadas UTM.Anteriormente al desarrollo del sistema de coordenadas UTM varios pases europeos ya habanexperimentado la utilidad de mapas cuadriculados, en proyeccin conforme, al cartografiar sus territoriosen el perodo de entreguerras. El clculo de distancias entre dos puntos con esos mapas sobre el terreno sehaca ms fcil usando el teorema de Pitgoras, al contrario que con las frmulas trigonomtricas quehaba que emplear con los mapas referenciados en longitud y latitud. En los aos de post-guerra estosconceptos se extendieron al sistema de coordenadas basado en las proyecciones Universal Transversa deMercator y Estereogrfica Polar Universal, que es un sistema cartogrfico mundial basado encuadrcula recta. La "proyeccin transversa de Mercator" es una variante de la "proyeccin de Mercator" 171. La funcin a la que se desea ajustar, si se trata de un plano denivelacin, es del tipo: Y = a +bX1 + cX2, pero podra ser tambin decualquier otro tipo (superficie alabeada, cudrica, toroidal, etc.). Cabe,entonces, hacerse la siguiente pregunta: cmo se sabe a qu tipo defuncin matemtica se debe ajustar por el mtodo de los mnimoscuadrados?. Una forma de hacerse una idea de ello es graficar cadavariable independiente con la variable dependiente (cada X con la Y), ysegn la forma que exprese cada grfica se puede inferir la forma de lafuncin.Nuestro problema se reduce entonces a encontrar los valores de a, b y cde tal manera que se minimice el error o coste que, en nuestro caso,representa el monto del volumen del movimiento de tierras a efectuar(desmonte y terraplenado), y ello lo podemos expresar como:Error = Sumatoria (Y-Yi)2 = di2El cuadrado se realiza para que el error o diferencia de cotas d siemprepositivo, e Y es el valor calculado final (el que resulta de efectuar laoperacin: a + bX1 + cX2) e Yi es la medicin i que expresa las diferentescotas taquimtricas, absolutas o relativas, de los puntos de la malla o redplanteada sobre el terreno a explanar.1.2. Aplicacin de la hoja de clculo Excel con SolverPrimeramente, hagamos el formato tal como se ve en la figura siguiente:Las celdas A2, B2, C2 se correspondern con los valores buscados de a,b y c. El meollo del asunto estriba en escribir una frmula en la columnaD que est en funcin de A2, B2, C2 y de cada valor que vayan tomandolas variables o coordenadas X1 y X2 que se encuentran respectivamenteen la columna A y B despus de la fila 5. Si se tuviera otra funcincualquiera, los parmetros adicionales se escribiran a la derecha de laque fue desarrollada por el gegrafo flamenco Gerardus Mercator en 1659. Esta proyeccin es"conforme", es decir, que conserva los ngulos y casi no distorsiona las formas pero inevitablemente s lohace con distancias y reas. El sistema UTM implica el uso de escalas no lineales para las coordenadas Xe Y (longitud y latitud cartogrficas) para asegurar que el mapa proyectado resulte conforme. 172. columna C y la frmula de la columna D (o la columna correspondiente)cambiara segn la funcin, pero lo dems sera exactamente igual.La frmula buscada de la cota taquimtrica Y = Z ser: D5 = $A$2 + $B$2*A5 + $C$2*B5a = $A$2b = $B$2X1 = A5c = $C$2X2 = B5Ntese que para los valores a, b, y c se us la notacin $$ para denotarque la referencia no cambiar para ninguna celda donde se copie ypegue la frmula; en cambio para X1 y X2 no ha sido as. La frmula sedebe copiar y pegar (o arrastrar) a las celdas D6, D7 y D8. Para lacolumna E la frmula es la diferencia existente entre Y e Yi, o sea: E5 =C5 - D5, y se copia y pega (o se arrastra) para las dems hacia abajo. Enla columna F, la frmula ser la columna E al cuadrado, esto es:F5=E5^2.En la celda F9 se dejar la suma de los errores o discrepancias de cotaal cuadrado, y esa ser precisamente la celda cuyo valor nos interesaque sea mnimo al objeto de conseguir tambin el mnimo movimiento detierras posible y la mayor compensacin volumtrica de las mismas. Lapinta debe ser como se presenta a continuacin:Luego se debe invocar el Solver del Excel haciendo click enHerramientas y luego en Solver (si no aparece habr que buscarlo enla opcin de complementos del mismo men), y le indicaremos quedeseamos minimizar el valor de la celda F9 cambiando el valor de lasceldas A2, B2 y C2, tal como se ve en la siguiente figura: 173. Entonces hacemos click en resolver y se tendr la siguiente pantalla:En definitiva, se encontr la siguiente solucin ajustada: A=3 B=2 C=4con lo que la ecuacin minimizada buscada resulta ser la siguiente:Y = 3 + 2X1 + 4X2 , que, a efectos topogrficos, es el plano de nivelacinde ecuacin general: 174. Z = 3 + 2X + 4Y, o bien: 2X + 4Y Z + 3 = 0En el tutorial del captulo 8 de este mismo libro se desarrolla un ejemplo real deaplicacin del procedimiento descrito a la determinacin del plano de ajusteminimocuadrtico que pretendemos para lograr una compensacin ptima de tierras conun movimiento mnimo de las mismas y, consecuentemente, con un mnimo de costeeconmico.2. APLICACIN A UN CASO REAL (1)2.1. Mnimo no condicionado2.1.1. Resolucin del problemaUna vez realizada la introduccin al mtodo en los epgrafes anteriores,vamos -a partir de este punto- a exponer la realizacin de varios modeloso trabajos, que nos sirvan como ejemplos de aplicacin de lametodologa expuesta en el presente estudio.Se trata aqu de la nivelacin de una parcela de cultivo, de planta sensiblementerectangular, sobre la cual se ha dibujado una malla o red formando cuadrosrectangulares de 2600 x 2700 m. y 15 estacas en los vrtices en cuyos puntos, con elinstrumento topogrfico correspondiente, se han tomado las coordenadas relativassiguientes:Tabla 1. Coordenadas de los vrtices de la parcela (I).X=X1 Y=X2Z=Yi Vrtices108 52 2,301 81 52 1,932 54 52 1,373 27 52 1,2940 52 0,985108 26 1,806 81 26 1,487 54 26 1,228 27 26 0,8790 26 0,45 101080 1,30 11 810 1,03 12 540 0,78 13 270 0,42 1400 0,00 15Hemos considerado, como se ve, el vrtice 15 como el origen de lascoordenadas relativas (0,0,0), por tratarse de un punto cmodo y de bajo 175. nivel taquimtrico de la parcela en estudio, cuya planta puede verse en lafigura siguiente:Fig. 1. Planta de la malla o red.La planta curvada de esta parcela, en su estado inicial o natural, con unaequidistancia de las curvas de nivel de 020 m., ser: 176. Fig. 2. Planta curvada de la parcela (I). 177. Los seis perfiles longitudinales y transversales que se derivan de laplanta anterior pueden verse oportunamente especificados en el anexo 5(Complementos) del presente libro.Siguiendo los pasos sealados anteriormente (ver ejemplo anterior), lahoja de clculo Excel nos ofrecer el plano de ajuste por regresin linealminimocuadrtica, con el siguiente resultado:As pues, se obtienen los siguientes coeficientes en la ecuacin del planodefinitivo del bancal (ajustando a tres decimales, o sea, con precisinmilimtrica):A = 0061B = 0012C = 0017De esta suerte, la expresin general del plano resultante ser:0012X + 0017Y Z + 0061 = 0con lo que para hallar las cotas taquimtricas definitivas de los 15vrtices despejaremos:Z = 0061 + 0012X + 0017YA resultas de lo anteriormente expuesto, obtendremos dichas cotas definitivas en lasiguiente tabla: 178. Tabla 2. Cotas definitivas y correcciones (I). Puntos Cotas del Vrtices terreno tericosCotas definitivasCorregido del planoZ (Ti) (di) inicial (X,Y)1230 (108,52)0061+1296+0884 = 2241-00592193(81,52)0061+0972+0884 = 1917-00133137(54,52)0061+0648+0884 = 1593+02234129(27,52)0061+0324+0884 = 1269-00215098 (0,52)0061+0+0884 = 0945-00356180 (108,26)0061+1296+0442 = 1799-00017148(81,26)0061+0972+0442 = 1475-00058122(54,26)0061+0648+0442 = 1151-00699087(27,26)0061+0324+0442 = 0827-0043 10045 (0,26)0061+0+0442 = 0503+0053 11130(108,0)0061+1296+0 = 1357+0057 12103 (81,0)0061+0972+0 = 1033+0003 13078 (54,0)0061+0648+0 = 0709-0071 14042 (27,0)0061+0324+0 = 0385-0035 15 000 (0,0)0061+0+0 = 0061+0061De este modo, el plano 67 nivelado minimocuadrticamente de la parcela o bancal que esobjeto de nuestro estudio, puede verse en la siguiente figura:67 Un plano cualquiera se puede definir tambin mediante un punto y dos vectores. El plano, engeometra, es el ente ideal que slo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es uno delos entes geomtricos fundamentales junto con el punto y la recta. Solamente puede ser definido odescrito en relacin a otros elementos geomtricos similares. Se suele describir apoyndose en lospostulados caractersticos, que determinan las relaciones entre los entes geomtricos fundamentales. Unplano queda definido por los siguientes elementos geomtricos: Punto P = (x1, y1, z1) Vector u = (a1, b1, c1) Vector v = (a2, b2, c2)Esta es la forma vectorial del plano; sin embargo la forma ms utilizada es la reducida, que es el resultadode igualar a cero el determinante formado por los dos vectores y el punto genrico X = (x, y, z) con elpunto dado. De esta manera la ecuacin del plano es:Donde (A, B, C) es un vector perpendicular al plano, coincidente con el producto vectorial de los vectoresu y v. La frmula para hallar la ecuacin, cuando no est en el origen, es:a(x h) + b(y k) + c(z j) = 0 179. Fig. 3. Bancal nivelado por mnimos cuadrados (I).El punto del terreno de coordenadas relativas (0,0,0) es el decoordenadas absolutas UTM:X = 303.663 m.Y = 4.517.585 m.Z = 23000 m.con lo que se tendrn las coordenadas UTM definitivas del plano denivelacin siguientes: 180. Tabla 3. Cotas definitivas de nivelacin (I).VRTICE COORDENADASCOORDENADAS ABSOLUTASRELATIVASX (m.) Y (m.) Z (m.) 1 (108,52,2241) 303.771 4.517.63725241 2(81,52,1917) 303.744 4.517.63724917 3(54,52,1593) 303.717 4.517.63724593 4(27,52,1269) 303.690 4.517.63724269 5 (0,52,0945) 303.663 4.517.63723945 6 (108,26,1799) 303.771 4.517.61124799 7(81,26,1475) 303.744 4.517.61124475 8(54,26,1151) 303.717 4.517.61124151 9(27,26,0827) 303.690 4.517.6112382710 (0,26,0503) 303.663 4.517.6112350311(108,0,1357) 303.771 4.517.5852435712 (81,0,1033) 303.744 4.517.5852403313 (54,0,0709) 303.717 4.517.5852370914 (27,0,0385) 303.690 4.517.5852338515(0,0,0061) 303.663 4.517.58523061Como consecuencia de las correcciones que se expresan en el cuadroanterior, resultar el siguiente movimiento de tierras (el signo + implicaterrapln y el implica desmonte), notndose que esta estimacinresulta ser slo una aproximacin, teniendo en cuenta las superficies delas subparcelas tributarias de cada vrtice o estaca que hemos sealadoen las anteriores figuras:Tabla 4. Movimiento de tierras resultante (I). Superficie Correccin Volumen Vrtices (m2)(m) (m3) 1175,5-0,059 -10,3545 2351,0-0,013 -4,563 3351,0 0,223 78,273 4351,0-0,021 -7,371 5175,5-0,035-6,1425 6351,0-0,001 -0,351 7702,0-0,005 -3,51 8702,0-0,069-48,438 9702,0-0,043-30,18610351,0 0,053 18,60311175,5 0,057 10,003512351,0 0,0031,05313351,0-0,071-24,92114351,0-0,035-12,28515175,5 0,061 10,70555.616,0TOTAL (108x52) -0,005-29,484 181. As pues, se ha obtenido un escaso volumen de tierras sobrantes conuna cuanta de 29484 m3. Este clculo, que se deduce del cuadroanterior, resulta meramente aproximativo como ya se ha indicado, por loque ser necesario llevar a cabo la cuantificacin correspondientemediante el estudio de los perfiles transversales y longitudinales de laparcela en cuestin, determinados por la malla o red de vrtices que nosocupa. En cualquier caso, en una primera aproximacin se tendra:29 484 m 3= 00037 m. 37 mm.8.000 m 2La superficie total de la parcela se estima de 8.000 m2. Considerando ahora uncoeficiente de esponjamiento sin compactacin del 30% y, tratndose de un terreno decultivo, resulta simplemente la tierra vertida, por lo que resultar un incremento finalde la cota del plano de nivelacin de:37 13 = 481 50 mm. = 0005 m.De esta forma, el plano de nivelacin definitivo ser el paralelo alanteriormente obtenido por regresin no lineal minimocuadrtica yelevado unos 5 mm. en relacin a l, por lo que deberemos hallar laecuacin del plano que pasa por el punto (108,52,2246), habiendoaadido 5 mm. a la cota Z, y resulta paralelo al plano anteriormentehallado de ecuacin: 0012X + 0017Y Z + 0061 + = 0 .Como dicho plano debe pasar por el punto de coordenadas (108,52, 2246), se tiene:0012 108 + 0017 52 2246 + = 0 ,de dnde = 0066. Luego la ecuacin del plano definitivo del bancal ya nivelado oexplanado, para que no exista ningn sobrante de tierras, con la hiptesis deesponjamiento/compactacin reseada, ser:0012X + 0017Y Z + 0127 = 0En realidad, si consideramos situadas las estacas en el centro decada retculo de la malla o red, con las superficies subsidiarias oanexas iguales de 26 x 27 = 702 m2, el clculo de la compensacinde tierras resulta perfectamente ajustado desde el punto de vistamatemtico, al ser iguales las superficies anexas o subsidiarias decada estaca, por lo que no se precisa efectuar ponderacinsuperficial alguna. En efecto, aplicando lo expuesto al problema queestamos resolviendo, se tiene: Tabla 5. Movimiento de tierras resultante (II). 182. SuperficieCorreccinVolumen Vrtices(m2)(m)(m3)1 702,0 -0,06466743-45,39653362 702,0 -0,02133386-14,97637223 702,0 0,2119997 148,8237894 702,0 -0,03466674-24,33604945 702,0 -0,05133317-36,03588816 702,00,00133249 0,935410467 702,0 -0,00533394-3,744428178 702,0 -0,07200038-50,54426689 702,0 -0,04866682-34,1641054 10 702,00,0446667531,356056 11 702,00,06733241 47,2673545 12 702,00,01066598 7,48751585 13 702,0 -0,06600046-46,3323228 14 702,0-0,0326669-22,9321614 15 702,00,0606666742,588 10.530,0 TOTAL (135x78)00La suma de las discrepancias o diferencias de altura entre lospuntos del plano nivelado y los correspondientes del terrenooriginal, afectadas de su signo correspondiente (desmonte oterrapln) debe ser nula, como puede demostrarse de la propiateora de la regresin minimocuadrtica. De esta suerte, a igualdadde superficies subsidiarias o tributarias a cada vrtice, el ajuste aqupropugnadodebeofrecer siempre una compensacinvolumtricamente perfecta, lo que evidencia la gran utilidad delmtodo expuesto.Lo apuntado anteriormente puede demostrarse por consideracionestericas explicadas en otros apartados de este mismo libro. De hecho,ello puede comprobarse diferenciando parcialmente la suma de^cuadrados con respecto a 1 e igualando a cero el resultado. Esto es: ^ ^^ ^ e i2 = ^ ( Yi 1 2 X 1i .......... k X ki ) 2 = 1 1^^ ^ = 2 ( Yi 1 2 X 1i .......... k X ki ) = 0o sea: ei = 0 y tambin e = 0 , c.s.q.d.2.1.2. Pendientes del bancal definitivo 183. Las pendientes transversal y longitudinal del plano definitivo de nivelacin de la parcelaque nos ocupa vendrn dadas respectivamente por:Pt = (0884/52) 100 = 170%Pl = (1296/108) 100 = 120%Del vrtice 1 al 15 existe un desnivel de Z = 218 metros por unadistancia rectilnea diagonal de: D115 = 108 2 + 52 2 120 m. ,con lo que dicha lnea tendr una pendiente de: (218/120) 100 = 182%.De este modo, las lneas de mxima pendiente de esta parcela sern,teniendo en cuenta las determinaciones anteriores: Pm = 170 2 + 120 2 = 208% (mxima pendiente)y pueden verse dibujadas en el grfico siguiente:Fig. 4. Lneas de mxima pendiente de la parcela (I).Del mismo modo, en la figura siguiente pueden verse dibujadas las lneaso rectas de nivel, teniendo en cuenta que resultan perpendiculares a lasanteriores lneas de mxima pendiente de la parcela en estudio. 184. Fig. 5. Lneas de nivel de la parcela (I).2.2. Mnimo condicionado2.2.1. Resolucin manual del problemaEn este caso, condicionamos por razones diversas (constructivas,estticas, legales, ) la nivelacin de la parcela en estudio al plano quepasa por los tres puntos de coordenadas relativas: 1 (108,52,231) 11 (108,0,131) 15 (0,0,0)y cuya ecuacin general vendr dada por:x yz 1x yz 108 52 231 1 = 108 52 231 = 108 0 1311 108 0 13100 0 1= 6812x + 24948y 5.616z 14148y = = 6812x + 108y 5.616z = 0 ; de dnde: 185. 6812x + 108yz= 5.616lo que permitir el clculo de las cotas definitivas del terreno nivelado, asaber:Tabla 6. Cotas definitivas y correcciones (II).Cotas PuntosCotasdel tericosVrticesdefinitivas Corregido terrenodel plano Zinicial(X,Y) 1 230(108,52)231+001 2 193 (81,52)198+005 3 137 (54,52)166+029 4 129 (27,52)133+004 5 098(0,52)100+002 6 180(108,26)181+001 7 148 (81,26)148 0 8 122 (54,26)116 -006 9 087 (27,26)083 -004 10045(0,26)050+005 11130 (108,0)131+001 12103(81,0)098-005 13078(54,0)066-012 14042(27,0)033-009 15 000(0,0)0000De este modo, el plano nivelado por el procedimiento anterior 68 de la parcela o bancalpuede verse en la siguiente figura de representacin tridimensional:68 Ntese que, alternativamente, por la propia definicin de un plano, siempre es posible obtener suecuacin si se conoce un punto del plano y el vector normal a ese mismo plano. Sean ahora A, B y C trespuntos en el espacio afn tridimensional eucldeoy sea un plano que contiene a A, B y C.Entonces, un vector normal dede viene dado por u x v, donde y. En general,tres puntos no alineados determinan en forma nica un plano; este hecho permite, dados tres puntosconocidos A, B y C, no alineados, calcular la ecuacin del plano que los contiene. Esto se hace de lasiguiente forma: a) Seael plano que contiene los puntos A, B y C. b) Sea y. c)Calclese el vector N, donde N = u x v. Recurdese, al respecto, que N es un vector perpendicular a y. d) Si es un punto de , entonces cualquiera de las igualdades:puede utilizarse para obtener la ecuacin del plano buscado . En el caso anterior, el vector puede sercualquier vector paralelo a: u x v. 186. Fig. 6. Bancal nivelado por procedimiento ordinario.En este caso, se tendrn las siguientes coordenadas UTM de losdiferentes vrtices de la malla o red de la parcela cuya nivelacin aqu sepretende: 187. Tabla 7. Cotas definitivas de nivelacin (II).VRTICE COORDENADASCOORDENADAS ABSOLUTASRELATIVASX (m.) Y (m.) Z (m.) 1 (108,52,231)303.771 4.517.63725310 2(81,52,198)303.744 4.517.63724980 3(54,52,166)303.717 4.517.63724660 4(27,52,133)303.690 4.517.63724330 5 (0,52,100)303.663 4.517.63724000 6 (108,26,181)303.771 4.517.61124810 7(81,26,148)303.744 4.517.61124480 8(54,26,116)303.717 4.517.61124160 9(27,26,083)303.690 4.517.6112383010 (0,26,050)303.663 4.517.6112350011(108,0,131)303.771 4.517.5852431012 (81,0,098)303.744 4.517.5852398013 (54,0,066)303.717 4.517.5852366014 (27,0,033)303.690 4.517.5852333015(0,0,000)303.663 4.517.58523000Como consecuencia de las correcciones que se expresan en el cuadroanterior, resultar el siguiente movimiento de tierras (el signo + implicaterrapln y el implica desmonte), notndose que esta estimacinresulta ser slo una aproximacin, teniendo en cuenta las superficies delas subparcelas tributarias de cada vrtice o estaca que hemos sealadoen las anteriores figuras: Tabla 8. Movimiento de tierras resultante (III). Superficie Correccin Volumen Vrtices (m2)(m) (m3) 1175,5 +0,01 +1,755 2351,0 +0,05+17,550 3351,0 +0,29 +101,790 4351,0 +0,04+14,040 5175,5 +0,02 +3,510 6351,0 +0,01 +3,510 7702,0- 0,000 8702,0 -0,06-42,120 9702,0 -0,04-28,08010351,0 +0,05+17,55011175,5 +0,01 +1,75512351,0 -0,05-17,55013351,0 -0,12-42,12014351,0 -0,09-31,59015175,5- 0,0005.616,0 0,00TOTAL (108x52)0,000 188. con lo que no se produce, en conjunto, ningn sobrante de tierras en elproceso de desmonte y terrapln.Si, por ejemplo, interesara subir o rellenar toda la parcela 1 cm.,deberamos hallar la ecuacin del plano que pasa por el punto(108,52,232), y es paralelo al plano:6812x + 108y 5.616z = 0Su expresin ser:6812x + 108y 5.616z + = 0 ;Como debe pasar por (108,52,232), se tiene:6812 108 + 108 52 5.616 232 + = 0 ;de dnde: = 5616 ; luego el plano es:6812x + 108y 5.616z + 5616 = 0En resumen, en base a los resultados obtenidos en la tabla anteriormente expuesta, encada vrtice de la malla o pie de estaca debe realizarse, por el operador maquinista, elsiguiente movimiento de tierras, expresado en centmetros:Tabla 9. Correcciones de los vrtices. MOVIMIENTO DE ESTACATIERRAS(cm.)1+12+53+294+45+26+17 08 -69 -4 10+5 11+1 12 -5 13-12 14 -9 15 02.2.2. Pendientes del bancal 189. Las pendientes transversal y longitudinal del plano definitivo denivelacin de la parcela que nos ocupa vendrn dadas respectivamentepor los valores:Pt = (100/52) 100 = 192%Pl = (131/108) 100 = 121%Del vrtice 1 al 15 existe un desnivel de Z = 231 metros por unadistancia rectilnea de: D115 = 108 2 + 52 2 120 m. ,con lo que dicha lnea tendr una pendiente de: (231/120) 100 = 193%.De este modo, las lneas de mxima pendiente de esta parcela sern: Pm = 192 2 + 1212 =227% (mxima pendiente)y pueden verse dibujadas en el grfico siguiente:Fig. 7. Lneas de mxima pendiente de la parcela (II).Del mismo modo, en la figura siguiente pueden verse dibujadas las lneaso rectas de nivel, teniendo en cuenta que resultan perpendiculares a lasanteriores lneas de mxima pendiente de la parcela en estudio. 190. Fig. 8. Lneas de nivel de la parcela (II).3. EJEMPLO EXTRADO DE UNA PUBLICACIN DEL ANTIGUOINSTITUTO NACIONAL DE COLONIZACIN (INC)3.1. Determinacin de las pendientes del plano definitivo del bancalLas lneas rectas que sustituyen a los perfiles medios se han de determinar de maneraque su adaptacin sea mxima o bien que el error cometido sea el mnimo posible, alobjeto de que el movimiento de tierras necesario para efectuar la compensacin seatambin el mnimo posible. Para realizar esta determinacin matemticamente, se utilizael conocido mtodo de los mnimos cuadrados ordinarios, fundado en la ley deprobabilidad de errores de GAUSS. En el excelente libro del Dr. Ingeniero AgrnomoMariano Laguna Reina, publicado por el antiguo Instituto Nacional de Colonizacindel Ministerio de Agricultura, citado en la bibliografa, que iremos siguiendotextualmente en el presente apartado, se expone con detalle el susodicho mtodo, quesupone el ajuste separado de los perfiles medios longitudinales y transversales,obtenindose como resultado rectas de regresin mediante un proceso ciertamentelaborioso que, al cabo del mismo, exige el reajuste entre los volmenes de desmonte yde terrapln, de forma anloga a como se realiza con el abancalado clsico.Ello es as porque se opera en el plano bidimensional eucldeo R2, mientras que conel sistema por nosotros propugnado en el presente libro, trabajando en el espacioafn tridimensional eucldeo R3, el ajuste se producir de manera automtica,rpida y exacta, proporcionando al topgrafo una herramienta de trabajo deextraordinaria utilidad para la realizacin de este tipo de trabajos. Por otra parte,con nuestro sistema tridimensional puede obviarse la previa configuracin enmalla o red de la situacin de las estacas o vrtices del terreno a nivelar, siendosuficiente el considerar una nube de puntos que comprenda un nmero 191. determinado pero representativo de las cotas del terreno original, an estandoaquellos distribuidos aleatoriamente por el mismo.A los efectos de la operatoria clsica en el plano, se consideran los sistemas decoordenadas auxiliares X1 Y1 y X2 Y2, para la representacin grfica de los perfilesmedios transversal y longitudinal, respectivamente, y determinacin analtica de laslneas rectas medias cuya ecuacin general es: y = a + bx, segn se indica en la figurasiguiente.Fig. 9. Planta del mallado y ejes cartesianos de la parcela.Al objeto de que los distintos valores de la coordenada x queden distanciados aintervalos regulares, los puntos de origen o centros O1 y O2, de ambos sistemasauxiliares de coordenadas, se sitan a una distancia de una cuadrcula del centro msprximo. Los ejes O1 X1 y O2 X2 coinciden con los ejes transversal y longitudinal delbancal, respectivamente.Los valores numricos de los coeficientes a y b, de la expresin analtica de las lneasque se buscan, y = a + bx, se determinan por el mtodo antedicho en funcin de los nvalores de las coordenadas X e Y de los puntos considerados en cada uno de los perfilesmedios.Los valores mejores de los coeficientes a y b, segn el mtodo de los mnimoscuadrados sern los siguientes:( x )( xy ) ( y )( x 2 )a= ( x ) 2 n( x 2 ) 192. ( x )( y ) n( xy ) b= ( x ) 2 n( x 2 ) en los que: x = Suma de las abscisas de los puntos considerados en los perfiles medios. y =Suma de las alturas o cotas medias de los puntos considerados en los perfiles medios. xy = Suma de los productos de las abscisas por las cotas medias correspondientes de cada uno de los puntos de los perfiles.2(x) = Cuadrado de la suma de las abscisas de los puntos considerados. x2 = Suma de los cuadrados de las abscisas. n = Nmero de puntos considerados en cada perfil medio. El valor del coeficiente de regresin b, as obtenido, es el que corresponde al coeficiente angular de la recta y = a + bx, es decir, la pendiente de dicha lnea que, como ya indicamos, servir para determinar las cotas corregidas de cualquier punto del plano definitivo del bancal, partiendo de la cota media correspondiente a su centro de gravedad, previamente determinada en funcin de las cotas de los centros de gravedad de las retculas. 3.2. Aplicacin prctica del mtodo de los mnimos cuadrados y perfiles medios (regresin lineal bidimensional) Para el logro de una ms completa aclaracin de cuanto llevamos indicado respecto al planeamiento de terrenos, consideramos de especial inters repetir aqu el conjunto de los clculos y determinaciones conducentes a ello, en el caso concreto de un supuesto prctico suficientemente relevante que puede encontrarse en el libro anteriormente relacionado. Supondremos el caso particular de una porcin de terreno de forma sensiblemente rectangular, con equidistancia de las curvas de nivel de 100 m., en la que consideramos superpuesta una cuadrcula regular, con dimensiones de 25 x 25 m. = 625 m2 de las retculas, y que las cotas de los centros de gravedad de las mismas, determinadas por nivelacin de dichos puntos en el terreno, son las que se indican en la representacin grfica de la figura siguiente: 193. Fig. 10. Planta curvada y cotas del centro de las cuadrculas.En primer lugar, procedemos a la determinacin de la cota media,correspondiente al centro de gravedad del bancal, que se obtiene por lamedia aritmtica de las cotas de todos los centros de cuadrculas, quepor ser stas iguales no precisan de ponderacin alguna. Por tanto: cot as87475 Cota del centro de gravedad = == 24993 m.nm. de puntos 35La localizacin del centro de gravedad en la planta del bancal (centroide),en este caso, est determinada por la interseccin de los ejes transversaly longitudinal, al tratarse de un cuadriltero regular. Su cota nosdeterminara, en su caso, la del plano definitivo horizontal ptimo al quehubiera que llegar de desearse la configuracin del terreno definitivocomo perfectamente horizontal, es decir, con pendiente nula. Debetenerse en cuenta que, en este caso, como ya se ha dicho, se hanestablecido sobre la parcela de terreno en estudio cuadrculas dedimensiones 2500 x 2500 = 62500 m2, con un resultado global de 35puntos. De haberse establecido un reticulado de dimensiones inferiores,con lo que aumentara correlativamente el nmero de puntos, la precisinen la determinacin del centroide y consecuente cota del plano horizontaldefinitivo hubiera sido mayor. Un ejemplo representativo de ello puedeverse desarrollado en el presente captulo referido a una parcela situadaen la poblacin de Gandesa (Tarragona), con cuadrculas alternativas de500 x 500 = 25 00 m2 y 300 x 300 = 900 m2. 194. Al representar los perfiles medios, consideramos como valor de las abscisas el nmero de cuadrculas que correspondan a cada punto, obteniendo as una mayor facilidad en los clculos. Para obtener la cota de cada uno de los puntos del perfil medio longitudinal, consideramos ahora las cotas de los centros de las correspondientes alineaciones transversales, es decir, los centros de las columnas respectivas, a saber:COTAS POR COLUMNAS 12 3 4 5 6 72910 2511235025132466238122123163 2860249323502570246622593022 291226802222248124022280 24,61 26902655 2261 2394232022042304 250226222280252725512291 de cotas 1386013475 12800 11526 12438 12120 11246Cota media 2772 2695 25602305248824242249 Utilizando el sistema de coordenadas auxiliar X2 Y2 que se indic anteriormente, al describir el proceso general de clculo, el perfil medio longitudinal tendr la representacin de la figura siguiente:Fig. 11. Perfil medio longitudinal. El mejor valor del coeficiente angular o de regresin b de la recta de ecuacin: y = a + bx, que buscamos, segn el mtodo de los mnimos cuadrados ordinarios, ser: 195. ( x ) ( x )( y ) n( xy )( y ) ( xy)b= = n( x ) 2 n( x 2 )( x )2 ( x 2 ) nConsideradas las abscisas como intervalos de cuadrculas, se facilitarn los clculosgrandemente si se tabulan, previamente, los valores de las expresiones: ( x ) ( x )2 y ( x 2 ) nnpara los distintos nmeros n posibles, como hacemos a continuacin:( x ) ( x )2n ( x 2 )nn215- 05320- 20425- 50530 - 100635 - 175740 - 280Teniendo en cuenta las ordenadas de los puntos considerados en elperfil y los valores de la tabla anterior, seguidamente se procede alclculo del coeficiente angular:y = 2772 + 2695 + 2560 + 2305 + 2488 + 2424 + 2249 = 17493 xy = (12772) + (22695) + (32560) + (42305) + (52488) + + (62424) + (72249) = 67789n=7Aplicando estos valores a la frmula anterior, tendremos: 4 17493 67789 69972 677892183b=== = 0779 28 28 28Esta pendiente est referida a la escala adoptada para las abscisas, esdecir, a los 25 m. de anchura de la cuadrcula. En consecuencia, lapendiente longitudinal de la parcela, expresada en tanto por ciento, sercuatro veces mayor, esto es: Pendiente = - 0779 4 = - 3116 %El signo negativo de la pendiente indica que la recta est inclinada haciala derecha del grfico, como se indica en el mismo, trazada por la cotacorrespondiente al centro de gravedad del bancal, con la pendiente 196. calculada. Respecto al perfil medio transversal, operando del mismomodo para obtener la cota de cada uno de sus puntos, consideramos lascotas de los centros de las correspondientes alineaciones longitudinales,es decir, los centros de las filas respectivas, o sea:COTAS POR FILAS123 4 5 2910 3163 302224612304 2511 2860 261226902502 2350 2493 26802655262225,13 2550 222221612280 2466 2570 248123942527 2381 2466 240223202551 2212 2259 228022042291 de cotas173431816117999 16885 17077Cota media2478 2594257124122440Utilizando el sistema de coordenadas auxiliar X1 Y1, indicadoanteriormente, el perfil medio transversal tendr la representacin de lafigura siguiente.Fig. 12. Perfil medio transversal.El mejor valor del coeficiente angular b de la recta y = a + bx de este perfiltransversal, segn el mtodo de los mnimos cuadrados ordinarios, se obtendraplicando la misma frmula anterior. 197. Por tanto, teniendo en cuenta las ordenadas de los puntos consideradosen el perfil y los valores de la tabla auxiliar, tendremos:y = 2478 + 2594 + 2571 + 2412 + 2440 = 12495xy = (12478) + (22594) + (32571) + (42412) + (52440) = 37227n=5Aplicando estos valores a la expresin de la pendiente o coeficienteangular de la recta, se tiene:30 12495 37227 37485 37227258 b==== 0258 10 10 10Al igual que en el caso anterior, en razn a la anchura de la cuadrculaescogida, 25 m., la pendiente expresada en tanto por ciento ser: Pendiente transversal = - 0258 4 = - 1032 %El signo negativo de la pendiente indica que la inclinacin de la recta eshacia la derecha del grfico, tal como se ha dibujado en el mismo,pasando por el centro de gravedad.En resumen, se han determinado las pendientes del plano definitivo delbancal, que a continuacin se indican:Pendiente longitudinal ........... 3116 %Pendiente transversal ............ 1032 %A partir de este momento, se sigue el mismo procedimiento que en elabancalado 69 para el clculo de las cotas corregidas de cada uno de loscentros de las cuadrculas y de aquellos puntos que interese conservaren las lindes, como referencias de nivel, para la ejecucin de las obras.Para ello, se considera el sistema de coordenadas principal,69Existen, en la bibliografa especializada al respecto, ciertos modelos matemticos concebidosexpresamente para el abancalado de los terrenos de cultivo. Mediante el anlisis matemtico se hanpropuesto algunos modelos de abancalado para resolver empleando tratamiento de datos en ordenador.Adems de los tradicionales datos vd y dmt, algunos de estos modelos aportan los siguientes parmetros:la relacin vt/vd entre el volumen de desmonte transversal y el volumen de desmonte, la posicin de lalnea de separacin desmonte-terrapln por el ngulo orientado que ella forma con el eje longitudinal delbancal y las coordenadas X e Y de los centros de gravedad de desmonte y terrapln. En la mayora de lasparcelas dedicadas a cultivos agrcolas de secano se puede asimilar su superficie a un plano inclinado quedeterminamos por aplicacin de la teora de mnimos cuadrados. El arranque y transporte de tierras en lacompensacin de volmenes para el abancalado se contempla como un modelo fsico en el que seconsidera el concepto de trabajo y momento de fuerza. En base a los conceptos geomtricos y fsicos seha hecho, en algunos casos, un anlisis del mtodo de la cota roja media profundizando en el estudio delerror cometido por su aplicacin. 198. constituido por los ejes transversal y longitudinal del bancal, conorigen en el centro de gravedad del mismo.En su consecuencia, la cota corregida de un punto cualquiera (Xi, Yi) delplano definitivo, en funcin de la cota del centro de gravedad del bancal(cota media) y de las pendientes calculadas, ser: Cota corregida = 24993 003116 x1 001032 y1A partir de aqu, resulta prctico determinar, en primer lugar, la cota correspondiente alcentro ms alto del plano definitivo, para obtener seguidamente las cotas corregidas delos restantes centros y puntos por los incrementos por pendientes.En el ejemplo considerado, la cota del centro 1, ms alto, correspondiente al vrtice 29,sera: Cota del centro 1 = 24993 + 003116 75 + 001032 50 = 27843 m.La diferencia entre las cotas corregidas y las iniciales del terreno proporcionan las cotasrojas 70 de desmonte y terrapln en cada uno de los centros y puntos considerados.Todo ello puede verse con suficiente y expresiva claridad en la siguiente tabla, obtenidacon precisin por la aplicacin de la hoja de clculo Excel, donde se han sealado enletra negrilla los vrtices de la cota taquimtrica mayor y menor. As:Tabla 10. Cotas definitivas y correcciones (III). Cotas Cotas delVrticesX=X1 Y=X2definitivas terreno CorregidoZ inicial 175 -50 26,81123,04+3,771 250 -50 26,03225,02+1,01270 Recordemos que se denomina cota roja de un punto a la diferencia existente entre la cota que tiene enla rasante y la que tiene en la traza. Es decir, es la cota en el proyecto menos la cota en el terreno natural.Es el dato preciso para llevar a cabo el replanteo altimtrico. La cota roja puede ser: Positiva (por ejemplo en el punto A): proyecto a mayor cota que el terreno implica terrapln o relleno de tierras. Negativa (por ejemplo en el punto B): proyecto a menor cota que el terreno implica desmonte o corte de tierras.Esquemticamente, los pasos que se siguen para calcular las cotas rojas de los puntos del proyecto son lossiguientes: Realizar el proyecto sobre la cartografa base: se proyecta la planta del proyecto. Replantear la planta: se obtiene la traza a lo largo del eje del proyecto, esto es, el perfil longitudinal del terreno. Sobre la traza se proyecta la altimetra de la obra, o sea, la rasante. Comparando las cotas de rasante y de traza, se calculan las cotas rojas de los puntos secuenciales. Por ltimo, se realiza el replanteo altimtrico. 199. 3 25-50 25,25326,22-0,96740-50 24,47422,80+1,6745-25-50 23,69525,27-1,5756-50-50 22,91625,51-2,5947-75-50 22,13722,91-0,7738 75-25 27,06924,61+2,4599 50-25 26,29026,90-0,610 10 25-25 25,51126,55-1,039 110-25 24,73221,61+3,122 12-25-25 23,95323,94+0,013 13-50-25 23,17423,20-0,026 14-75-25 22,39522,04+0,355 15 750 27,32730,22-2,893 16 500 26,54829,12-2,572 17 250 25,76926,80-1,031 1800 24,99022,22+2,770 19-250 24,21124,81-0,599 20-500 23,43224,02-0,588 21-750 22,65322,80-0,147 22 75 25 27,58531,63-4,045 23 50 25 26,80628,60-1,794 24 25 25 26,02724,93+1,097 250 25 25,24823,50+1,748 26-252524,46925,70-1,231 27-502523,69024,66-0,970 28-752522,91122,59+0,321 29 75 50 27,84329,10-1,257 30 50 50 27,06425,11+1,954 31 25 50 26,28523,50+2,785 320 50 25,50625,13+0,376 33-255024,72724,66+0,067 34-505023,94823,81+0,138 35-755023,16922,22+0,949 Sumas 000,000Se contina el proceso descrito para la determinacin del volumenexigido por la compensacin de tierras y para el reajuste entre losvolmenes de desmonte y de terrapln, siempre actuando de formaanloga a como se indic para los restantes ejemplos que resolvemos enel presente libro.En cualquier caso, hemos considerado interesante poner de manifiesto laprolijidad de las operaciones a realizar por el doble mtodo bidimensionalcuya exposicin hemos transcrito del libro indicado (LAGUNA, 1968) encomparacin con el mtodo tridimensional que se expone en el epgrafesiguiente de nuestro libro que, adems, nos puede ofrecer la imagentridimensional del plano de nivelacin definitivo del terreno en cuestin. 200. 3.3. Resolucin del problema por regresin lineal minimocuadrticatridimensionalSe trata de la nivelacin de la anterior parcela de cultivo, de plantasensiblemente rectangular, sobre la cual se ha dibujado una malla o redformando cuadros de 2500 x 2500 m. y 35 estacas en los centros decada cuadrcula en cuyos puntos, con el instrumento topogrficocorrespondiente, se han tomado las coordenadas relativas siguientes:Tabla 11. Coordenadas del centro de la cuadrcula. X=X1Y=X2 Z=Yi Vrtices 162,5 112,523,04 1 137,5 112,525,02 2 112,5 112,526,22 387,5 112,522,80 462,5 112,525,27 537,5 112,525,51 612,5 112,522,91 7 162,587,524,61 8 137,587,526,90 9 112,587,526,551087,587,521,611162,587,523,941237,587,523,201312,587,522,0414 162,562,530,2215 137,562,529,1216 112,562,526,801787,562,522,221862,562,524,811937,562,524,022012,562,522,8021 162,537,531,6322 137,537,528,6023 112,537,524,932487,537,523,502562,537,525,7026 X=X1Y=X2 Z=Yi Vrtices37,537,524,662712,537,522,5928 162,512,529,1029 137,512,525,1130 112,512,523,5031 201. 87,5 12,525,13 32 62,5 12,524,66 33 37,5 12,523,81 34 12,5 12,522,22 35En este caso, se trata de buscar el plano de ajuste ptimo, esto es, aqulque nos ofrece la mnima compensacin de tierras entre los volmenesde desmonte y de terrapln. El procedimiento empleado, como se ver,resulta mucho ms rpido y eficiente que el mtodo empleado en elepgrafe anterior para la resolucin del mismo problema, en que losajustes por regresin lineal minimocuadrtica se han realizadoseparadamente para los perfiles medios longitudinales y transversalesdel terreno a nivelar. Hemos considerado, como se ve, la esquinasuperior derecha (esquina NE) de la cuadrcula que contiene el vrtice 35como el origen de las coordenadas relativas (0,0), por tratarse de unpunto cmodo y de bajo nivel taquimtrico de la parcela en estudio. As:Fig. 13. Planta de la cuadrcula.Siguiendo los pasos sealados anteriormente (ver ejemplos anteriores),la hoja de clculo excel nos ofrecer el plano de ajuste por regresinlineal minimocuadrtica, con el siguiente resultado: 202. As pues, se obtienen los siguientes coeficientes en la ecuacin del planodefinitivo del bancal (ajustando a cinco decimales): A = 2292471 B = 003110 C = -001045De esta suerte, la expresin general del plano resultante ser:00311X - 001045Y Z + 2292471 = 0con lo que para hallar las cotas taquimtricas definitivas de los 35vrtices despejaremos: 203. Z = 2292471 + 003110X - 001045YA resultas de lo anterior, obtendremos dichas cotas definitivas (Ti) en la siguiente tabla,as como posteriormente el denominado error tpico de la estima y el correspondientegrado de nivelacin C a partir del estadgrafo chi-cuadrado (2), esto es:Tabla 12. Cotas definitivas y correcciones (IV).Cotas delPuntos Cotas CorregidoVrtices terreno tericos del definitivas(di)inicial plano (X,Y) Z (Ti)123,04 (1625,1125) 26,803 +3,763225,02 (1375,1125) 26,025 +1,005326,22 (1125,1125) 25,248 -0,972422,80(875,1125) 24,470 +1,670525,27(625,1125) 23,693 -1,577625,51(375,1125) 22,915 -2,595722,91(125,1125) 22,138 -0,772824,61(1625,875) 27,064 +2,454926,90(1375,875) 26,287 -0,613 1026,55(1125,875) 25,509 -1,041 1121,61 (875,875) 24,732 +3,122 1223,94 (625,875) 23,954 +0,014 1323,20 (375,875) 23,177 -0,023 1422,04 (125,875) 22,399 +0,359 1530,22(1625,625) 27,325 -2,895 1629,12(1375,625) 26,548 -2,572 1726,80(1125,625) 25,770 -1,030 1822,22 (875,625) 24,993 +2,773 1924,81 (625,625) 24,215 -0,595 2024,02 (375,625) 23,438 -0,582 2122,80 (125,625) 22,660 -0,140 2231,63(1625,375) 27,587 -4,043 2328,60(1375,375) 26,809 -1,791 2424,93(1125,375) 26,032 +1,102 2523,50 (875,375) 25,254 +1,754 2625,70 (625,375) 24,477 -1,223 2724,66 (375,375) 23,699 -0,961 2822,59 (125,375) 22,922 +0,332 2929,10(1625,125) 27,848 -1,252 3025,11(1375,125) 27,070 +1,960 3123,50(1125,125) 26,293 +2,793 3225,13 (875,125) 25,515 +0,385 3324,66 (625,125) 24,738 +0,078 3423,81 (375,125) 23,960 +0,150 3522,22 (125,125) 23,183 +0,963 874,75-- 874,75 0,000De este modo, el plano nivelado minimocuadrticamente de la parcela o bancal puedeverse en la siguiente figura de representacin tridimensional: 204. Fig. 14. Bancal nivelado por mnimos cuadrados (II).Como consecuencia de las correcciones que se expresan en el cuadroanterior, resultar el siguiente movimiento de tierras (el signo + implicaterrapln y el implica desmonte), notndose que esta estimacin 205. resulta ser exacta, teniendo en cuenta la igual magnitud de lassuperficies de las subparcelas tributarias de cada vrtice o estaca quehemos sealado en las anteriores figuras: Tabla 13. Movimiento de tierras resultante (IV).Vrtices Superficie (m2) Correccin (m.) Volumen (m3) 1 625 +3,7632.351,875 2 625 +1,005628,125 3 625 -0,972-607,5 4 625 +1,670 1.043,75 5 625 -1,577 -985,625 6 625 -2,595 -1.621,875 7 625 -0,772-482,5 8 625 +2,454 1.533,75 9 625 -0,613 -383,12510 625 -1,041 -650,62511 625 +3,122 1.951,2512 625 +0,0148,7513 625 -0,023 -14,37514 625 +0,359224,37515 625 -2,895 -1.809,37516 625 -2,572-1.607,517 625 -1,030 -643,7518 625 +2,7731.733,12519 625 -0,595 -371,87520 625 -0,582 -363,7521 625 -0,140 -87,522 625 -4,043 -2.526,87523 625 -1,791 -1.119,37524 625 +1,102688,7525 625 +1,754 1.096,2526 625 -1,223 -764,37527 625 -0,961 -600,62528 625 +0,332 207,529 625 -1,252-782,530 625 +1,960 1.22531 625 +2,7931.745,62532 625 +0,385240,62533 625 +0,078 48,7534 625 +0,150 93,7535 625 +0,963601,875 TOTAL 21.875 (625x35) 0000 0,000, por lo que la compensacin as efectuada de tierras resulta absolutamente ajustada ymatemticamente perfecta, no obtenindose volmenes ni de tierras sobrantes ni detierras a aportar a la parcela, salvando la consideracin de los pertinentes coeficientes de 206. esponjamiento y/o compactacin ulterior que haya que aplicar en su caso (ver Cap. 2).Este clculo, que se deduce inmediatamente del cuadro anterior, puede ser contrastadocon la cuantificacin correspondiente mediante el estudio de los perfiles transversales ylongitudinales de la parcela en estudio, determinados por la malla o red de vrtices quenos ocupa. De los clculos efectuados en este caso, se deduce un movimiento de tierras(desmonte = terrapln) de: 15.423125 m3, que constituye la cifra volumtrica necesariapara configurar el terreno en estudio en base al plano ptimo minimocuadrtico quehemos obtenido.Para tener una medida del grado de explanacin, en base a lo explicitado en el captulo5 anterior, igualaremos a +10,00 m. la cota relativa media o centro de gravedad de laparcela en estudio, cuyo valor resulta de dividir la suma de las cotas iniciales del terrenonatural por el nmero de vrtices (87475/35 = 24993 m.), con lo que se tendr lasiguiente tabla:Cotas Cotasrelativas relativasdi Vrticesdi2di2/Tiiniciales definitivas (Yi - Ti) (Yi) (Ti)1 8,05 11,810 -3,763 14,159 1,1992 10,0311,032 -1,0051,011 0,0923 11,2310,2550,9720,945 0,0924 7,819,478 -1,6712,791 0,2945 10,28 8,7001,5772,486 0,2866 10,52 7,9232,5946,730 0,8497 7,927,1450,7720,596 0,0838 9,62 12,071 -2,4546,022 0,4999 11,9111,2940,6130,376 0,033 10 11,5610,5161,0411,083 0,103 11 6,629,739 -3,1229,745 1,001 12 8,958,961 -0,0140,000 0,000 13 8,218,1840,0230,001 0,000 14 7,057,406 -0,3590,129 0,017 15 15,2312,3322,8958,380 0,680 16 14,1311,5552,5726,617 0,573 17 11,8110,7771,0301,060 0,098 18 7,23 10,000 -2,7737,689 0,769 19 9,829,2220,5950,354 0,038 20 9,038,4450,5820,339 0,040 21 7,817,6680,1390,019 0,003 22 16,6412,5934,044 16,352 1,298 23 13,6111,8161,7913,208 0,272 24 9,94 11,038 -1,1011,213 0,110Cotas Cotasrelativas relativasdi Vrticesdi2di2/Tiiniciales definitivas (Yi - Ti) (Yi) (Ti) 25 8,51 10,261 -1,754 3,0770,300 26 10,71 9,4841,223 1,4970,158 207. 279,67 8,706 0,961 0,923 0,106287,60 7,929-0,332 0,110 0,01429 14,1112,854 1,253 1,569 0,12230 10,1212,077-1,960 3,842 0,318318,5111,300-2,793 7,798 0,69032 10,1410,522-0,385 0,148 0,014339,67 9,745-0,078 0,006 0,001348,82 8,967-0,150 0,023 0,003357,23 8,190-0,963 0,927 0,113 350,00 350,0000,000 111,225 2=10,268Obsrvese que en la tabla anterior hemos definido el di = Yi Ti como la diferenciaexistente entre las cotas del terreno natural o iniciales y las definitivas que se deducende la aplicacin de nuestro modelo de explanacin. Ello es as con el objetivo deadecuarnos a la terminologa utilizada para el clculo de chi-cuadrado que realizaremosa continuacin.El error estndar o tpico de la estima de esta regresin mltiple (triple) vendr dado porla expresin (vase el captulo 5), con m = 2 variables explicativas correspondientes a laabscisa y la ordenada de cada punto: N(Y T )ii 2 111225 , Sxy = i =1 == 186 m.Nm 1 35 2 1Para N 1 = 35 1 = 34 grados de libertad, se tiene un 20,5 = 1655, realizando lainterpolacin correspondiente en la tabla de percentiles de la distribucin terica deprobabilidad chi-cuadrado que figura en el anexo 3. Al ser: 2=10268 < 1655 puedeconsiderarse bastante bajo, en trminos relativos, el volumen de explanacin a realizaren la parcela que nos ocupa.De haberse considerado, alternativamente, un valor del nmero de grados de libertad de:N m 1 = 32 g.l.se obtendra, por interpolacin lineal, un valor terico chi-cuadrado algo ms exigente20,5 = 1517, lo que no modificara tampoco las conclusiones anteriormente expresadas.Por otra parte, siguiendo con la idea de objetivizar el anlisis (y relativizarlo), veamosque el grado de explanacin determinado, como ya se ha visto, por el coeficiente decontingencia C derivado de la distribucin de probabilidad chi-cuadrado (2), vendrdado por la expresin: 2 10268C== = 048 48% , +N210268 + 35siendo N = 35 el nmero de estacas o vrtices de nivelacin considerado. 208. 3.4. Pendientes del bancalLas pendientes transversal y longitudinal del plano definitivo denivelacin de la parcela que nos ocupa vendrn dadas respectivamentepor:Pt = (1045/100) 100 = 1045%Pl = (4665/150) 100 = 3110%Del vrtice 29 (de mayor cota) al 7 (de menor cota) existe un desnivel deZ = 571 metros por una distancia rectilnea diagonal de: D 7 29 = 100 2 + 150 2 18028 m. ,con lo que dicha lnea tendr una pendiente de:(571/18028) 100 = 3167%.De este modo, las lneas de mxima pendiente de la parcela en estudiosern:Pm = 1045 2 + 3110 2 = 3281% (mxima pendiente)y pueden verse dibujadas en el grfico siguiente: 209. Fig. 15. Lneas de mxima pendiente de la parcela (II).Del mismo modo, en la figura siguiente pueden verse dibujadas las lneaso rectas de nivel, teniendo en cuenta que resultan perpendiculares a lasanteriores lneas de mxima pendiente de la parcela en estudio. Fig. 16. Lneas de nivel de la parcela (II). 210. 3.5. Nivelacin a pendiente nulaSi ahora pretendisemos efectuar la nivelacin a pendiente nula, esto es,de tal modo que la superficie o plano del terreno definitivo fueraperfectamente horizontal y sin pendiente alguna longitudinal y transversal(como sucede frecuentemente en la nivelacin de las parcelas arrozales),deberamos adoptar como solucin una cota taquimtrica de dicho planoigual a la media aritmtica de las cotas de todas las estacas, lo queconfigurara un plano de ecuacin: Z = 24993 m. paralelo al XOY.Obviamente, la suma de las correcciones a efectuar (o compensacin detierras), o sea, las discrepancias entre las cotas observadas del terreno ylas definitivas, debera ser nula en base a una propiedad caractersticade la media aritmtica, si bien el movimiento de tierras para alcanzar elplano definitivo deber ser lgicamente mayor que en el caso de adoptarcomo solucin la ofrecida por el ajuste minimocuadrtico tridimensional.Lo aqu expuesto puede comprobarse en la tabla siguiente, de la cual sededuce un movimiento total de tierras (desmonte = terrapln) de19.992188 m3, que es la cifra volumtrica necesaria para configurar elterreno en estudio en base al plano horizontal frente a los 15.423125 m3del plano ptimo inclinado obtenido por ajuste minimocuadrticotridimensional. Ello supone un movimiento de tierras casi un 30%superior. As:Tabla 14. Cotas definitivas, correcciones y movimiento de tierra resultante.Cotasdel Cotas definitivas Superficie VolumenVrticesCorregido terreno Z(m2) (m3)inicial 1 23,0424,993 +1,953 625 1.220,625 2 25,0224,993 -0,027 625-16,875 3 26,2224,993 -1,227 625 -766,875 422,824,993 +2,193 625 1.370,625 5 25,2724,993 -0,277 625 -173,125 6 25,5124,993 -0,517 625 -323,125 7 22,9124,993 +2,083 625 1.301,875 8 24,6124,993 +0,383 625239,375 926,924,993 -1,907 625-1.191,87510 26,5524,993 -1,557 625 -973,12511 21,6124,993 +3,383 625 2.114,37512 23,9424,993 +1,053 625658,1251323,224,993 +1,793 625 1.120,62514 22,0424,993 +2,953 625 1.845,62515 30,2224,993 -5,227 625-3.266,87516 29,1224,993 -4,127 625-2.579,3751726,824,993 -1,807 625-1.129,37518 22,2224,993 +2,773 625 1.733,125 211. Cotasdel Cotas definitivasSuperficieVrticesCorregido Volumen (m3) terreno Z (m2)inicial19 24,8124,993 +0,183 625 114,37520 24,0224,993 +0,973 625 608,12521 22,8 24,993 +2,193 625 1.370,62522 31,6324,993 -6,637 625 -4.148,12523 28,6 24,993 -3,607 625 -2.254,37524 24,9324,993 +0,063 625 39,37525 23,5 24,993 +1,493 625 933,12526 25,7 24,993 -0,707 625-441,87527 24,6624,993 +0,333 625 208,12528 22,5924,993 +2,403 625 1.501,87529 29,1 24,993 -4,107 625 -2.566,87530 25,1124,993 -0,117 625 -73,12531 23,5 24,993 +1,493 625 933,12532 25,1324,993 -0,137 625 -85,62533 24,6624,993 +0,333 625 208,12534 23,8124,993 +1,183 625 739,37535 22,2224,993 +2,773 625 1.733,125 21.875874,755874,7550000 0000(625x35)3.6. Nivelacin a pendiente prefijadaUna vez obtenido el plano ptimo por regresin minimocuadrticatridimensional, es posible modificar sus pendientes (longitudinal,transversal, mxima) segn las necesidades constructivas o agronmicasdel terreno rotando dicho plano alrededor del eje determinado por la rectade interseccin de este plano y el plano horizontal (que ser la lnea denivel que pasa por el centro de gravedad del plano definitivo). Asimismo,disponiendo del correspondiente programa grfico tridimensional podrajustarse dicho plano definitivo a cualquier otra pendiente que puedainteresar.4. APLICACIN A UN CASO REAL (2)La primera vez que nos planteamos este nuevo modelo de clculo, fue con un trabajotopogrfico realizado por el mtodo de nivelacin y no como un levantamientotaquimtrico. Evidentemente, este hecho lleva a una toma de datos en campo diferente ala que efectuaramos con una estacin total o con un taqumetro. Para poder realizar deforma coherente el trabajo procedimos, en primer lugar, a parcelar el terreno en base auna cuadrcula de 20 por 20 metros, aunque bien podra ser cualquier otra, como 212. veremos en otros ejemplos, nivelando posteriormente un punto de nivelacin central decada cuadrcula y en cada uno de los vrtices o intersecciones de la malla. De estamanera, dos de las alineaciones de los puntos (la inferior y la de la izquierda),coincidan con los ejes de abscisas y ordenadas, a los que otorgamos un valor en origende (X=0 m., Y=0 m.) respectivamente, y de tal modo que los puntos quedaranlocalizados en el primer cuadrante del crculo, lo cual nos permita siempre trabajar concoordenadas positivas. As, obtuvimos los 60 puntos que nos muestra la figura en plantasiguiente, con la equidistancia de las curvas de nivel de 020 m. Fig. 17. Puntos utilizados para el primer ejemplo.De aqu deriva la siguiente tabla de coordenadas de los vrtices situadosen las intersecciones de la malla o red:Vrtices X1 = XX2 = Y Yi = Z 213. 10,0000,000 10,000 20,000100,0009,600 3 180,000 100,000 12,140 4 180,000 0,000 11,260 50,000 20,0009,950 60,000 40,0009,920 70,000 60,0009,820 80,000 80,0009,730 9 180,00020,000 11,26010 180,00040,000 11,40011 180,00060,000 11,63012 180,00080,000 11,88013 20,000100,0009,62014 40,000100,0009,85015 60,000100,000 10,42016 80,000100,000 10,85017 100,000 100,000 11,15018 120,000 100,000 11,55019 140,000 100,000 11,85020 160,000 100,000 12,02021 20,000 80,000 10,00022 40,000 80,000 10,00023 60,000 80,000 10,55024 80,000 80,000 10,66025 100,00080,000 10,00026 120,00080,000 10,00027 140,00080,000 10,00028 160,00080,000 10,00029 20,000 60,000 10,00030 40,000 60,000 10,48031 60,000 60,000 11,02032 80,000 60,000 11,23033 100,00060,000 12,52034 120,00060,000 12,41035 140,00060,000 11,98036 160,00060,000 11,05037 20,00040,000 9,74038 40,000 40,000 10,41039 60,000 40,000 10,82040 80,000 40,000 11,01041 100,00040,000 11,210VrticesX1 = XX2 = Y Yi = Z42 120,00040,000 11,52043 140,00040,000 11,27044 160,00040,000 11,000 214. 4520,00020,00010,000 4640,00020,000 9,850 4760,00020,00010,230 4880,00020,00010,410 49100,000 20,00010,680 50120,000 20,000 9,950 51140,000 20,000 9,880 52160,000 20,00011,330 5320,000 0,00010,150 5440,000 0,00010,060 5560,000 0,00010,020 5680,000 0,00010,630 57100,0000,00010,850 58120,0000,00011,000 59140,0000,00011,020 60160,0000,00011,060La tabla precedente nos ofrece una serie de datos, divididos en cuatrocolumnas, en grupos de cuatro por lnea, que representan:1. El primero es el nmero de punto, vrtice o estaca dentro delconjunto general del trabajo.2. El segundo la coordenada X de las abscisas, transformada de laoriginal en UTM.3. El tercero la coordenada Y o del eje de las ordenadas, tambintransformada.4. El cuarto el valor de la coordenada Z de la elevacin o cota delterreno natural.Con estos datos creamos nuestro propio clculo de regresintridimensional de la parcela, utilizando la hoja de clculo Excel conSolver, como venimos realizando en los otros ejemplos obrantes en elpresente libro. Como consecuencia de l, se obtienen los siguientescoeficientes en la ecuacin general del plano definitivo del bancal(ajustando a cinco decimales): A = 975155 B = 000920 C = 000238De esta suerte, la expresin general del plano resultante ser:00092X + 000238Y Z + 975155 = 0con lo que para hallar las cotas taquimtricas definitivas de los 60vrtices buscados despejaremos: 215. Z = 975155 + 00092X + 000238YA resultas de lo anterior, obtendremos dichas cotas definitivas en la siguiente tabla, conlas correcciones de nivel correspondientes: Tabla 15. Cotas definitivas y correcciones (V).Yi (cotasVrtices XYdelTi (cotasdi = Yi Titerreno definitivas) (corregido) inicial) 10,0000,000 10,0009,7520,248 20,000 100,000 9,6009,990 -0,390 3 180,000100,00012,140 11,6450,495 4 180,000 0,000 11,260 11,407 -0,147 50,00020,000 9,9509,7990,151 60,00040,000 9,9209,8470,073 70,00060,000 9,8209,895 -0,075 80,00080,000 9,7309,942 -0,212 9 180,000 20,00011,260 11,454 -0,194 10180,000 40,00011,400 11,502 -0,102 11180,000 60,00011,630 11,5500,080 12180,000 80,00011,880 11,5970,283 13 20,000100,000 9,620 10,174 -0,554 14 40,000100,000 9,850 10,358 -0,508 15 60,000100,00010,420 10,542 -0,122 16 80,000100,00010,850 10,7260,124 17100,000100,00011,150 10,9090,241 18120,000100,00011,550 11,0930,457 19140,000100,00011,850 11,2770,573 20160,000100,00012,020 11,4610,559 21 20,000 80,00010,000 10,126 -0,126 22 40,000 80,00010,000 10,310 -0,310 23 60,000 80,00010,550 10,4940,056 24 80,000 80,00010,660 10,678 -0,018 25100,000 80,00010,000 10,862 -0,862 26120,000 80,00010,000 11,046 -1,046 27140,000 80,00010,000 11,230 -1,230 28160,000 80,00010,000 11,414 -1,414 29 20,000 60,00010,000 10,078 -0,078 30 40,000 60,00010,480 10,2620,218 31 60,000 60,00011,020 10,4460,574 32 80,000 60,00011,230 10,6300,600 33100,000 60,00012,520 10,8141,706 34120,000 60,00012,410 10,9981,412Yi (cotas di = Yi Ti Ti (cotasVrtices XY deldefinitivas) (corregido)terreno 216. inicial)35140,00060,00011,98011,182 0,79836160,00060,00011,05011,366-0,31637 20,00040,0009,740 10,031-0,29138 40,00040,00010,41010,215 0,19539 60,00040,00010,82010,399 0,42140 80,00040,00011,01010,583 0,42741100,00040,00011,21010,766 0,44442120,00040,00011,52010,950 0,57043140,00040,00011,27011,134 0,13644160,00040,00011,00011,318-0,31845 20,00020,00010,000 9,983 0,01746 40,00020,0009,850 10,167-0,31747 60,00020,00010,23010,351-0,12148 80,00020,00010,41010,535-0,12549100,00020,00010,68010,719-0,03950120,00020,000 9,95010,903-0,95351140,00020,000 9,88011,087-1,20752160,00020,00011,33011,271 0,05953 20,0000,000 10,150 9,935 0,21554 40,0000,000 10,06010,119-0,05955 60,0000,000 10,02010,303-0,28356 80,0000,000 10,63010,487 0,14357100,0000,000 10,85010,671 0,17958120,0000,000 11,00010,855 0,14559140,0000,000 11,02011,039-0,01960160,0000,000 11,06011,223-0,163TOTAL 641,900641,900 0,000, que nos ofrece, como siempre, una compensacin exacta y sencillaentre los volmenes de excavacin o desmonte y los de relleno oterrapln. En cualquier caso, para tener una medida objetiva del grado deexplanacin, en base a lo explicitado en el captulo 5 anterior,igualaremos a +10,00 m. la cota relativa media o centro de gravedad(centroide 71) de la parcela en estudio, cuyo valor resulta de dividir lasuma de las cotas iniciales del terreno natural por el nmero de vrtices(641,9/60 = 10698 m.), con lo que se tendr la siguiente tabla:71 Siempre que la densidad de un cuerpo tenga el mismo valor o isotropa en todos los puntos, la mismafigurar como factor constante de los numeradores y denominadores de las ecuaciones que determinan sucentro de gravedad o de masas, y por tanto desparecer de las mismas. Las expresiones aludidas definenentonces una propiedad del cuerpo puramente geomtrica, sin referencia alguna a sus propiedades fsicas;de este modo, cuando el clculo se refiera nicamente a una figura geomtrica se utilizar el trminocentroide. Si una figura geomtrica posee un centro de simetra, este punto es el centroide de la figura.Cuando se hable de un cuerpo fsico real, hablaremos de centro de masa. Si la densidad es la misma entodos los puntos, las posiciones del centroide y el centro de masa coinciden, mientras que si la densidadvara de unos puntos a otros, aquellos no coincidirn, en general. Los clculos relacionados con loscentroides caen dentro de tres categoras claramente definidas segn que la forma del cuerpo en cuestinpueda ser representada por una lnea, una superficie o un volumen. Obviamente, en el caso que aqu nosocupa, nos referiremos solamente a superficies del terreno a explanar. 217. Cotas Cotas relativas relativas diVrticesdi2di2/Ti iniciales definitivas (Yi - Ti)(Yi) (Ti) 1 9,3029,0540,248 0,062 0,007 2 8,9029,292 -0,390 0,152 0,016 311,442 10,9470,495 0,245 0,022 410,562 10,709 -0,147 0,022 0,002 5 9,2529,1010,151 0,023 0,002 6 9,2229,1490,073 0,005 0,001 7 9,1229,197 -0,075 0,006 0,001 8 9,0329,244 -0,212 0,045 0,005 910,562 10,756 -0,194 0,038 0,0041010,702 10,804 -0,102 0,010 0,0011110,932 10,8520,080 0,006 0,0011211,182 10,8990,283 0,080 0,00713 8,9229,476 -0,554 0,307 0,03214 9,1529,660 -0,508 0,258 0,02715 9,7229,844 -0,122 0,015 0,0021610,152 10,0280,124 0,015 0,0021710,452 10,2110,241 0,058 0,0061810,852 10,3950,457 0,209 0,0201911,152 10,5790,573 0,328 0,0312011,322 10,7630,559 0,312 0,02921 9,3029,428 -0,126 0,016 0,00222 9,3029,612 -0,310 0,096 0,01023 9,8529,7960,056 0,003 0,00024 9,9629,980 -0,018 0,000 0,00025 9,302 10,164 -0,862 0,743 0,07326 9,302 10,348 -1,046 1,093 0,10627 9,302 10,532 -1,230 1,512 0,14428 9,302 10,716 -1,414 1,998 0,18629 9,3029,380 -0,078 0,006 0,00130 9,7829,5640,218 0,047 0,0053110,3229,7480,574 0,329 0,0343210,5329,9320,600 0,360 0,0363311,822 10,1161,706 2,910 0,2883411,712 10,3001,412 1,994 0,1943511,282 10,4840,798 0,637 0,0613610,352 10,668 -0,316 0,100 0,00937 9,0429,333 -0,291 0,085 0,00938 9,7129,5170,195 0,038 0,0043910,1229,7010,421 0,178 0,0184010,3129,8850,427 0,183 0,0184110,512 10,0680,444 0,197 0,020 Cotas Cotas diVrtices relativas relativasdi2di2/Ti (Yi - Ti) iniciales definitivas 218. (Yi) (Ti) 4210,82210,252 0,570 0,3240,032 4310,57210,436 0,136 0,0180,002 4410,30210,620-0,318 0,1010,010 459,3029,285 0,017 0,0000,000 469,1529,469-0,317 0,1010,011 479,5329,653-0,121 0,0150,002 489,7129,837-0,125 0,0160,002 499,982 10,021-0,039 0,0020,000 509,252 10,205-0,953 0,9080,089 519,182 10,389-1,207 1,4560,140 5210,63210,573 0,059 0,0040,000 539,4529,237 0,215 0,0460,005 549,3629,421-0,059 0,0040,000 559,3229,605-0,283 0,0800,008 569,9329,789 0,143 0,0200,002 5710,152 9,973 0,179 0,0320,003 5810,30210,157 0,145 0,0210,002 5910,32210,341-0,019 0,0000,000 6010,36210,525-0,163 0,0270,003 600,000600,000 0,000 17,893 =17432Obsrvese que -en la tabla anterior- hemos definido, como siempre, la discrepancia di =Yi Ti como la diferencia existente entre las cotas del terreno natural o iniciales y lasdefinitivas que se deducen de la aplicacin de nuestro modelo de explanacin. Ello esas con el objetivo de adecuarnos a la terminologa utilizada para el clculo de chi-cuadrado que realizaremos a continuacin.El error estndar o tpico de la estima de esta regresin mltiple (triple) vendr dado porla expresin (vase el captulo 5) con m = 2 variables explicativas correspondientes a laabscisa y la ordenada de cada punto: N (Y T ) ii2 17,893Sxy = i =1== 056 m. Nm 1 60 2 1Para N 1 = 60 1 = 59 grados de libertad, se tiene un 20,5 = 34780, buscando en latabla de percentiles de la distribucin terica de probabilidad chi-cuadrado que figura enel anexo 3. Al ser: 2=1743 1344 puede considerarse desde luegoinaceptable el volumen de explanacin a realizar en la parcela que nos ocupa enbase al estadgrafo utilizado. Adems, en el caso de haber utilizado como centroideo cota relativa media de esta parcela el valor +10,00 m., los valorescorrespondientes de las cotas Ti que figuran en el denominador hubieran sidomenores, con lo que el cociente representado por la 2 tambin hubiera resultadomayor (aproximadamente el doble), o sea, de un valor prximo a 107.Por otra parte, el grado de explanacin determinado, como ya se ha visto, por elcoeficiente de contingencia C derivado de la distribucin de probabilidad chi-cuadrado (2), vendr dado por la expresin:2 5373 C== = 061 61% ,2 + N 5373 + 9siendo N = 9 el nmero de estacas o vrtices de nivelacin considerado.La suma de cuadrados debida a la influencia lineal de lasvariables explicativas es:^t X t Y = 1.1833428 275. lo que ofrece el anlisis de la varianza (ANOVA) de la tabla de la pginasiguiente:Tabla 11. Anlisis de la varianza (I).Fuente deSuma deGrados de Mediavariacin cuadradoslibertad X1 y X2 1.183342 59167 Residuo775561293 Total 1.260898El valor resultante de F es: F = 59167/1293 = 4576Con (2,6) grados de libertad, se tiene: F001 = 10925, o bien F005= 5140, o bien su valor intermedio: F0025 = 7260, lo que seconsigue consultando las tablas correspondientes del anexo 4, demodo que entre estas tres variables o coordenadas del problema existe una asociacin altamente significativa.El anlisis puede tambin realizarse por etapas y analizar lacontribucin separada de cada variable. En efecto, sea:b1 = coeficiente de X1 en la regresin simple de Y respecto a X1b2 = coeficiente de X2 en la regresin simple de Y respecto a X2Entonces, se cumplir que: b1 = yx 1 = 874 = 1344615x 2 1 650 b2 = yx 2 = 79= 0 121914x 2 2 648La suma explicada de cuadrados debida solamente a la variable X1 vienedada por: b1yx1 = (1344615)(874) = 1.17519y, complementariamente, la suma explicada de cuadrados debidasolamente a la variable X2 es: 276. b2yx2 = (-0121914)(-79) = 963De estas cantidades as obtenidas podemos conformar las siguientestablas:Tabla 12. Anlisis de la varianza (II). Fuente de Suma deGrados deMedia variacincuadradoslibertadX1 1.175191 1.17519Adicin de X28151 815 X1 y X2 1.183342Residuo 775561293Total1.260898Tabla 13. Anlisis de la varianza (III). Fuente de Suma deGrados deMedia variacincuadradoslibertadX2 9631 963Adicin de X11.173711 1.17371 X1 y X2 1.183342Residuo 775561293Total1.260898La suma total de cuadrados debida a X1 y a X2, segn la tabla 11, es1.18334. En la tabla 12 veamos que la suma de cuadrados de X1 es1.17519 y el efecto adicional debido a la inclusin de X2 lo hallamos pordiferencia entre ambos, que es 815. El efecto adicional de X2 se pruebaluego mediante la razn F, F = 815/1293 = 063con (1,6) grados de libertad, el cual resulta evidentemente nosignificativo. La significacin de slo X1, se puede probar calculando la suma de cuadrados de los residuos para X1, o sea, 1.26089 1.17519 = 8570 con 7 grados de libertad, lo que da una media de 1224. La razn F apropiada es, entonces: F = 1.17519/1224 = 9601 con (1,7) grados de libertad, la cual s que resulta altamente significativa. 277. Alternativamente, podemos construir la tabla 13, a continuacin de laanterior. El efecto directo de la variable X2 es evidentemente nosignificativo y, por el contrario, el efecto adicional de la variable X1 s esaltamente significativo.El efecto neto (adicional) de las variables del problema planteado X1 o X2podra, complementariamente, haberse probado tambin utilizando laexpresin: ^i it= nei =1 2 i /( n k ) a iique se distribuye como una t de Student (Gosset) con n-k grados delibertad, en que aii es el adecuado elemento diagonal de la matriz inversa ^(XtX)-1. Para 2 tenemos, en la hiptesis de cumplirse: 2 = 0, que: 136423279 t== 9 527512 93 0 00158568puesto que e2/(n-k) = 1293, conforme se indica en la tabla 11, y000158568 es el primer elemento y, en su consecuencia, el elementocorrespondiente a X1, en la diagonal principal de la matriz inversa (XtX)-1.Elevando al cuadrado la expresin anterior, tenemos que: t2 = 9077El efecto adicional de X1 de la tabla 13 viene dado justamente por:F = 1.17371/1293 = 9077 y las pruebas son, pues, exactamente equivalentes.Ahora, calculamos un intervalo de confianza del 95 por ciento para 2 delsiguiente modo, teniendo en cuenta que un intervalo de confianza de un100(1-e) por ciento para 2 viene dado por la expresin: i t/2 e2 ia ii nkesto es: 278. 13642328 24469 1293 000158568 es decir:2 (10143,,17141) Como una alternativa de lo anteriormente expuesto, veamos queel proceso de clculo que nos ocupa se puede iniciar partiendo delorigen cero y escribiendo la matriz simtrica XtX como sigue: 91 .017954 1 .017 115 .571 107 .690 X X=t 954 107 .690 101 .772 La desventaja de este nuevo enfoque, por lo menos cuando setrabaja con sencillas calculadoras de bolsillo, es que la primera fila y la primera columna de la matriz anterior contienen, por logeneral, elementos mucho ms pequeos que el resto de la matriz,por lo que resulta difcil retener suficiente nmero de cifras significativas en todos los elementos en los clculos sucesivos arealizar. Por supuesto, el empleo de una hoja de clculo adecuadapor ordenador puede resolver eficazmente el problema planteado.5. EJEMPLO 4Sea una parcela o porcin de terreno, en la cual se han tomado lascoordenadas relativas de los 12 puntos que se expresan en la tabla siguiente y en la que, para mayor simplificacin del clculo, sehan obviado las cifras decimales de las coordenadas ajustndolas a las enteras, as: Tabla 14. Coordenadas de los vrtices de la parcela (III). COORDENADAS RELATIVASVRTICESX = X1 (m.) Y = X2 (m.) Z = Y (m.)1 57 8642 5910713 49 6534 6211675 51 8556 50 758 279. 755 1077 848957 952 1056 10 42651 11 61 1276 12 57968A continuacin, puede verse el plano altimtrico correspondiente enplanta sensiblemente alargada, con sus curvas de nivel dibujadas a unaequidistancia vertical de 100 m.: 280. Fig. 5. Planta curvada de la parcela (III).a) Estmese la ecuacin de regresin lineal mltiple que determina las cotas del plano ptimo definitivo de ajuste por el mtodo tradicional de los mnimos cuadrados.SOLUCIN.Puesto que n = 12 vrtices o estacas, formaremos la siguiente tablaauxiliar de clculo: 281. Tabla 15. Tabla auxiliar de clculo (IV). YX1 EstacaYX1X2Y2 X12X22 Y X1X2X21 64578 4.0963.24964 3.648 512 4562 7159105.041 3.4811004.189710 5903 53496 2.8093.40136 2.597 318 2944 6762114.489 3.8441214.154737 6825 55518 3.0252.60164 2.805 440 4086 58507 3.3642.50049 2.900 406 3507 7755105.920 3.0251004.235770 5508 57489 3.2492.30481 2.736 513 4329 5652103.136 2.7041002.912560 5201051426 2.6011.764362.142306 25211766112 5.7763.721144 4.636 912 7321268579 4.6243.249813.876612 513TOTAL753 643 106 48.139 34.843 976 40.830 6.796 5.779Las ecuaciones normales sern: Y = b123 n + b123 X1 + b132 X2 Y X1 = b123 X1 + b123 X12 + b132 X1X2 Y X2 = b123 X2 + b123 X1X2 + b132 X22 que, substituyendo los valores obtenidos en la tabla anterior resulta el sistema: 753 = b123 12 + b123 643 + b132 106 40.830 = b123 643 + b123 34.843 + b132 5.779 6.796 = b123 106 + b123 5.779 + b132 976 Resolviendo el anterior sistema de ecuaciones por aplicacin de la conocida Regla de Cramer se obtienen los siguientes coeficientes de regresin lineal: b123 = 3,6512 ; b123 = 0,8546 ; b132 = 1,5063 ; con lo que la ecuacin de regresin pedida del plano de nivelacin adoptar la configuracin analtica siguiente: Y = 3,6512 + 0,8546 X1 + 1,5063 X2 con lo que se da cumplida respuesta a la cuestin planteada. 282. b) Estmese la misma ecuacin de regresin lineal mltiple del plano ptimo denivelacin por aplicacin del mtodo presentado en este libro, as como elcorrespondiente grado de explanacin.SOLUCIN.Si ahora, a efectos puramente comparativos, aplicamos el mtodo de clculo establecido por nosotros a partir de la expresada hojaExcel con Solver, que venimos desarrollando en el presente libromediante numerosos ejemplos, se tendr la siguiente ecuacin de las cotas definitivas (Z = Ti): Y = 36540 + 08545 X1 + 15066 X2que resulta ms ajustada que la determinacin anterior, sin duda conmayor simplicidad de clculo, y que ofrece la siguiente tabla dediscrepancias o correcciones de las cotas taquimtricas inicialmentelevantadas:Tabla 16. Cotas definitivas y correcciones (V). EstacaX1X2Y Tidi = Yi - Ti 157 864 64,413-0,413 2591071 69,136 +1,864 349 653 54,564-1,564 4621167 73,206-6,206 551 855 59,286-4,286 650 758 56,925 +1,075 7551077 65,718 +11,283 848 957 58,229-1,229 9521056 63,154-7,154 10 42 651 48,583 +2,417 11 611276 73,858 +2,142 12 57 968 65,920 +2,080 TOTAL643 106 753 753,0000,000Para tener una medida objetiva del grado de explanacin, en base a lo explicitadoen el captulo 5 anterior, igualaremos a +20,00 m. la cota relativa media o centrode gravedad (centroide) de la parcela en estudio, cuyo valor resulta de dividir lasuma de las cotas iniciales del terreno natural por el nmero de vrtices (753/12 =6275 m.), con lo que se tendr la siguiente tabla: 283. Cotas Cotas relativas relativasdiVrticesdi2di2/Ti iniciales definitivas (Yi - Ti)(Yi) (Ti) 1 21,25 21,663 -0,413 0,171 0,008 2 28,25 26,386 1,8643,476 0,132 3 10,25 11,814 -1,564 2,446 0,207 4 24,25 30,456 -6,206 38,5091,264 5 12,25 16,536 -4,286 18,3721,111 6 15,25 14,175 1,0751,155 0,081 7 34,25 22,96811,283 127,2955,542 8 14,25 15,479 -1,229 1,511 0,098 9 13,25 20,404 -7,154 51,1802,508108,255,833 2,4175,844 1,00211 33,25 31,108 2,1424,589 0,14812 25,25 23,170 2,0804,327 0,187 240,00240,0000,000 258,877 =12,288 2Obsrvese que en la tabla anterior hemos definido el di = Yi Ti como diferenciaexistente entre las cotas del terreno natural o iniciales y las definitivas que sededucen de la aplicacin de nuestro modelo de explanacin. Ello es as con elobjetivo de adecuarnos a la terminologa utilizada para el clculo de chi-cuadradoque realizaremos a continuacin.El error estndar o tpico de la estima de esta regresin mltiple (triple) vendrdado por la expresin (vase el captulo 5) con m = 2 variables explicativascorrespondientes a la abscisa y la ordenada de cada punto: N (Y T )i i2258,877 Sxy = i =1== 536 m.Nm 112 2 1Para N 1 = 12 1 = 11 grados de libertad, se tiene un 20,5 = 2603, buscando en latabla de percentiles de la distribucin terica de probabilidad chi-cuadrado quefigura en el anexo 3. Al ser: 2=12288 > 2603 puede considerarse desde luegoinaceptable el volumen de explanacin a realizar en la parcela que nos ocupa enbase al estadgrafo utilizado, al igual que suceda con la parcela del ejemploanteriormente desarrollado. De haber empleado una cota media relativa ocentroide de +1000 m., el valor resultante del estadgrafo 2 seraaproximadamente el doble, o sea, 245.Por otra parte, el grado de explanacin determinado, como ya se ha visto, por elcoeficiente de contingencia C derivado de la distribucin de probabilidad chi-cuadrado (2), vendr dado por la expresin: 2 12288C== = 071 71% , +N212288 + 12 284. siendo N = 12 el nmero de estacas o vrtices de nivelacin considerado.Comparando los valores obtenidos de 2, Sxy y C para esta parcela y ladel ejemplo anterior, se observa que en este segundo caso laexplanacin a efectuar resultar todava mayor y por tanto muydesfavorable, exigiendo un mayor movimiento de tierras, tanto dedesmonte como de terrapln, con el incremento de costecorrespondiente. c) Calcular las desviaciones tpicas o standard de las trescoordenadas del problema.SOLUCIN. 2 12 12 Y Y248.139 753 2s1 =i =1 i=1 = = 86035 m. (cota taquimtrica)n n 12 12 212 12 X X1 2 134.843 643 2 s2 = i=1 i=1 = = 56930 m. (abscisa) n n 12 12 212 12 X X2 2 2 976 106 2 s3 = i =1 i=1 = = 18181 m. (ordenada)n n12 12 d) Calcular el coeficiente de correlacin mltiple de Y (cota)sobre las restantes coordenadas X1 (abscisa) y X2 (ordenada),as como los restantes coeficientes de correlacin mltipleentre las otras variables y sus correspondientes coeficientesde determinacin o crticos.SOLUCIN. 1/ 2 1/ 2 ( 64 64413 ) 2 + ... + (68 65920 ) 2 / 12 2162 R 123 = 1 = 1 = 08418 (64 62749 ) + ... + ( 68 62749 ) / 12 2 2 7396 285. Este coeficiente, cuyo valor oscila entre 0 y 1, resulta bastante elevadoen nuestro caso e indica la existencia de una correlacin grande entre lastres coordenadas del problema planteado, hecho que intuitivamentepodramos haber adelantado. Cuanto ms prximo estuviera de 0 larelacin lineal sera peor (lo que nos inducira a buscar otros ajustes nolineales como los relacionados en otros apartados de este mismo libro) ycuanto ms prximo a 1 sera mejor (si dicho coeficiente alcanza el valor1 dcese, en tal caso, que la correlacin es perfecta).Ntese tambin que dicho coeficiente de correlacin mltiple es mayorque cualquiera de los coeficientes de correlacin lineal r12 y r13. Estoocurre siempre y es un hecho que caba esperar, puesto que se tienenen cuenta variables independientes adicionales adecuadas, llegndose auna relacin mejor entre las variables o coordenadas del problema.Su valor tambin puede determinarse teniendo en cuenta que:Variacin no explicada = (64 64413)2 + ... + (68 65920)2 = 25888 m2Variacin total = 48.139 12 x 627492 = 88976 m2 (25888 + 63088)Variacin explicada = 88976 25888 = 63088 m2 De aqu se deduce que:R123 = 63088 / 88976 08418, c.s.q.d.A partir del conocimiento de los coeficientes de correlacin lineal entrelas variables o coordenadas, tomadas dos a dos, tambin se puedecalcular dicho coeficiente de correlacin mltiple aplicando la siguientefrmula:r12 + r13 2r12 r13 r232 2R123 ==1 r23 2 (08196 ) 2 + (07698 ) 2 2(08196 )(07698 )(07984 ) == 08418 1 (07984 ) 2cuyo valor, como puede observarse, coincide exactamente con elanteriormente calculado por cualquiera de las formulaciones anteriores.Su coeficiente de determinacin mltiple de Y sobre X1 y X2 es: R2123 = 084182 = 07086 286. lo que significa que casi el 71% de la variacin total de la cota taquimtrica se explica por medio de la ecuacin de regresin hallada.Del mismo modo, se calcularn los restantes coeficientes de correlaciny de determinacin mltiple, esto es:r12 + r23 2r12 r13 r2322R 213 = =1 r132 (08196 ) 2 + (07984 ) 2 2(08196 )(07698 )(07984 ) == 08606 1 (07698 ) 2R2213 = 086062 = 07406 r12 + r23 2r12 r13 r23 22R 312 == 1 r12 2 (07698 ) 2 + (07984 ) 2 2(08196 )(07698 )(07984 ) == 08234 1 (08196 ) 2R2312 = 082342 = 06780Los resultados anteriores ponen de manifiesto el hecho de que, engeneral, dichos coeficientes mltiples no tienen por qu sernecesariamente iguales, cuestin sta que puede demostrarsetericamente. e) Calcular los tres coeficientes de correlacin parciales lineales.SOLUCIN. r12 r13 r23 r123 = (1) [(1 r213 )(1 r23 ) 2 ]1/ 2Siendo r12, r13 y r23 los coeficientes de correlacin lineal entre las variables. Veamos que se calculan mediante las frmulas:n YX1 Y X1 r12 = (2) [(n Y ( Y ) 2)(n X1 ( X1 ) 2 ] 1/ 2Substituyendo valores tenemos: 287. 12( 40830 ) 753643 r12 == 08196 [(1248139 (753 ) 2)(1234.843 ( 643 ) 2 ] 1/ 2Anlogamente se hallan r13, poniendo en la frmula (2) X2 en lugar de X1,y nos da un valor de 07698 y r23 poniendo en la frmula (2) en lugar deY, X2. Y tenemos un valor de r23 = 07984.Con estos tres valores entramos en la frmula (1) y tenemos elcoeficiente de correlacin parcial entre Y y X1, considerando X2 constantey es r123 = 05334. Del mismo modo calculamos los restantescoeficientes, a saber: r132 = 03346 y r231 = 04580.Disponiendo los coeficientes de correlacin ajustados hasta las centsimas en una tabla comparativa veremos lo siguiente:r12 = 082 ..... r123 = 053r13 = 077 ..... r132 = 033r23 = 080 ..... r231 = 046Observamos que en los tres casos, al obligar a que una variable seaconstante la correlacin entre las otras dos coordenadas disminuyeostensiblemente. f) Calcular el error tpico de la estima o standard.SOLUCIN.De la tabla anterior se tiene que: 12 d2 i ( 0413 ) 2 + 1864 2 + ... + 208 2 s123 = i =1 = = 46447 m.n 12El error tpico de la estima de la poblacin de puntos del terreno queahora nos ocupa, que posee propiedades anlogas a las de la desviacintpica o standard, viene calculado, como ya hemos visto, por laexpresin: s123 = n /(n 3)s123 = 536 m. A similar resultado, sin duda alguna, se habra llegado de haber aplicado,para la resolucin del problema planteado, la siguiente frmulaalternativa: 288. 1 r12 r13 r23 + 2r12 r13 r23 2 22 s123 = s1 = 1 r23 2 1 08196 2 07698 2 07984 2 + 2(08196 )(07698 )(07984 )= 86035 =1 07984 2= 46447 m., c.s.q.d.al que habra que aplicar la correccin correspondiente para obtener elpretendido s123 . En cualquier caso, el valor obtenido con estasformulaciones es el mismo que el deducido en el apartado anterior b),como no poda ser de otra manera.6. EJEMPLO 5En la prctica de la explanacin de terrenos, con independencia de labsqueda del plano ptimo de nivelacin, suele aparecer con frecuenciala condicin de que el plano buscado pase precisamente por un puntopreviamente determinado a efectos constructivos, urbansticos oestticos. Pues bien, para la resolucin de este tipo de problemas, o deotros parecidos, puede resultar interesante la consideracin del presenteejemplo.Por el punto de coordenadas (x0, y0, z0) se quiere trazar un plano queforme con los planos coordenados un tetraedro de volumen mnimo.Hallar la ecuacin de dicho plano.SOLUCIN.La ecuacin del plano pedido se puede escribir del siguiente modo: X Y Z + + = 1 a b cque, como debe ser incidente con (x0, y0, z0), deber cumplir la condicin:x0y z + 0 + 0 = 1ab cConsidrese que el volumen pedido es:11 1V= ab c = abc32 6 289. donde a, b, c son las variables que se obtienen aplicando elmtodo de los operadores o multiplicadores de Lagrange.Formemos, pues, la funcin de Lagrange que debemos minimizarcon condiciones, a saber:1x y z L(a, b, c ) = abc + 0 + 0 + 0 16 a b ccon lo que (condicin necesaria o de primer grado):1 x 1 y 1 z L a = bc 20 = 0 ; L b = ac 20 ; L c = ab 206 a6 b6 cde donde se obtiene: x0 abcy0 abcz0 abc= ; = ; = a 6b 6c 6 o sea: x0y z= 0 = 0 ab cy comox0y z + 0 + 0 =1ab cse tienex0y z1 = 0 = 0 =ab c 3de donde se obtiene a = 3x0,b = 3y0,c = 3z0y, por tanto, la ecuacin pedida del plano ser:XYZ ++ =1 3x 0 3y 0 3z 0 290. La condicin suficiente o de 2 grado implica la formacin deldeterminante funcional hessiano orlado relevante que nos confirma quese trata, efectivamente, de un mnimo. Esta comprobacin laproponemos como interesante ejercicio recapitulatorio a nuestrosamables lectores.Del mismo modo, se deduce que el valor del operador de Lagrange es: 2 a 2 bc (9 x 0 )3 y 0 3 z 0 81x 0 y 0 z 0 27 x 0 y 0 z 0= = = = 6x 0 6x 062Y el volumen pedido ser: 1 27 x 0 y 0 z 0 9 x 0 y 0 z 0 3V= abc = = m 662y entonces:V=3Si ahora aplicamos los conceptos tericos anteriormente expresados alejemplo de la parcela real del captulo anterior, se desea, v. gr., que elplano de nivelacin (o de relleno) en cuestin pase por el punto 1 decoordenadas:(108 = x0, 52 = y0, 2241 = z0)Dicho plano ser el siguiente:XYZ ++ =1 3 108 3 52 3 2241 324 1566723 X + 2077Y + 48193Z = 324 ; o sea:X + 2077Y + 48193Z 324 = 0 Los puntos de corte de este plano con los tres ejes coordenadossern: - Corte con el eje Z: 291. Cuando X=0324 Y=0Z= = 6 723 m. 48 193Al respecto, puede verse la figura tridimensional de la pginasiguiente: 292. Fig. 6. Tetraedro de volumen mnimo. 293. - Corte con el eje X:CuandoY=0X = 324 m. Z=0- Corte con el eje Y:CuandoX=0324 Z=0 Y== 156 m. 2077En este caso, el tetraedro completo de relleno tendr un volumenmnimo de: 9x 0 y 0 z 0 9 108 52 2241V== = 56.63455 m 3 , 22aunque en el dibujo de la figura anterior se ha considerado nicamente aquella parte del mismo que se proyectaortogonalmente sobre la parcela o terreno en estudio. Veamos ahora las coordenadas cartesianas rectangulares de losvrtices del cuadriltero determinado por la malla o red construida sobre la parcela objeto de nuestro estudio. En efecto: Punto 11324 m. 6723 m.108 m. x ; x = 2241 ; 6723 2241 = 4482 m. (108,0,4482)Punto 5156 m. 6723 m.52 m. x ; x = 2241 ; 6723 2241 = 4482 m. 294. (0,52,4482)Punto 1 (108,52,2241)Punto 15 (0,0,6723)4482 2 + 2241 + 6723 Cota media de la malla o red:= 4482 m.4que se corresponde exactamente con la cota taquimtrica del centro de gravedad o de masas del terreno en estudio (punto ovrtice 8). En efecto, en dicho punto, con X = 54 m. e Y = 26 m.,se tiene que:324 X 2077Y 324 54 207726 Z== = 4482 m. , c.s.q.d. 48193 48193De este modo, la porcin del anterior tetraedro comprendida bajo la parcela de terreno que nos ocupa, ocupar un volumen de:V = 108 52 4482 = 25.17091 m3 , que supone un:V 25 .170 91 100 = 100 = 44 44 %V56 .634 55del volumen total del tetraedro mnimo. Pendientes del bancal:Las pendientes transversal y longitudinal del plano definitivo de nivelacin de laparcela que nos ocupa, en el caso del tetraedro de volumen mnimo, vendrn dadasrespectivamente por: Pt = (2241/52) 100 = 4310% Pl = (2241/108) 100 = 2075%Del vrtice 1 al 15 existe un desnivel de Z = 4482 metros por unadistancia rectilnea diagonal de: 295. D115 = 108 2 + 52 2 120 m. ,con lo que dicha lnea tendr una pendiente de: (4482/120)100 =3735%.De este modo, las lneas de mxima pendiente de esta parcela, una veznivelada, sern:Pm = 4312 + 2075 2 = 4783% (mxima pendiente)y pueden verse dibujadas en el grfico siguiente:Fig. 7. Lneas de nivel y mxima pendiente de la parcela nivelada (tetraedro de volumen mnimo).Por cierto que uno de los debates ms tradicionales, por lo que se refiereclculo de la pendiente de un terreno, es si a la hora de medir 1 m. escorrecto hacerlo sobre el terreno realmente recorrido, o si se debe tomar1 m. de avance sobre la horizontal del terreno, o sea, sobre la proyeccinortogonal del terreno sobre un mapa.Tomando el mtodo ms purista y exacto, segn los topgrafos ygegrafos, se debe tomar el metro recorrido sobre la horizontal, esto es,la base del tringulo que forman la distancia recorrida por el operador(que sera la hipotenusa), la altitud ascendida (que sera el cateto 296. opuesto) y la distancia sobre el mapa (que sera el cateto contiguo). Lapendiente es la relacin que existe entre el desnivel que debemossuperar y la distancia en horizontal que debemos recorrer, lo queequivale a la tangente del ngulo que forma la lnea a medir con el ejeOX, que sera el plano. La distancia horizontal se mide en el mapa. Lapendiente se expresa en tantos por ciento, o bien en gradossexagesimales.Para calcular una pendiente en tantos por ciento basta con resolver lasiguiente regla de tres: Distancia en horizontal es a 100 como distanciaen vertical es a X, o sea:Distancia en vertical 100/Distancia en horizontal = Pendiente (%)Para calcular la pendiente expresada en grados basta entonces conresolver el tringulo rectngulo con los dos catetos conocidos. Esto es:Tangente A = Altura/DistanciaUn ngulo de 45 implica una pendiente del 100%, ya que cada 100metros en horizontal se recorren 100 metros en altura. Cuando medimosuna distancia en el mapa lo hacemos sobre una superficie plana. La quemedimos en el mapa se llama distancia planimtrica o reducida, que noes otra cosa que la proyeccin ortogonal en el mapa de la distancia real.La distancia planimtrica coincide con la real slo si en la realidad hayuna llanura, pero si hay una pendiente la diferencia entre la distancia realy la planimtrica puede ser notable.Para calcular la distancia real debemos hallar el valor de la hipotenusa deun tringulo rectngulo. El valor de un cateto es la distancia en metrosentre dos puntos; el valor del otro cateto es el valor en metros de ladiferencia en altitud entre los dos puntos del terreno. La distancia real onatural es pues: r2 = h2 + a2 ; r = h2 + a 2Donde:r = distancia real o natural.h = distancia horizontal o reducida en la realidad entre los dos puntos.a = diferencia de altura o desnivel en la realidad entre los dos puntos.Para medir la distancia existente entre dos puntos del mapa en lnearecta basta con usar una regla, un escalmetro o bien nos la proporcionadirectamente el CAD u otras aplicaciones usuales. Pero en un plano realpocos trazados son rectos. Para medir manualmente trazados sinuososentre dos puntos se pueden usar dos mtodos diferentes: uno 297. rudimentario, que consiste en colocar un hilo sobre el recorrido y luegomedir la longitud del hilo; el otro es usando un instrumento creadoespecialmente para esto, llamado curvmetro.Lo mismo que ocurre con las distancias, una superficie cualquiera delterreno, al venir representada por su proyeccin ortogonal ser engeneral, salvo en el caso de tratarse de un superficie perfectamenteplana y horizontal, de mayor extensin que la expresada en el planocorrespondiente. A esta ltima se la conoce como superficie agraria y esla nica que hemos de considerar a estos efectos. CAPTULO 8TUTORIAL1. AJUSTE LINEAL1.1. Consideraciones previasAqu se muestra un ejemplo de como utilizar paso a paso el Solver delMicrosoft Excel para encontrar la funcin lineal que mejor se ajusta auna serie de datos con dos variables independientes (esto es, lallamada regresin mltiple que, en nuestro caso, es triple). Ha sidoextrado del anterior captulo 6 de este mismo libro, a partir de unapublicacin del antiguo Instituto Nacional de Colonizacin (INC), citadaen la bibliografa. El ejemplo debe servir, a mayor abundamiento, paraque se infiera como realizar un procedimiento anlogo si ya no es unarelacin lineal sino que es polinmica, potencial, logartmica,exponencial, etc.Supongamos que tenemos las siguientes mediciones de las coordenadasde diversos puntos de la malla o red de un terreno a nivelar o explanar(en este caso del centro de la cuadrcula), obtenidas con el instrumentocorrespondiente (taqumetro, nivel, estacin total, GPS, ...):Tabla 1. Coordenadas de los vrtices de la parcela.Vrtices X1X2Yi 1 162,5112,5 23,04 2 137,5112,5 25,02 3 112,5112,5 26,22 487,5112,5 22,80 298. 562,5 112,525,27 637,5 112,525,51 712,5 112,522,91 8 162,587,524,61 9 137,587,526,9010 112,587,526,551187,587,521,611262,587,523,941337,587,523,201412,587,522,0415 162,562,530,2216 137,562,529,1217 112,562,526,80Vrtices X1X2Yi1887,562,522,221962,562,524,812037,562,524,022112,562,522,8022 162,537,531,6323 137,537,528,6024 112,537,524,932587,537,523,502662,537,525,702737,537,524,662812,537,522,5929 162,512,529,1030 137,512,525,1131 112,512,523,503287,512,525,133362,512,524,663437,512,523,813512,512,522,22, donde a los efectos de los trabajos topogrficos, dichas variables secorresponden con las tres coordenadas: X1 = X, X2 = Y, Y = Z, quepueden ser absolutas UTM o bien relativas al objeto de simplificar losclculos subsiguientes. 299. Fig. 1. Planta de la cuadrcula.La funcin a la que se desea ajustar, si se trata de un plano denivelacin, es del tipo: Y = a +bX1 + cX2, pero podra ser tambin decualquier otro tipo (superficie alabeada, cudrica, logartmica,exponencial, potencial, etc.). Cabe, entonces, hacerse la siguientepregunta: cmo se sabe a qu tipo de funcin matemtica se debeajustar por el mtodo de los mnimos cuadrados?. Una forma dehacerse una idea de ello es graficar cada variable independiente con lavariable dependiente (cada X con la Y), y segn la forma que expresecada grfica se puede inferir la forma de la funcin. Nuestro problema sereduce entonces a encontrar los valores de a, b y c de tal manera que seminimice el error o coste que, en nuestro caso, representa el monto delvolumen del movimiento de tierras a efectuar (desmonte y terraplenado),y ello lo podemos expresar como: Error = di2 = Sumatoria (Y-Yi)2. Elcuadrado es para que el error d siempre positivo, e Y es el valorcalculado final (el que resulta de efectuar la operacin: a + bX1 + cX2) eYi es la medicin i-sima que expresa las diferentes cotas taquimtricasde los puntos de la malla o red planteada sobre el terreno a explanar.1.2. Aplicacin de la hoja de clculo Excel con SolverPrimeramente, hagamos el formato tal como se ve en la figura siguiente: 300. Las celdas A2, B2, C2 se correspondern con los valores buscados de a,b y c. El meollo del asunto estriba en escribir una frmula en la columnaD que est en funcin de A2, B2, C2 y de cada valor que vayan tomandolas variables o coordenadas X1 y X2 que se encuentran en la columna A yB despus de la fila 5.Si se tuviera otra funcin cualquiera de las muchas contempladas en lateora del presente libro, los parmetros adicionales se escribiran a laderecha de la C y la frmula de la columna D (o la columnacorrespondiente) cambiara segn la funcin pero lo dems seraexactamente igual.La frmula de Y ser: D5 = $A$2 + $B$2*A5 + $C$2*B5siendo: 301. a = $A$2 b = $B$2 X1 = A5 c = $C$2 X2 = B5Ntese que para los valores a, b, y c se us la doble expresin $$ paradenotar que la referencia no cambiar para ninguna celda donde secopie y pegue la frmula en cuestin; en cambio para X1 y X2 no ha sidoas.La frmula se debe copiar y pegar (o arrastrar) a las celdas D6, D7 y D8.Para la columna E la frmula es la diferencia existente entre Y e Yi, osea: E5 = C5 - D5, y se copia y pega (o se arrastra) para las dems haciaabajo. En la columna F, la frmula ser la columna E al cuadrado, estoes: F5 = E5^2.En la celda F9 se dejar el cuadrado de la suma de los errores odiscrepancias entre los valores de las cotas iniciales del terreno natural ylas resultantes del proceso de clculo que aqu se presenta, y esa serprecisamente la celda cuyo valor nos interesa que alcance un valormnimo.La pinta resultante debe ser estructurada como la que se presenta acontinuacin: 302. Luego, una vez obtenida la tabla anterior, se debe invocar el Solver delExcel haciendo click en Herramientas y luego en Solver (si noaparece habr que buscarlo en la opcin de complementos del mismomen), y le indicaremos que deseamos minimizar el valor de la celda F9cambiando el valor de las celdas A2, B2 y C2, tal como se ve en lasiguiente figura: 303. Entonces hacemos click en resolver y se tendr la siguiente pantalla:As pues, se obtienen los siguientes coeficientes en la ecuacin del planodefinitivo del bancal (ajustando a tres decimales, o sea, con precisinmilimtrica): A = 2292471 B = 00311 C = -001045De esta suerte, la expresin general del plano resultante ser: 00311X - 001045Y Z + 2292471 = 0con lo que para hallar las cotas taquimtricas definitivas de los 35vrtices despejaremos: Z = 2292471 + 003110X - 001045YA resultas de lo anterior, obtendremos dichas cotas definitivas en la siguiente tabla querealizaremos tambin con el excel siguiendo estos pasos. 304. Primero suprimiremos las columnas E y F que nos servan para hacer el clculo anteriory que ahora ya no resultan necesarias. A continuacin, se designa la columna E para elclculo de las cotas definitivas Z mediante la frmula: E5 = 22,92471+0,0311*A5-0,01045*B5.Arrastramos la frmula para toda la columna y reducimos las cifras decimales a tres.Debemos, entonces, obtener inmediatamente la siguiente pantalla:El siguiente paso consiste en obtener la correccin en altura a efectuar para conseguirlas cotas definitivas del terreno en cada estaca o vrtice, para lo que restaremos de lacolumna obtenida las cotas del terreno inicial, designando la columna F (corregido) dela siguiente forma:F5 = E5-C5. 305. Nos queda, entonces, la siguiente pantalla:Como consecuencia de los valores as obtenidos de las cotas corregidas, podemoselaborar la siguiente tabla pegando las diversas columnas al texto en Microsoft Word: Tabla 2. Cotas definitivas y correcciones. Cotas delPuntosCotasCorregido Vrtices terrenotericos del definitivas di inicialplano (X,Y)Z1 23,04(1625,1125)26,803 +3,763 306. 2 25,02(1375,1125)26,025+1,005 3 26,22(1125,1125)25,248-0,972 4 22,80 (875,1125)24,470+1,670 5 25,27 (625,1125)23,693-1,577 6 25,51 (375,1125)22,915-2,595 7 22,91 (125,1125)22,138-0,772 8 24,61 (1625,875)27,064+2,454 9 26,90 (1375,875)26,287-0,613 1026,55 (1125,875)25,509-1,041 1121,61(875,875)24,732+3,122 1223,94(625,875)23,954+0,014 1323,20(375,875)23,177-0,023 1422,04(125,875)22,399+0,359 1530,22 (1625,625)27,325-2,895 1629,12 (1375,625)26,548-2,572 1726,80 (1125,625)25,770-1,030 1822,22(875,625)24,993+2,773 1924,81(625,625)24,215-0,595 2024,02(375,625)23,438-0,582 2122,80(125,625)22,660-0,140 2231,63 (1625,375)27,587-4,043 2328,60 (1375,375)26,809-1,791 2424,93 (1125,375)26,032+1,102 2523,50(875,375)25,254+1,754 2625,70(625,375)24,477-1,223 2724,66(375,375)23,699-0,961 2822,59(125,375)22,922+0,332 2929,10 (1625,125)27,848-1,252 3025,11 (1375,125)27,070+1,960 3123,50 (1125,125)26,293+2,793 3225,13(875,125)25,515+0,385 3324,66(625,125)24,738+0,078 3423,81(375,125)23,960+0,150 3522,22(125,125)23,183+0,963Tambin como consecuencia de las correcciones que se expresan en elcuadro anterior, resultar el siguiente movimiento de tierras en trminosvolumtricos que deducimos tambin de la hoja de clculo multiplicandola superficie de cada subparcela (25 x 25 = 625 m2) por la correccin enaltura o cota correspondiente (el signo + implica terrapln y el implica desmonte), notndose que esta estimacin resulta ser slo unaaproximacin, teniendo en cuenta las superficies de las subparcelastributarias o anexas de cada vrtice o estaca:Tabla 3. Movimiento de tierras resultante. Superficie Correccin VolumenVrtices (m2)(m) (m3) 307. 1 625+3,7632.351,875 2 625+1,005628,125 3 625-0,972-607,5 4 625+1,670 1.043,75 5 625-1,577 -985,625 6 625-2,595 -1.621,875 7 625-0,772-482,5 8 625+2,454 1.533,75 9 625-0,613 -383,12510 625-1,041 -650,62511 625+3,122 1.951,2512 625+0,0148,7513 625-0,023 -14,37514 625+0,359224,37515 625-2,895 -1.809,37516 625-2,572-1.607,517 625-1,030 -643,7518 625+2,7731.733,12519 625-0,595 -371,87520 625-0,582 -363,7521 625-0,140 -87,522 625-4,043 -2.526,87523 625-1,791 -1.119,37524 625+1,102688,7525 625+1,754 1.096,2526 625-1,223 -764,37527 625-0,961 -600,62528 625+0,332 207,529 625-1,252-782,530 625+1,960 1.22531 625+2,7931.745,62532 625+0,385240,62533 625+0,078 48,7534 625+0,150 93,7535 625+0,963601,87521.875 TOTAL0000 0,000 (625x35), por lo que la compensacin de tierras resulta absolutamente ajustada ymatemticamente perfecta, no obtenindose volmenes ni de tierras sobrantes ni detierras a aportar a la parcela, salvando la consideracin de los pertinentes coeficientes deesponjamiento y/o compactacin posterior que haya que aplicar en su caso. Este clculo,que se deduce del cuadro anterior, puede ser contrastado con la cuantificacincorrespondiente mediante el estudio de los perfiles transversales y longitudinales de laparcela en estudio, determinados por la malla o red de vrtices que nos ocupa. Para 308. tener una medida del grado de explanacin, igualaremos a +10,00 m. la cota relativamedia o centro de gravedad de la parcela en estudio, cuyo valor resulta de dividir lasuma de las cotas iniciales del terreno natural por el nmero de vrtices (87475 m./35 =24993 m.), por lo que tendremos que restar: 24993 10000 = 14993 m. de cada unade las cotas iniciales y definitivas. Si se desea complementariamente calcular el gradode explanacin determinado, como ya se ha visto, por el coeficiente de contingenciaderivado de la distribucin de probabilidad chi-cuadrado (2), debemos ampliar la tablaanterior con dos nuevas columnas del siguiente modo:Para confeccionar esta tabla debemos comenzar colocando en la primeracolumna los vrtices, en la segunda la Z (cotas iniciales) y en la terceracolumna colocaremos la Y (cotas definitivas). En la cuarta columna(cotas relativas iniciales) lo que hacemos es restarle 14,993 a la columnaZ de la siguiente manera: D2 = B2 14,993. Arrastramos la frmula paratoda la columna y sumamos. En la quinta columna (cotas relativasdefinitivas) el proceso seguido es el mismo que en la cuarta pero la restase la debemos hacer a la columna Y. As: E2 = C2 14,993.Arrastramos, sumamos y comprobamos que la suma final nos da igualque la columna anterior. 309. En la columna siguiente di calculamos la diferencia entre las doscolumnas anteriores de la siguiente forma: F2 = E2 D2. La suma finalnos debe dar 0 por las razones tericas ya expresadas. La columnasiguiente di2 es simplemente el cuadrado de la anterior, as: G2 = F2^2.Por ltimo, en la ltima columna di2/rel.def. vamos a realizar una divisin.Para ello aplicamos la siguiente frmula: H2 = G2/E2. Arrastramos dichafrmula para toda la columna y sumamos. El resultado de esta suma, sihemos realizado todos los pasos correctamente, ofrece la medidabuscada del grado de explanacin dada por la 2 y, posteriormente, porel coeficiente de contingencia C.Si ahora utilizamos el programa EViews, al que hacemos referencia en elepgrafe siguiente, obtendremos para el ajuste pretendido el siguienteresultado, con especificacin de diversos coeficientes de indudablerelevancia estadstica:Forma Funcional: Z = a + bX + cY (plano) Dependent Variable: Z Method: Least Squares Included observations: 35VariableCoefficient Standard Error t-Statistic Probability a22.924710.844853 27.134570.0000X (b) 0.0310970.006303 4.9339930.0000Y (c)-0.0104460.008913 -1.171929 0.2499 R-squared0.445577 Mean dependent variable24.99286 Adjusted R-squared 0.410926 S.D. dependent variable2.429076 S.E. of regression 1.864344 Akaike info criterion4.165512 Sum squared resid111.2249 Schwarz criterion4.298827 Log likelihood-69.89646 F-statistic12.85885 Durbin-Watson statistic 1.612869Prob (F-statistic) 0.000080Observaciones: 1.- El valor de R2 es relativamente bajo. 2.- El coeficiente de la variable Y es NO significativo, que quiere decirque no es diferente de cero (Ho; = 0. No puede rechazarse, entonces, la hiptesisnula. Esto es precisamente lo que contrastamos con el valor de la t de Student-Gosset). 3.- Estos comentarios son iguales para todas las estimaciones quesiguen, por lo que nos ahorraremos su mencin en cada caso. 4.- Como el coeficiente de la variable Y es no significativo lo hemoseliminado de la regresin y se ha obtenido un nuevo resultado en el que slo vara elvalor del trmino constante (esto se ha realizado para todas las especificaciones quehemos probado). 310. Ecuacin resultante: Z = 2292471 + 0031097X 0010446Yque, como puede comprobarse, es la misma que la obtenida mediante laaplicacin de la hoja de clculo de Microsoft Excel con Solver.Si ahora, como hemos sealado, prescindiramos de la variable ocoordenada Y (no significativa desde el punto de vista estadstico) seobtendra la siguiente forma funcional: Z = a + bX (es decir sin la variableY): Dependent Variable: Z Method: Least Squares Included observations: 35Variable Coefficient Standard Error t-Statistic Probability a 22.27186 0.638752 34.867790.0000X (b)0.031097 0.006338 4.9063120.0000 R-squared 0.421782Mean dependent variable 24.99286 Adjusted R-squared0.404260S.D. dependent variable 2.429076 S.E. of regression1.874862Akaike info criterion 4.150393 Sum squared resid 115.9986Schwarz criterion 4.239270 Log likelihood -70.63187F-statistic 24.07189 Durbin-Watson statistic 1.573687Prob (F-statistic)0.000024Ecuacin resultante: Z = 2227186 + 0031097XEn este ltimo caso, los valores de las cotas taquimtricas definitivas dela parcela pueden verse en la ltima columna del cuadro de Excelsiguiente, comparados con los anteriores (2 variables): 311. Al respecto de los perfiles longitudinales y transversales de esta parcela,puede consultarse el anexo nmero 5 (Complementos) de este mismolibro.2. AJUSTE NO LINEAL2.1. Estimacin logartmicaPara ello se precisa realizar una REGRESION MULTIPLELOGARITMICA CON MICROSOFT EXCEL 6.0 (o superior). Comopuede suponerse, existen diferentes programas informticos que puedenfacilitar la obtencin del modelo ms adecuado para el ajuste de unasuperficie de nivelacin no lineal, como el SPSS 79 o el Econometric79 El SPSS es un programa estadstico informtico muy usado en las ciencias sociales y tambin en lasempresas de investigacin de mercado. En la actualidad, la sigla se usa tanto para designar el programaestadstico como la empresa que lo produce. Originalmente SPSS fue creado como el acrnimo deStatistical Package for the Social Sciences ya que se est popularizando la idea de traducir el acrnimocomo "Statistical Product and Service Solutions". Sin embargo, aunque realizando bsquedas por internetestas pueden llevar a la pgina web de la empresa, dentro de la pgina misma de la empresa no seencuentra dicha denominacin. Fue creado en 1968 por Norman H. Nie, C. Hadlai (Tex) Hull y Dale H.Bent. Entre 1969 y 1975 la Universidad de Chicago por medio de su National Opinion Research Centerestuvo a cargo del desarrollo, distribucin y venta del programa. A partir de 1975 corresponde a SPSS 312. Views 80 que, sin duda alguna, son programas especializados para ello.Tambin la subrutina para el clculo de la regresin mltiple logartmicade Microsoft Excel es similar a la lineal, ya estudiada en otros apartadosdel presente libro. Se tratara, en este caso, de ajustar una funcinexponencial del tipo: Z = A BX CY, con el objetivo de averiguar el valorde los parmetros A, B y C. Al tomar logaritmos neperianos (naturales) odecimales (de Briggs 81) en ambos miembros de la expresin anteriortiene lugar su linealizacin, obtenindose una ecuacin logartmicalineal, as: ln Z = ln A + X ln B + Y ln CInc. Originalmente el programa fue creado para grandes computadores. En 1970 se publica el primermanual de usuario del SPSS por Nie y Hall. Este manual populariza el programa entre las instituciones deeducacin superior en EE. UU. En 1984 sale la primera versin para computadores personales. Comoprograma estadstico es muy popular su uso debido a la capacidad de trabajar con bases de datos de grantamao. En la versin 12 es de 2 millones de registros y 250.000 variables. Adems, de permitir larecodificacin de las variables y registros segn las necesidades del usuario. El programa consiste en unmdulo base y mdulos anexos que se han ido actualizando constantemente con nuevos procedimientosestadsticos. Cada uno de estos mdulos se compra por separado. Actualmente, compite no slo consoftwares licenciados como lo son SAS, MatLab, Statistica, Stata, sino tambin con software de cdigoabierto y libre, de los cuales el ms destacado es el Lenguaje R. Desde la versin 14, pero msespecficamente desde la versin 15 se ha implantado la posibilidad de hacer uso de las libreras deobjetos del SPSS desde diversos lenguajes de programacin. Aunque principalmente se ha implementadopara Python, tambin existe la posibilidad de trabajar desde Visual Basic, C++ y otros lenguajes. El 28 dejunio de 2009 se anuncia que IBM, meses despus de ver frustrado su intento de compra de SunMicrosystems, el gigante informtico estadounidense anuncia la adquisicin de SPSS, por la nodespreciable cifra de 1.200 millones de dlares USA.80 EViews (Dictamen economtrico) es un paquete estadstico para Windows, utilizado principalmentepara las series temporales orientadas al anlisis economtrico, aunque tambin puede resultar til a losefectos de la aplicacin topogrfica que aqu propugnamos. Es desarrollado por Quantitative MicroSoftware (QMS). La versin 1.0 fue lanzada en marzo de 1994, y sustituye a la anterior MicroTSP. Laversin actual de EViews es de 7.1, lanzada en abril de 2010. EViews puede ser utilizado para anlisisestadstico general y el anlisis economtrico, como la seccin transversal y anlisis de datos del panel yde series de tiempo (cronolgicas) de estimacin y previsin. EViews combina la hoja de clculo y latecnologa de base de datos relacional con las tareas tradicionales que se encuentran en el software deestadstica, y utiliza un Windows GUI. Esto se combina con un lenguaje de programacin que muestralimitada la orientacin a objetos. EViews se basa principalmente en un formato de archivos propietarios yno documentados para el almacenamiento de datos. Sin embargo, la entrada y salida soporta numerososformatos, incluyendo formato de base de datos, formatos de Excel, PSPP / SPSS, DAP / SAS, Stata,RATS y TSP. EViews puede tener acceso ODBC a bases de datos. EViews formatos de archivo puede serparcialmente abierta por gretl.81 En el ao 1622, el matemtico ingls Henry Briggs (1561-1630) public un pequeo tratado en el Pasodel Noroestea los mares del sur, a travs del Continente de Virginia y la Baha de Hudson; y en 1624 suAritmtica Logartmica en folio, un trabajo que contena los logaritmos de treinta mil nmeros naturales acatorce decimales (1-20.000 y 90.000 a 100.000). Tambin, Briggs complet la tabla de funcionestrigonomtricas y tangentes para la centsima parte de cada grado a catorce decimales, con una tabla defunciones naturales a quince lugares y las tangentes y secantes para los mismos diez lugares; todos loscuales fueron impresos en Gouda en 1631 y publicados en 1633 bajo el ttulo de TrigonometriaBritannica; este trabajo fue probablemente el sucesor de su Logarithmorum Chilias Prima (Introduccina los Logaritmos), que dio una breve resea de logaritmos y una larga tabla de los primeros 1.000 enteroscalculados al catorce decimal. Briggs descubri, de una forma un tanto oculta y sin la pruebacorrespondiente, el teorema del binomio. 313. Esta forma funcional coincide con otra que veremos ms adelante: laestimacin exponencial. Aqu, empleando logaritmos neperianos elcoeficiente de la variable X es ln B mientras que en la forma funcionales simplemente B.Del apartado correspondiente se observa como el coeficiente de lavariable X tiene de valor: 0,001199 con lo que ahora sera:Ln B = 0,001199 B = e0,001199 = 1,0012Todo lo dems no vara.El comando para activarla en la hoja de clculo citada es el siguiente: ESTIMACION.LOGARITMICAA continuacin, se exponen brevemente las instrucciones precisas: a) Escoger en fx la funcin: ESTIMACION.LOGARITMICA, tal comohemos sealado anteriormente. b) En la Caja de dilogo se debe marcar la Columna de la VariableDependiente (y) con el ratn del ordenador.c) En la Caja de dilogo marcar las Columnas de las VariablesIndependientes (x) con el ratn. d) Indicar en la ventanilla "CONSTANTE" el argumento: VERDADERO. e) Indicar en la ventanilla "ESTADISTICA" el argumento: VERDADERO. f) Marcar con el Ratn el Rango de Salida (*) de los elementos de laRegresin.g) Iluminar con el ratn en la "Barra de Frmulas" la caja donde aparecela frmula de la regresin.h) Apretar simultneamente las teclas: "CONTROL", "SHIFT" (tecla conla flecha hacia arriba) y "ENTER".(*) El Rango de Salida tiene un tamao de: 5 lneas X el # de Variablesde columnas.Vamos, pues, a seguir los siguientes pasos tal como los hemosrelacionado: 314. a) Escoger en fx la funcin: ESTIMACIN.LOGARTMICA.b) En la Caja de dilogo marcar la Columna de la Variable Dependiente(y) con el ratn.c) En la Caja de dilogo marcar las Columnas de las VariablesIndependientes (x) con el ratn.d) Indicar en la ventanilla "CONSTANTE" el argumento: VERDADERO.e) Indicar en la ventanilla "ESTADISTICA" el argumento: VERDADERO.f) Marcar con el Ratn el Rango de Salida de los elementos de laRegresin. 315. g) Iluminar con el ratn la "Barra de Frmulas", ventanilla donde aparecela frmula de la regresin.h) Apretar simultneamente las teclas: "CONTROL", "SHIFT" y "ENTER".Al final del proceso, se obtiene la siguiente pantalla (ejemplo cualquiera):En la pantalla anterior, usada como simple ejemplo, el resultado de laregresin logartmica mltiple efectuada, en este caso con 5 variables (enla problemtica de la nivelacin ptima de terrenos que propugnamoseste nmero queda reducido a 3, como se sabe), ser:Si ahora, alternativamente, utilizamos el programa EViews para el ajusteo estimacin logartmica de la funcin correspondiente, obtendremos laexpresin exponencial: Z = A BX CY = 229661 10012X 09996YA continuacin, obtendremos la siguiente tabla como consecuencia de laaplicacin de la ecuacin de ajuste de la superficie anterior, que nosservir para efectuar ulteriores consideraciones de inters: 316. Obsrvese que en la tabla anterior hemos definido el di = Yi Ti como la diferenciaexistente entre las cotas del terreno natural o iniciales y las definitivas que se deducende la aplicacin de nuestro modelo de explanacin. Ello es as con el objetivo deadecuarnos a la terminologa utilizada para el clculo de chi-cuadrado que realizaremosa continuacin. En este caso, el sumatorio de las discrepancias di es sloaproximadamente igual a 0 (-2,395).El error estndar o tpico de la estima de esta regresin mltiple (triple) vendr dado porla expresin (vase el captulo 5), con m = 2 variables explicativas correspondientes a laabscisa y la ordenada de cada punto: N(Y T ) i i 2109,891S xy =i =1 == 185 m.Nm135 2 1Para N 1 = 35 1 = 34 grados de libertad, se tiene un 20,5 = 1655, realizando lainterpolacin correspondiente en la tabla de percentiles de la distribucin terica deprobabilidad chi-cuadrado que figura en el anexo 3. Al ser: 2 = 10199 < 1655 puedeconsiderarse bastante bajo, en trminos relativos, el volumen de explanacin a realizaren la parcela que nos ocupa. De haberse considerado, alternativamente, un valor delnmero de grados de libertad de: 317. N m 1 = 32 g.l.se obtendra, por interpolacin lineal, un valor terico chi-cuadrado algo ms exigente20,5 = 1517, lo que no modificara tampoco las conclusiones anteriormente expresadas.Por otra parte, el grado de explanacin determinado, como ya se ha visto, por elcoeficiente de contingencia C derivado de la distribucin de probabilidad chi-cuadrado (2), vendr dado por la expresin:2 10199 C== = 047 47% ,2 + N 10199 + 35siendo N = 35 el nmero de estacas o vrtices de nivelacin considerado.Obsrvese, en fin, que la estimacin ahora efectuada ofrece valores algo mejores que losobtenidos incluso mediante la regresin lineal (ajuste a un plano de nivelacin). Lacomparacin de los valores resultantes de los estadsticos de esta estimacin con los delas restantes efectuadas podr verse ms adelante (al final del presente captulo denuestro libro) en el cuadro elaborado al efecto.En algn momento puede plantersele al topgrafo el siguiente dilema:qu modelo utilizar, el lineal o el logartmico (exponencial)anteriormente obtenidos, para el replanteo del plano definitivo delterreno? Pues bien, desde un punto de vista estrictamente terico oestadstico, el modelo que mejor explica el ajuste por regresin mnimocuadrtica y, en su consecuencia, el que provoca un menor movimientode tierras en la parcela, ser aquel cuyo coeficiente de concausalidad,determinacin o crtico R2 sea mayor.De cualquier modo, en los problemas reales que puedan presentarse enla prctica de la nivelacin no lineal, ya existe una predeterminacin exanto por parte del proyectista en el sentido de que el resultado final noconstituya un plano perfecto por perentoriedad de la concepcin de lapropia obra, por lo que la solucin a la pregunta planteada resulta obvia.Sin embargo, s puede resultar interesante averiguar cul de las posiblessoluciones no lineales planteadas ser ms conveniente desde el puntode vista estrictamente econmico (esto es, la que suponga un menormovimiento de tierras).Evidentemente, adems del error standard o tpico de la estima, del 2 ydel coeficiente de contingencia o grado de explanacin del terreno C,tambin el coeficiente de concausalidad R2 puede usarseprovechosamente en la comparacin de la bondad del ajuste entrediferentes funciones y planos de nivelacin. 318. En este sentido, en el captulo anterior de nuestro libro hemos explicadode qu modo puede calcularse el expresado parmetro de concausalidaden el caso de las regresiones mltiples (triples) lineales. As mismo, elestadstico 82 de contraste experimental F de Snedecor es el estadgrafoque se construye para contrastar si los parmetros asociados a lasvariables explicativas del modelo, o sea, las coordenadas X e Y(exceptuando el trmino independiente) son conjuntamente iguales acero. O dicho de otro modo, este estadstico permite contrastar lacapacidad explicativa conjunta de las variables introducidas en el modeloempleado 83.Cabe sealar que, adems del modelo exponencial reseado, puedenemplearse otros modelos no lineales de regresin mltiple(semilogartmicos, potenciales, transformacin inversa, parablicos opolinomiales, etc.) intentando buscar, en todo momento, el que ofrezcalos resultados ms ajustados, en que los valores resultantes de losestadgrafos relacionados sean mayores.2.2. Estimacin doblemente logartmicaUtilizando, a partir de ahora, el expresado programa EViews, se trata deadoptar la forma funcional: lnZ = a + blnX + clnY Z = e a X b Y c (potencial, logartmica doble),cuyos resultados quedan expresados con especificidad en la tabla de lapgina siguiente:Dependent Variable: LZMethod: Least SquaresIncluded observations: 35 VariableCoefficient Standard Error t-Statistic Probabilitya2.971694 0.093470 31.79315 0.0000LX (b) 0.067104 0.015653 4.286843 0.0002LY (c)-0.010321 0.016671 -0.6190700.540382Un estadstico es una medida cuantitativa, derivada de un conjunto de datos de una muestra con elobjetivo de estimar o contrastar caractersticas de una poblacin o modelo estadstico. Ms formalmenteun estadstico es una funcin medible que, dada una muestra estadstica de valores, les asigna un nmeroque sirve para estimar los parmetros de la distribucin de la que procede la muestra. As por ejemplo lamedia muestral de valores sirve para estimar el valor esperado de una variable, la varianza muestral deuna muestra amplia sirve para estimar la varianza de la poblacin o universo, etc.83Generalmente, se considera que un valor superior a 6 resulta suficiente para que la capacidadexplicativa del modelo pueda calificarse como adecuada. 319. R-squared0.369586 Mean dependent variable 3.214223 Adjusted R-squared 0.330185 S.D. dependent variable0.093716 S.E. of regression 0.076699 Akaike info criterion -2.216031 Sum squared resid0.188249 Schwarz criterion -2.082716 Log likelihood 41.78055 F-statistic9.380136 Durbin-Watson statistic1.513296 Prob (F-statistic) 0.000622Ecuacin resultante: Z = e2971694 X0067104 Y-0010321A continuacin, obtendremos la siguiente tabla como consecuencia de laaplicacin de la ecuacin de ajuste de la superficie anterior:Obsrvese que en la tabla anterior hemos definido el di = Yi Ti como la diferenciaentre las cotas del terreno natural o iniciales y las definitivas que se deducen de laaplicacin de nuestro modelo de explanacin. Ello es as con el objetivo de adecuarnosa la terminologa utilizada para el clculo de chi-cuadrado que realizaremos acontinuacin. En este caso, el di es slo aproximadamente igual a 0 (-2,46).El error estndar o tpico de la estima de esta regresin mltiple (triple) vendr dado porla expresin (vase el captulo 5), con m = 2 variables explicativas correspondientes a laabscisa y la ordenada de cada punto: 320. N (Y T ) ii2127,473S xy = i =1== 200 m. Nm 1 35 2 1Para N 1 = 35 1 = 34 grados de libertad, se tiene un 20,5 = 1655, realizando lainterpolacin correspondiente en la tabla de percentiles de la distribucin terica deprobabilidad chi-cuadrado que figura en el anexo 3. Al ser: 2 = 11784 < 1655 puedeconsiderarse bastante bajo, en trminos relativos, el volumen de explanacin a realizaren la parcela que nos ocupa. De haberse considerado, alternativamente, un valor delnmero de grados de libertad de: N m 1 = 32 g.l.se obtendra, por interpolacin lineal, un valor terico chi-cuadrado algo ms exigente20,5 = 1517, lo que no modificara tampoco las conclusiones anteriormente expresadas.Por otra parte, el grado de explanacin determinado, como ya se ha visto, por elcoeficiente de contingencia C derivado de la distribucin de probabilidad chi-cuadrado (2), vendr dado por la expresin: 2 11784C== = 050 50% , +N211784 + 35siendo N = 35 el nmero de estacas o vrtices de nivelacin considerado.Obsrvese, en fin, que la estimacin ahora efectuada ofrece valores algo peores que losobtenidos mediante la regresin lineal (ajuste a un plano de nivelacin) y la logartmica.La comparacin de los valores resultantes de los estadsticos de esta estimacin con losde las restantes efectuadas podr verse ms adelante en el cuadro elaborado al efecto.Si ahora, como hemos sealado, prescindiramos de la variable ocoordenada Y (no significativa desde el punto de vista estadstico) seobtendra la siguiente forma funcional: Z = ea Xb (es decir sin la variableY), o bien la ecuacin linealizada: ln Z = a + b ln X. As:Dependent Variable: LZMethod: Least SquaresIncluded observations: 35Variable Coefficient Standard Error t-Statistic Probabilitya 2.931486 0.066586 44.02570 0.0000 LX (b) 0.067104 0.015506 4.327473 0.0001R-squared 0.362036Mean dependent variable3.214223Adjusted R-squared0.342703S.D. dependent variable0.093716 321. S.E. of regression0.075979Akaike info criterion-2.261269 Sum squared resid 0.190504Schwarz criterion-2.172392 Log likelihood41.57221F-statistic 18.72702 Durbin-Watson statistic 1.515209Prob (F-statistic)0.000132Ecuacin resultante: Z = e2931486 X00671042.3. Estimacin exponencialSe trata, ahora, de adoptar la forma funcional: ln Z = a + bX + cY Z = e ( a+bX +cY ) (exponencial)Dependent Variable: LZMethod: Least SquaresIncluded observations: 35 Variable Coefficient Standard Error t-Statistic Probabilitya 3.134019 0.032640 96.016580.0000 X (b)0.001199 0.000243 4.9235380.0000 Y (c) -0.000395 0.000344 -1.147524 0.2597R-squared 0.444039Mean dependent variable 3.214223Adjusted R-squared0.409292S.D. dependent variable0.093716S.E. of regression0.072028Akaike info criterion -2.341711Sum squared resid 0.166016Schwarz criterion -2.208396Log likelihood43.97994F-statistic12.77902Durbin-Watson statistic 1.693096Prob (F-statistic) 0.000083 Ecuacin resultante: Z = e3134019 + 0001199X 0000395YA continuacin, obtendremos la siguiente tabla como consecuencia de laaplicacin de la ecuacin de ajuste de la superficie anterior: 322. Obsrvese que en la tabla anterior hemos definido el di = Yi Ti como la diferenciaentre las cotas del terreno natural o iniciales y las definitivas que se deducen de laaplicacin de nuestro modelo de explanacin. Ello es as con el objetivo de adecuarnosa la terminologa utilizada para el clculo de chi-cuadrado que realizaremos acontinuacin. El error estndar o tpico de la estima de esta regresin mltiple (triple)vendr dado por la expresin (vase el captulo 5), con m = 2 variables explicativascorrespondientes a la abscisa y la ordenada de cada punto:N (Y T ) ii2326,476Sxy = i =1== 319 m. Nm 1 35 2 1Para N 1 = 35 1 = 34 grados de libertad, se tiene un 20,5 = 1655, realizando lainterpolacin correspondiente en la tabla de percentiles de la distribucin terica deprobabilidad chi-cuadrado que figura en el anexo 3. Al ser: 2 = 40223 > 1655 puedeconsiderarse bastante elevado, en trminos relativos, el volumen de explanacin arealizar en la parcela que nos ocupa. De haberse considerado, alternativamente, un valordel nmero de grados de libertad de: N m 1 = 32 g.l.se obtendra, por interpolacin lineal, un valor terico chi-cuadrado algo ms exigente20,5 = 1517, lo que no modificara tampoco las conclusiones anteriormente expresadas. 323. Por otra parte, el grado de explanacin determinado, como ya se ha visto, por elcoeficiente de contingencia C derivado de la distribucin de probabilidad chi-cuadrado (2), vendr dado por la expresin:240223 C=== 073 73% ,2 + N40223 + 35siendo N = 35 el nmero de estacas o vrtices de nivelacin considerado.Si ahora, como hemos sealado, prescindiramos de la variable ocoordenada Y (no significativa desde el punto de vista estadstico) seobtendra la siguiente forma funcional: Z = ea+bX (es decir sin la variableY), o bien la ecuacin linealizada: ln Z = a + bX. As:Dependent Variable: LZMethod: Least SquaresIncluded observations: 35 Variable Coefficient Standard Error t-Statistic Probabilitya 3.109322 0.024657 126.1037 0.0000 X (b)0.001199 0.000245 4.900073 0.0000R-squared 0.421161Mean dependent variable3.214223Adjusted R-squared0.403621S.D. dependent variable0.093716S.E. of regression0.072373Akaike info criterion-2.358528Sum squared resid 0.172848Schwarz criterion-2.269651Log likelihood43.27424F-statistic24.01071Durbin-Watson statistic 1.652322Prob (F-statistic) 0.000025Ecuacin resultante: Z = e3109322 + 0001199X2.4. Estimacin semilogartmicaSe trata, por ltimo, de adoptar la forma funcional: Z = lna + blnX + clnY e Z = aX b Y c (semilogartmica) Dependent Variable: Z Method: Least Squares Included observations: 35VariableCoefficient Standard Error t-Statistic Probability 324. La 18.80655 2.442876 7.698529 0.0000LX (b)1.713999 0.409109 4.189587 0.0002LY (c) -0.265797 0.435705 -0.6100390.5461R-squared0.359036Mean dependent variable24.99286Adjusted R-squared 0.318976S.D. dependent variable2.429076S.E. of regression 2.004575Akaike info criterion4.310558Sum squared resid128.5863Schwarz criterion4.443874Log likelihood-72.43477F-statistic8.962394Durbin-Watson statistic 1.445052 Prob (F-statistic) 0.000812Ecuacin resultante: eZ = 147.089.2348 X1713999 Y-0265797A continuacin, obtendremos la siguiente tabla como consecuencia de laaplicacin de la ecuacin de ajuste de la superficie 84 anterior, con elobjetivo de disponer de algunos parmetros de inters a la hora deestablecer comparaciones:84 Aunque aqu se trata de resolver otro tipo de problemas, veamos que el Mtodo de los ElementosFinitos enlaza francamente bien con los conceptos que aqu se exponen y permite obtener una solucinnumrica aproximada sobre un cuerpo, estructura o dominio (medio continuo o superficie del terreno)sobre el que estn definidas ciertas ecuaciones diferenciales en forma dbil o integral que caracterizan elcomportamiento fsico del problema, dividindolo en un nmero elevado de subdominios no-intersectantes entre s denominados elementos finitos. El conjunto de elementos finitos forma unaparticin del dominio tambin denominada discretizacin. Dentro de cada elemento se distinguen unaserie de puntos representativos llamados nodos (las estacas o vrtices). Dos nodos son adyacentes sipertenecen al mismo elemento finito; adems, un nodo sobre la frontera de un elemento finito, puedepertenecer a varios elementos. El conjunto de nodos considerando sus relaciones de adyacencia se llamamalla. Los clculos se realizan sobre una malla de puntos (llamados nodos), que sirven a su vez de basepara la discretizacin del dominio en elementos finitos. La generacin de la malla se realiza usualmentecon programas especiales llamados generadores de mallas, en una etapa previa a los clculos que sedenomina pre-proceso. De acuerdo con estas relaciones de adyacencia o conectividad se relaciona el valorde un conjunto de variables incgnitas definidas en cada nodo y denominadas grados de libertad. Elconjunto de relaciones existentes entre el valor de una determinada variable entre los nodos se puedeescribir en forma de sistema de ecuaciones lineales (o linealizadas). La matriz de dicho sistema deecuaciones se llama matriz de rigidez del sistema. El nmero de ecuaciones de dicho sistema resultaproporcional al nmero de nodos. 325. Obsrvese que en la tabla anterior hemos definido el di = Yi Ti como la diferenciaexistente entre las cotas del terreno natural o iniciales y las definitivas que se deducende la aplicacin de nuestro modelo de explanacin. Ello es as con el objetivo deadecuarnos a la terminologa utilizada para el clculo de chi-cuadrado que realizaremosa continuacin.El error estndar o tpico de la estima de esta regresin mltiple (triple) vendr dado porla expresin (vase el captulo 5), con m = 2 variables explicativas correspondientes a laabscisa y la ordenada de cada punto: N (Y T ) i i 2 128579Sxy = i =1 == 200 m. Nm 135 2 1Para N 1 = 35 1 = 34 grados de libertad, se tiene un 20,5 = 1655, realizando lainterpolacin correspondiente en la tabla de percentiles de la distribucin terica deprobabilidad chi-cuadrado que figura en el anexo 3. Al ser: 2 = 11821 < 1655 puedeconsiderarse aceptable, en trminos relativos, el volumen de explanacin a realizar en laparcela que nos ocupa. De haberse considerado, alternativamente, un valor del nmerode grados de libertad de: 326. N m 1 = 32 g.l.se obtendra, por interpolacin lineal, un valor terico chi-cuadrado algo ms exigente20,5 = 1517, lo que no modificara tampoco las conclusiones anteriormente expresadas.Por otra parte, el grado de explanacin determinado, como ya se ha visto, por elcoeficiente de contingencia C derivado de la distribucin de probabilidad chi-cuadrado (2), vendr dado por la expresin: 211821C== = 050 50% , +N211821 + 35siendo N = 35 el nmero de estacas o vrtices de nivelacin considerado.Si ahora, como hemos sealado, prescindiramos de la variable ocoordenada Y (no significativa desde el punto de vista estadstico) seobtendra la siguiente forma funcional: eZ = a Xb (es decir sin la variableY), o bien la forma linealizada: Z = lna + b lnX. As:Dependent Variable: ZMethod: Least SquaresIncluded observations: 35 Variable Coefficient Std. Errort-Statistic ProbabilityLa17.77101 1.73995510.213490.0000 LX (b) 1.713999 0.4051994.2300200.0002R-squared 0.351582Mean dependent variable24.99286Adjusted R-squared0.331933S.D. dependent variable2.429076S.E. of regression1.985415Akaike info criterion4.264978Sum squared resid 130.0817Schwarz criterion4.353855Log likelihood -72.63711F-statistic17.89307Durbin-Watson statistic 1.448726Prob (F-statistic) 0.000174Ecuacin resultante: eZ = 52.221.769 X17139992.5. Resumen de estimacionesUna vez efectuados los ajustes minimocuadrticos a diferentes funcionesmatemticas, lineales o no, para el ejemplo de nivelacin desarrollado, 327. podemos elaborar la siguiente tabla comparativa con los parmetros quejuzgamos ms significativos de las estimaciones realizadas de la cotataquimtrica Z con las dos variables explicativas (coordenadas X e Y): Tabla 4. Cuadro comparativo de estimaciones. ESTIMACINR2FD-W Sxy 2C Lineal (*) 0,445577 12,85885 1,6128691,86 m. 10,268 0,48 Logarmica (*) -- -- --1,85 m. 10,199 0,47Doblemente0,369586 9,380136 1,5132962,00 m. 11,784 0,50LogartmicaExponencial 0,444039 12,77902 1,6930963,19 m. 40,223 0,73Semilogartmica 0,359036 8,962394 1,4450522,00 m. 11,821 0,50Desde luego, la estimacin a considerar definitivamente por el proyectistade la obra de tierra ser tanto ms correcta cuanto mayores sean los tresprimeros parmetros analizados y, por el contrario, cuanto menores seanlos tres ltimos, dando preferencia a estos ltimos en la decisin final,puesto que pueden producirse resultados contradictorios. En este ordende ideas, puede observarse que la estimacin lineal es bastante correctay, en el caso de desearse el ajuste a una superficie curva (no lineal),debera adoptarse la regresin logartmica, aunque tambin podraconsiderarse cualquiera de ellas menos la exponencial; en concreto, lasestimaciones doblemente logartmica y semilogartmica ofrecenresultados altamente coincidentes, siendo algo mejor la primera de ellas.En el cuadro-resumen anterior, en definitiva, se han sealizado con (*)las regresiones que procede seleccionar a los efectos deseados. 328. RELACIN DE ANEXOS- ANEXO N 1: TEORA MATRICIAL ELEMENTAL.- ANEXO N 2: SUPERFICIES CUDRICAS.- ANEXO N 3: RESTANTES ESPECIFICACIONESMETODOLGICAS.- ANEXO N 4: TABLAS ESTADSTICAS.- ANEXO N 5: COMPLEMENTOS.********* 329. ANEXO 1TEORIA MATRICIAL ELEMENTAL1. CONCEPTOS GENERALES SOBRE MATRICESEl concepto de matriz se fragu a lo largo de los siglos XVIII y XIX conel objetivo de sistematizar los mtodos de resolucin de sistemas deecuaciones lineales con numerosas incgnitas. En la actualidad, la teorade matrices se ha convertido en una poderosa herramienta al servicio demuchas disciplinas cientficas, desde la fsica y las ciencias naturaleshasta la economa.Las matrices surgen del estudio de la resolucin de los sistemas deecuaciones lineales. Sea el sistema de ecuaciones lineales genricosiguiente:a11x1 + ... + a1nxn = b1a21x1 + ... + a2nxn = b2....................................am1x1 + ... + amnxn = bmLos coeficientes de las incgnitas de este sistema se pueden escribir, porconvenio, de esta forma:Se trata, pues, de un conjunto de N nmeros dispuestos en m filas y ncolumnas, tal que m n = N.Una matriz se suele representar por una letra mayscula y los elementosde dicha matriz se representan por la correspondiente letra minsculacon dos subndices que indican la fila y columna que denotan la posicindel elemento. Por ejemplo la matriz A y el elemento a12 (elemento de lafila 1, columna 2).En esencia, una matriz se define como un conjunto de nmeros oexpresiones numricas que se ordenan como una tabla de filas ycolumnas. Cada una de las intersecciones de filas o columnas sedenomina elemento de la matriz, y contiene un nmero o una expresin. 330. En sentido genrico, los elementos de la matriz se simbolizan por aij,siendo i el nmero de fila y j el nmero de columna que ocupan. Lasmatrices tambin se representan por la notacin A = (aij), con i = 1, 2, 3,..., m, y j = 1, 2, 3, ..., n.Una matriz formada por m filas y n columnas se dice que tiene orden odimensin m x n. Dos matrices del mismo orden se consideran igualescuando son iguales, dos a dos, los elementos que ocupan el mismolugar.As pues, se denomina matriz a todo conjunto de nmeros o expresionesdispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.Cada uno de los nmeros de que consta la matriz se denominaelemento. Un elemento se distingue de otro por la posicin que ocupa,es decir, la fila y la columna a la que pertenece.2. CLASES DE MATRICESEn trminos generales, una matriz tiene m filas y n columnas, siendo m xn. En tal caso, la matriz se llama rectangular. Ahora bien, cuando elnmero de filas y el de columnas coinciden, la matriz es cuadrada, condimensin n x n; en este caso, los elementos de la matriz de subndicesa11, a22, a33, ..., ann ocupan la llamada diagonal principal de la matriz ysus elementos se denominan principales. Esta diagonal adquiereimportancia en la resolucin de determinantes que contemplaremos conposterioridad. Los elementos que conforman la diagonal perpendicular ala anterior son los secundarios y forman la diagonal secundaria. Loselementos aij y aji son conjugados o simtricos respecto de la diagonalprincipal.La matriz rectangular tiene, pues, distinto nmero de filas que decolumnas, siendo su dimensin mxn. Ejemplo (2 x 3): 331. La matriz cuadrada tiene el mismo nmero de filas que de columnas.Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal (la queva desde el ngulo superior izquierdo al ngulo inferior derecho). Ladiagonal secundaria (la que va del ngulo superior derecho al nguloinferior izquierdo) la forman los elementos con i+j = n+1. Ejemplo (3 x 3):Una matriz cuadrada se denomina triangular cuando todos loselementos situados por encima o por debajo de la diagonal principal sonnulos.Una matriz se denomina diagonal cuando todos los elementos, exceptolos de la diagonal principal, son cero. As tenemos que:Otro concepto importante en la teora de matrices es el de matriztraspuesta. Dada una matriz A de orden m x n, su traspuesta, denotadapor At, es otra matriz de dimensiones n x m, donde se han intercambiadolas filas de la primera matriz por columnas y las columnas por filas. Aspues, dada una matriz cualquiera A, se llama matriz traspuesta de A ala matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por lascolumnas, como por ejemplo:, con las siguientes propiedades de la transposicin de matrices: (At)t = A (A + B)t = At + Bt ( A)t = At (A B)t = Bt At 332. En la teora de homomorfismos, es de notar que si A describe unaaplicacin lineal respecto a dos bases, entonces la matriz At describe latranspuesta de una aplicacin lineal respecto a las bases del espaciodual.Otros conceptos relevantes en la teora de matrices son los siguientes: a) Matriz filaUna matriz fila est constituida por una sola fila. Ejemplo: b) Matriz columnaLa matriz columna tiene una sola columna. Ejemplo:Las matrices fila y columna se denominan habitualmente vectores fila ocolumna, respectivamente. c) Matriz nulaEn una matriz nula 0 todos los elementos son ceros. Ejemplo: d) Matriz triangular superiorEn una matriz triangular superior los elementos situados por debajo dela diagonal principal son ceros. Ejemplo: e) Matriz triangular inferiorEn una matriz triangular inferior los elementos situados por encima dela diagonal principal son ceros. Ejemplo: 333. f) Matriz escalarUna matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de ladiagonal principal son todos iguales. Ejemplo:g) Matriz identidad o unidadUna matriz identidad es una matriz diagonal y escalar en la que loselementos de la diagonal principal son todos iguales a 1. Ejemplo:h) Matriz regularUna matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa, puestoque su determinante es diferente de 0.i) Matriz singular o no regularUna matriz singular no tiene matriz inversa. Constituye el caso contrariode la anterior.j) Matriz idempotenteUna matriz, A, es idempotente si es simtrica y cumple que su cuadradoes la propia matriz, con lo que: At = A At = A22A =Ak) Matriz involutivaUna matriz, A, es involutiva si: A2 = I. 334. l) Matriz simtricaUna matriz simtrica es una matriz cuadrada que, al ser igual a sutraspuesta, verifica: A = At.m) Matriz antisimtrica, hemisimtrica o alternadaUna matriz antisimtrica, hemisimtrica o alternada es una matrizcuadrada que verifica: A = -At.n) Matriz ortogonalUna matriz es ortogonal si verifica que: AAt = I.o) Matriz adjuntaEs la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento por su adjuntocorrespondiente. O sea:p) Matriz nilpotenteEs la matriz de orden n tal que: An = 0q) Matriz de permutacinEs aquella que en cada fila y columna tiene un elemento igual a 1, y losdems son iguales a 0.3. DIMENSIN DE UNA MATRIZEl nmero de filas y columnas de una matriz se denomina dimensin deuna matriz. As, una matriz ser de dimensin: 2x4, 3x2, 2x5,... S lamatriz tiene el mismo nmero de filas que de columnas (matrizcuadrada), se dice que es de orden: 2, 3, ...El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por Amxn obien (aij), y un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en lafila i y en la columna j, se representa por aij. 335. 4. MATRICES IGUALESDos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensin y loselementos que ocupan el mismo lugar en ambas (homlogos), soniguales.5. OPERACIONES CON MATRICES 5.1. Suma algebraica de matricesDadas dos matrices de la misma dimensin o equidimensionales, A=(aij)y B=(bij), se define la matriz suma como: A+B = (aij+bij).La matriz suma se obtiene, pues, sumando algebraicamente loselementos de las dos (o ms) matrices que ocupan la misma posicin.As:Otro ejemplo: 5.2. Propiedades de la suma de matricesa) Ley de composicin interna, propiedad uniforme o conjunto cerrado:La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensin m x n.b) Asociativa:A + (B + C) = (A + B) + C 336. c) Elemento neutro:A+0=ADonde 0 es la matriz nula de la misma dimensin que la matriz A.d) Elemento opuesto o simtrico:A + (A) = 0La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos estncambiados de signo. Sumada algebraicamente a la matriz inicial nosofrece el elemento neutro.e) Conmutativa:A+B=B+ATodo ello puede resumirse en el siguiente cuadro:Tabla A1-1. Propiedades de la suma de matrices.PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICESPropiedadExpresin y significado.ConmutativaA + B = B + A.Asociativa A + (B + C) = (A + B) + C. A + 0 = 0 + A = A, siendo 0 la matriz nula, aquellaElemento neutro que, con el mismo orden que A, tiene todos sus elementos iguales a cero. A + (-A) = (-A) + A = 0, donde la matriz (-A) se llamaElemento opuesto opuesta de la matriz A, y 0 corresponde a la matrizo simtrico nula para la dimensin de A.Este conjunto de propiedades hacen que respecto de la adicin elconjunto de las matrices equidimensionales constituye un GRUPOCONMUTATIVO O ABELIANO.5.3. Producto de un escalar por una matrizDada una matriz A = (aij) y un nmero real k R, se define el producto deun nmero real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en laque cada elemento est multiplicado por k. As:kA = (kaij)Con las siguientes propiedades: 337. -Asociativa:2a (b A) = (a b) A, A Mmxn, y: a, b-Distributiva respecto a la adicin de matrices:a (A + B) = a A + a B, A,B Mmxn , y: a-Distributiva respecto a la adicin de parmetros: 2(a + b) A = a A + b A, A Mmxn , y: a, b-Elemento neutro:1 A = A 1 = A, A Mmxn-Compatibilidad:Si A = B a A = a BLuego el sistema lineal {Mmxn} tiene estructura de espacio vectorial 85.5.4. Producto de matricesDos matrices A y B son multiplicables o conformes si el nmero decolumnas de A coincide con el nmero de filas de B. El resultado esotra matriz producto que tiene el mismo nmero de filas que la matrizmultiplicando y el mismo nmero de columnas de la matriz multiplicador.As:Mm x n x Mn x p = M m x pEl elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cadaelemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j dela matriz B y sumndolos, siguiendo la denominada REGLA DE BINET-CAUCHY.En definitiva, la matriz resultante C = (cij) se calcula de forma que cadauno de sus trminos cij es igual a la suma ordenada de los productos delos elementos de la fila i de A por los de la columna j de B: primerelemento de la fila i de A por primer elemento de la columna j de B; ms85 Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto bsico de estudio en la rama de la matemticallamada lgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre losvectores pueden realizarse dos operaciones: la multiplicacin por escalares (ley de composicin externa)y la adicin (operacin interna: una asociacin entre un par de objetos). Estas dos operaciones se tienenque ceir a un conjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de las tuplas de nmerosreales as como de los vectores en el espacio eucldeo. Un concepto importante es el de dimensin delE.V. Histricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontanal siglo XVII: geometra analtica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. La primera formulacinmoderna y axiomtica se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en lateora de espacios vectoriales provienen del anlisis funcional, principalmente de los espacios defunciones. 338. el segundo de la fila i por el segundo de la columna j, y assucesivamente.Ejemplo:Con las siguientes propiedades:-Ley de composicin interna, propiedad uniforme o conjunto cerrado:el producto de matrices es otra matriz.-Asociativa:A (B C) = (A B) C-Elemento neutro:In A = A Im = A, donde In e Im son las matrices identidad o unidad cuadradas con suorden respectivo.-No es Conmutativa necesariamente:A B B A, por lo que hay que distinguir entre la premultiplicacin(producto por la izquierda) y la postmultiplicacin (producto por laderecha).-Distributiva del producto respecto de la suma, por la derecha y por laizquierda:A (B + C) = A B + A C(A + B) C = A C + B CDe todo ello se deduce que el conjunto de las matrices cuadradas tieneestructura de ANILLO UNITARIO NO CONMUTATIVO con respecto a lasdos operaciones internas + y . 339. -Otra propiedad, que resulta consecuencia inmediata de las anteriores,es que:0A=A0=05.5. Potencia de una matrizComo ampliacin del concepto de producto, puede definirse la potenciaensima de una matriz como el producto de sta por s misma n veces.Para que una matriz pueda multiplicarse por s misma tiene que sercuadrada. Es decir:6. DETERMINANTES6.1. DefinicinA toda matriz cuadrada le corresponde, mediante una aplicacininyectiva (a dos elementos distintos del primer conjunto correspondendos elementos distintos del segundo conjunto) un nmero real, a estaaplicacin la denominamos determinanteEl determinante de la matriz cuadrada de segundo orden A se designapor |A|, o sea:El valor del determinante de esta matriz, que tiene dos trminos (unopositivo y otro negativo) es: a11 a22 - a12 a21, por aplicacin de ladenominada Regla de Sarrus. As mismo, en el caso de una matrizcuadrada de tercer orden:En este caso, el valor del determinante de esta matriz, que tiene seistrminos en su desarrollo (tres positivos y tres negativos) es: a11 a22a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23 - a13 a22 a31 - a23 a32 a11 - a33 a21a12, por aplicacin de la Regla mencionada. En general, el determinantede una matriz cuadrada de orden n tiene precisamente n! trminos en sudesarrollo, la mitad positivos y la otra mitad negativos86.86 Por medio de la combinatoria, las factoriales intervienen en el clculo de las probabilidades.Intervienen tambin en el mbito del anlisis matemtico, en particular a travs del desarrollo polinomial 340. 6.2. Propiedades1) Los determinantes de una matriz y de su transpuesta son iguales, estoes:|A| = |At|.O sea, que todo determinante es igual a su traspuesto. Ello es as porqueal aplicar la regla de Sarrus obtenemos el mismo desarrollo.2) Si en una matriz se intercambian de posicin dos filas o dos columnas(dos lneas paralelas), el valor del determinante cambia de signo, pero node valor absoluto. En efecto, puesto que al aplicar la regla de Sarrusveamos que a cada trmino positivo del primer determinante lecorresponde uno negativo en el segundo determinante.3) Si se multiplican todos los elementos de una fila (o de una columna)por un nmero, el determinante queda multiplicado por ese nmero,puesto que cada trmino del desarrollo del determinante quedamultiplicado por dicho nmero, al que podemos sacar en factor comn.4) Si dos filas (o dos columnas) de una matriz son iguales, eldeterminante es cero. En efecto, puesto que si el determinante vale alcambiar entre s las dos lneas paralelas iguales se obtendr - , perocomo son iguales, resulta que: = - ; 2 = 0 = 0, c.s.q.d.5) Si dos filas (o dos columnas) de una matriz son proporcionales(mltiplos o divisores), el determinante es cero. Ello se deduce de laspropiedades anteriores6) Si descomponemos en dos sumandos cada nmero de una fila (o deuna columna) de una matriz, la suma de los determinantes de las dosmatrices obtenidas con la descomposicin en sumandos, es igual aldeterminante de la matriz original.7) Si una fila (o columna) es combinacin lineal de las otras filas (ocolumnas) de una matriz, el determinante es cero.de las funciones (frmulas de Taylor y de MacLaurin). Se generalizan a los nmeros reales y hasta a loscomplejos con la funcin gamma, de gran importancia en el campo de la aritmtica. Existe unequivalente, cuando n tiende al infinito, del factorial n, dado por la frmula de Stirling, de gran aplicacinen el clculo de lmites de sucesiones, cuya ventaja reside en que no precisa induccin y por lo tantopermite evaluar n! tanto ms rpidamente cuanto mayor sea n. 341. 8) Si cambiamos una fila (o una columna) por la obtenida por la suma deesa fila ms el producto de otra fila (o columna) por una constante, elvalor del determinante no vara.9) Se pueden hacer transformaciones, siguiendo las reglas anteriores, enuna matriz, de tal forma que, todos los elementos de una fila (o columna)sean ceros y el determinante no vare (lo que se denomina regla decondensacin). 6.3. Menor complementarioMenor complementario del elemento aij es el determinante de la matrizformada al suprimir la fila y la columna en la que se halla el elemento aij.El menor complementario de aij es mij. 6.4. Adjunto o cofactor de un elementoEs el determinante de la matriz formada aplicando esta frmula: (-1)i+jmij.Se llama adjunto o cofactor del elemento aij al menor complementarioanteponiendo:El signo es + si i+j es par.El signo es - si i+j es impar.Ejemplo de aplicacin: El determinante adjunto del elemento a21 ser elsiguiente cambiado de signo, puesto que la suma de sus subndices esimpar: 2 + 1 = 3.cuyo valor es 2, por aplicacin simple de la regla de Sarrus anteriormenteexpresada.El valor de un determinante es igual a la suma de productos de loselementos de una lnea por sus adjuntos correspondientes. Esto es: 342. As, por ejemplo, desarrollando el determinante por los elementos de suprimera fila, obtendremos:como puede verse en el siguiente ejemplo sencillo:= 3(8+5) - 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 637. MATRIZ INVERSALa matriz inversa de A se designa por A-1. Para calcular la inversa deuna matriz, primero se calcula su determinante, siguiendo elprocedimiento que detallaremos en primer lugar. Si el determinante escero la matriz no tiene inversa o no es invertible, por lo tanto, debetratarse de una matriz regular (no singular). A continuacin, se calculanlos adjuntos de cada elemento de la matriz. Despus se divide cadaadjunto por el determinante de la matriz. Por ltimo, se forma la matrizinversa poniendo los valores obtenidos correspondientes a la posicin ijen la posicin ji.El producto de una matriz por su inversa es igual a la matriz identidad.Esto es:A A-1 = A-1 A = ICon las siguientes propiedades: (A B)-1 = B-1 A-1 (A-1)-1 = A (k A)-1 = k-1 A-1 (A t)-1 = (A -1)tSe puede calcular la matriz inversa por dos mtodos diferentes, a saber:1. Clculo de la matriz inversa por determinantesSe tienen las siguientes definiciones: 343. Ejemplo 1. Se trata de hallar la inversa de la matriz:, para lo cual se llevan a cabo los siguientes pasos:1. Calculamos el determinante de la matriz; en el caso que eldeterminante sea nulo la matriz no tendr inversa (no ser invertible).2. Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la que cada elemento sesustituye por su determinante adjunto o cofactor.3. Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta.4. La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinantemultiplicado por la matriz traspuesta de la adjunta. 344. Ejemplo 2. Vamos ahora, como ejemplo de este procedimiento, a calcularla inversa de la matriz A:El valor del determinante es: |A| = 5 y la matriz inversa buscada A-1 ser:Ejemplo 3. Como hemos visto en las propiedades anteriormenteenunciadas, la inversa del producto de dos matrices es el producto de lasmatrices inversas cambiando el orden. As:Procedamos, en base a la aplicacin de esta propiedad, al clculo de lainversa de la siguiente matriz A:Para calcular la inversa de la matriz anterior, primero calculamos eldeterminante |A|: 0 345. Al ser diferente de cero (matriz regular, no singular), la matriz es invertible. Despuscalculamos separadamente cada uno de los determinantes adjuntos o cofactores, esto es:= I3 c.s.q.d.2. Clculo de la matriz inversa por el mtodo de Gauss-JordanEn matemticas, la eliminacin gaussiana, eliminacin de Gauss oeliminacin de Gauss-Jordan, llamadas as debido a Carl FriedrichGauss y Wilhelm Jordan 87, son algoritmos del lgebra lineal concebidos87 Wilhelm Jordan (18421899) fue un geodesta alemn que hizo trabajos de topografa en Alemania yfrica. Es recordado entre los matemticos por su algoritmo de eliminacin de Gauss-Jordan, que aplicpara resolver el problema de los mnimos cuadrados. Esta tcnica algebraica apareci en su Handbuch derVermessungskunde (1873). Wilhelm Jordan, en su trabajo sobre topografa, us el mtodo de mnimoscuadrados de forma habitual. Como en astronoma, cuando se realizan observaciones geodsicas, existeuna redundancia en medidas de ngulos y longitudes. No obstante, existen relaciones que conectan lasmedidas, y se pueden escribir como un sistema lineal sobre-determinado (con ms ecuaciones queincgnitas), al cual se le aplica el mtodo. El propio Jordan particip en trabajos de geodesia a gran escalaen Alemania como en la primera topografa del desierto de Libia. En 1873 fund la revista alemanaJournal of Geodesy y ese mismo ao public la primera edicin de su famoso Handbuch. Como losmtodos de mnimos cuadrados eran tan importantes en topografa, Jordan dedic la primera seccin desu Handbuch a este asunto. Como parte de la discusin, dio una detallada presentacin del mtodo deeliminacin de Gauss para convertir el sistema dado en triangular. Entonces mostr cmo la tcnica desubstitucin hacia atrs permita encontrar la solucin cuando se conocan los coeficientes. Sin embargo,anota que si se realiza esta substitucin no numricamente, sino algebraicamente, se pueden obtener lassoluciones de las incgnitas con frmulas que involucran a los coeficientes del sistema. En la primera ysegunda edicin (1879) de su libro, simplemente dio estas frmulas, pero en la cuarta edicin (1895),ofreci un algoritmo explcito para resolver un sistema de ecuaciones con matriz de coeficientessimtrica, que son las que aparecen en los problemas de mnimos cuadrados. Este algoritmo constituye, 346. para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales yencontrar matrices inversas.Un sistema de ecuaciones se resuelve por el mtodo de Gauss cuandose obtienen sus soluciones mediante la reduccin del sistema dado aotro equivalente en el que cada ecuacin tiene una incgnita menos quela anterior. Cuando se aplica este proceso, la matriz resultante se conocecomo "forma escalonada". El mtodo fue presentado por el matemticoLuis Berrocal, pero se conoca anteriormente en un importante libromatemtico chino llamado Jiuzhang suanshu o Nueve captulos del artematemtico.A mediados de la dcada de 1950, la mayora de las referencias almtodo de Gauss-Jordan se encontraba en libros y artculos de mtodosnumricos aunque en las dcadas ms recientes ya aparece en los libroselementales de lgebra lineal. Sin embargo, en muchos de ellos, cuandose menciona el mtodo, no se referencia al inventor.Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa deA, que denotaremos, como se sabe, por A-1, seguiremos los siguientespasos:1. Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A est en la mitadizquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.Consideremos ahora una matriz 3x3 arbitraria:La ampliamos u orlamos con la matriz identidad de orden 3 (I3), con loque resultar:en efecto, el mtodo de Gauss-Jordan. Aunque Jordan no us matrices como lo hacemos actualmente,realizaba el trabajo sobre tablas de coeficientes y explicaba cmo pasar de una fila a la siguiente, comomuchos textos hacen hoy en da. La mayor diferencia entre su mtodo y el actual es que Jordan no hacael pivote de cada fila igual a 1 durante el proceso de solucin. En el paso final, simplemente expresabacada incgnita como un cociente con el pivote como denominador. El Handbuch se convirti en untrabajo estndar en el campo de la geodesia, llegando hasta producir diez ediciones en alemn ytraducciones a otras lenguas. Incluso la octava edicin de 1935 contena la primera seccin con ladescripcin del mtodo de Gauss-Jordan. En la edicin ms reciente, publicada en 1961, ya no aparece.Por supuesto, en esa edicin gran parte de lo que Jordan haba escrito originalmente haba sidomodificado ms all de lo reconocible por los editores. 347. 2. Utilizando el mtodo de Gauss-Jordan vamos a transformar la mitadizquierda, A, en la matriz identidad, que ahora est a la derecha, y lamatriz que resulte en el lado derecho ser la matriz inversa buscada: A-1.Para ello realizaremos diferentes operaciones con las filas que setrasladarn automticamente a la parte derecha, esto es:F2 - F1 :F3 + F2 :F2 - F3 :F1 + F2 :(-1) F2 :La matriz inversa buscada es:con lo que queda eficazmente resuelto el problema planteado. 348. 3. Aplicacin a la resolucin de sistemas de ecuaciones lineales 8888 Se puede aplicar adems el mtodo de la matriz inversa para resolver sistemas de ecuaciones linealescompatibles que tengan ms ecuaciones que incgnitas. Para ello, basta con obtener un sistemaequivalente al inicial eliminando las ecuaciones superfluas o dependientes (proporcionales, nulas o quesean combinacin lineal de otras). El procedimiento a seguir es el siguiente: supongamos que tenemos unsistema de m ecuaciones lineales con n incgnitas, siendo m > n y tal que: rango (A) = rango (A*) =n. Por lo tanto, sobran m - n ecuaciones. Para averiguar cules son las ecuaciones de las que podemosprescindir, basta encontrar en la matriz de los coeficientes ( A ) un menor de orden n distinto de cero,por ejemplo, el que utilizamos para averiguar el rango de la matriz A. Las filas que intervienen en estemenor son las que corresponden a las ecuaciones principales. Las restantes ecuaciones las podemossuprimir. Tambin se puede aplicar el mtodo de la matriz inversa para resolver sistemas de ecuacioneslineales compatibles indeterminados. El procedimiento a seguir es el siguiente: supongamos que tenemosun sistema de m ecuaciones lineales con n incgnitas, tal que: rango (A) = rango (A*) = k < n. Por lotanto, sobran m - k ecuaciones y, adems, hay n - k incgnitas no principales. Para averiguar cules sonlas ecuaciones de las que podemos prescindir, y cules son las incgnitas no principales, basta conencontrar en la matriz de los coeficientes ( A ) un menor de orden k distinto de cero, por ejemplo, el queutilizamos para averiguar el rango de la matriz A. Las filas que intervienen en este menor son las quecorresponden a las ecuaciones principales o independientes. Las restantes ecuaciones las podemossuprimir. Las columnas que figuran en dicho menor corresponden a las incgnitas principales. Lasincgnitas no principales las pasamos al otro miembro y pasan a formar un nico trmino junto con eltrmino independiente. Se obtiene, de este modo, un sistema de k ecuaciones lineales con k incgnitas,cuyas soluciones van a depender de n - k parmetros (correspondientes a las incgnitas no principales). 349. 4. Aplicacin a la resolucin de ecuaciones matriciales8. RANGO O CARACTERSTICA DE UNA MATRIZMenor de una matriz: dada una matriz cualquiera, se pueden obtener,suprimiendo algunas filas y columnas, otras matrices que se llamansubmatrices. Si la submatriz es cuadrada y tiene k filas (tambin tendr kcolumnas), a su determinante se le llama menor de orden k de la matrizdada. Si el menor de orden k es distinto de cero, y todos los menores deorden k + 1 son cero, o no existen, a ese menor se le llama menorprincipal de orden k.Rango o caracterstica de una matriz: es el nmero de lneas de esamatriz (filas o columnas) que son linealmente independientes. Tambinpuede definirse como el orden del mayor determinante menorcomplementario no nulo, o sea, que el rango es: el orden de la mayorsubmatriz cuadrada no nula. Utilizando esta ltima definicin se puedecalcular el rango usando determinantes.Una lnea es linealmente dependiente de otra u otras cuando se puedeestablecer una combinacin lineal entre ellas. 350. Una lnea es linealmente independiente de otra u otras cuando no sepuede establecer una combinacin lineal entre ellas.El rango de una matriz A se simboliza: rang(A) o r(A).Se puede calcular el rango de una matriz por dos mtodos diferentes:1. Clculo del rango de una matriz por el mtodo de GaussPodemos descartar una lnea si:-Todos sus coeficientes son ceros.-Hay dos lneas iguales.-Una lnea es proporcional a otra.-Una lnea es combinacin lineal de otras.Veamos ahora el siguiente ejemplo: A=donde:F3 = 2F1F4 es nulaF5 = 2F2 + F1r(A) = 2.En general, este procedimiento consiste en hacer nulas el mximo nmero de lneasposible, y el rango ser el nmero de filas no nulas.Sea, por ejemplo, la matriz:Hacemos:F2 = F2 - 3F1F3 = F3 - 2F1Con lo que resultar la matriz: 351. Por lo tanto: r(A) = 3.2. Clculo del rango de una matriz por determinantesEl rango buscado es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula.Sea, por ejemplo, la siguiente matriz:1. Podemos descartar una lnea si:-Todos sus coeficientes son ceros.-Hay dos lneas iguales.-Una lnea es proporcional a otra.-Una lnea es combinacin lineal de otras.Suprimimos la tercera columna porque es combinacin lineal de las dosprimeras: c3 = c1 + c22. Comprobamos si tiene rango 1, para ello se tiene que cumplir que almenos un elemento de la matriz no sea cero y por tanto su determinanteno ser nulo. |2|=203. Tendr rango 2 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 2, talque su determinante no sea nulo. 352. 4. Tendr rango 3 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 3, talque su determinante no sea nulo.Como todos los determinantes de las submatrices son nulos no tienerango 3, por tanto r(B) = 2.5. Si tuviera rango 3 y existiera alguna submatriz de orden 4, cuyodeterminante no sea nulo, tendra rango 4. De este mismo modo setrabaja para comprobar si tiene rango superior a 4.9. VALORES Y VECTORES PROPIOS9.1. ConceptualizacinUn vector Xi (distinto de cero) es un vector propio de la matriz A si secumple la expresin AXi = Xi (por la derecha) o bien Xit A = Xit (porla izquierda). El nmero se llama valor propio, y puede pertenecer alconjunto de los nmeros reales o al de los complejos. Los vectorespropios tambin se llaman autovectores o vectores caractersticos y losvalores propios autovalores. Al conjunto de los valores y vectores propios{i, Xi} se le denomina autosistema.Sea A una matriz cuadrada de orden n, y siendo sus elementos tal queaijR, se tiene el determinante: |I - A| polinomio caracterstico de A. |I - A| = 0 ecuacin caracterstica o secular de A.Las races de la ecuacin anterior, que pueden ser simples o mltiples,se denominan races caractersticas o latentes, valores caractersticos,valores propios o autovalores.Desarrollando la expresin AXi = i Xi obtenemos el siguiente sistema de ecuacioneslineales:(a11 - )x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0a21x1 + (a22 - )x2 + ... + a2nxn = 0..........................................an1x1 + an2x2 + ... + (ann - )xn = 0Surgen, al respecto, las siguientes proposiciones: 353. Proposicin 1:Si ASB (relacin de semejanza entre matrices cuadradas de orden m),tienen el mismo polinomio caracterstico. Proposicin reflexiva In = N(In)N-1 ; o sea: ASB B = N A N-1 In B = (substituyendo) = N(In)N-1 NAN-1 = N(In A)N-1Tomando determinantes: In-B=N(In-A)N-1=NIn-AN-1=In-A , c.s.q.d.Proposicin 2: a11 ... a1n Si A = ... ... ... y i son los valores propios de A, se cumple que:a n1 ... a nn nn a) i = tr ( A ) =i=1 ai=1ii ;n b) i = A . i=1Demostraciones respectivas:a) Como consecuencia de ello, podemos escribir: 1 0 0.... 0 0 2 0.... 0 A=, entonces:... ... ... ... 0 00.... n 0 0.... 0 1 0 0.... 0 0 0.... 0 0 2 0.... 0 In A = = ( 1 )( 2 )....( n ) ; (1) ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 0.... 0 0 0.... n Por otro lado: 354. a 11 a 12 ... a 1n a 21 a 22... a 2n In A = (2)... ...... ... a n1 ...... a nnEl desarrollo del anterior determinante por la primera fila, sera:( - a11) A11 + (- a12) A12 + + (- a1n) A1nEn A1h (nh>1), la mayor potencia de es n 2. Pero en el desarrollo deA11 aparece el sumando n-1, luego en el desarrollo de A aparecer elsumando: - a11 n-1.Haciendo anlogo razonamiento con las dems filas, llegamos a que elcoeficiente de n-1 en el desarrollo de A es:- (a11 + a22 + + ann)Pero en (1) el coeficiente de n-1 es: (1 + 2 + + n) y queda probadoque a11 + a22 + + ann = 1 + 2 + + n = tr(A), c.s.q.d.b) Si hacemos = 0, se tiene: -A= (-1)n12 n ny cmo: -A=(-1) A n A= 12 n = 1 i i=Proposicin 3:Si A es una matriz simtrica, 1 y 2 / 1 2 son dos valores propios dela matriz A, y X1 y X2 dos vectores propios de dicha matriz X1 y X2 sonortogonales. (O sea: Xt1X2 = X1Xt2 = 0).Demostracin:Tenemos queA X1 = 1 X1 , A X2 = 2 X2luego, Xt2 AX1 = Xt2 (1 X1) = 1Xt2 X1y anlogamente:Xt1 A X2 = 2Xt1X2 (3) 355. Como 1Xt2X1 es una matriz de dimensin (1 x 1) ser igual a sutranspuesta. Luego: Xt2AXt1 = (Xt2AX1)t = Xt1 At X2 = Xt1AX2 (4)pues al ser A simtrica, se tiene que: A = At.De (3) y (4) se deduce que:1Xt2X1 = 2Xt1 X2o sea,(1 - 2) Xt2 X1 = 0 (5)y como (1 - 2) 0, de la expresin anterior (5) se deduce que:Xt2 X1 = 0es decir, que los autovectores X1 y X2 son ortogonales, c.s.q.d.Proposicin 4:Los valores propios de una matriz simtrica A son nmeros reales.Proposicin 5:Si A es simtrica, podemos seleccionar n vectores propios ortonormales,que constituyen una base ortonormal.9.2. Ejemploa) Hallar los autovalores, forma diagonal y autovectores de la siguientematriz: 1 0 2 A=0 2 0 2 0 1 b) Demostrar que se cumplen las proposiciones anteriormenteenunciadas (2, 3, 4 y 5).c) Obtener A3 y la exponencial de dicha matriz.Respectivamente, se tiene que:a) 356. - Autovalores:Ecuacin caracterstica o secular. In-A= 0 ; 0 0 1 0 2 + 1 0 20 0 0 2 0 = 0 2 0 ; 0 0 2 0 1 2 0 + 1 +1 0 2 si0 2 0 = 0 ; desarrollando el determinante, se tiene:2 0 +1 (2+1+2)(-2) - 4 + 8 = 0 ; 3 + + 22 - 22 - 2 - 4 - 4 + 8 = 0 ;3 - 7 + 6 = 0; con lo que: = 1Aplicando la regla de Ruffini89, se obtiene la ecuacin de 2 grado cuyasolucin nos aportar las otras dos races caractersticas o latentes:2 + - 6 = 0 2 1 1 + 24 ==2 -3- Forma diagonal:Como todos los autovalores son distintos, y adems la matriz essimtrica, la forma diagonal ser: 1 0 0 = 0 2 0 0 0 3 La forma diagonal tambin podra hallarse del siguiente modo.Tomaramos la matriz de paso o modal:89En lgebra, la Regla de Ruffini (debida al matemtico italiano Paolo Ruffini, 1765-1822) nos permitedividir un polinomio entre un binomial de la forma (x r), siendo r un nmero entero. Tambin nospermite localizar las races de un polinomio y factorizarlo en binomios de la forma (x r) (siendo r unnmero entero). 357. 1 0 1 M = P = 0 1 0 , que tiene por columnas los vectores propios 1 0 1asociados, y entonces: A = PP-1 ; postmultiplicando: AP = P. Yahora, premultiplicando por la matriz inversa: P-1AP = ; o sea: 1/ 2 0 1/ 2 1 0 2 1 0 1 = P AP = 0 11 0 0 2 0 0 1 0 = 1/ 2 0 1/ 2 2 0 1 1 0 1 1/2 0 1/2 1 0 1 1 0 0 = 0 2 0 0 1 0 = 0 2 0 , c.s.q.d. - 3/2 0 3/2 1 0 1 0 0 3 Por otra parte, la matriz ortogonal de paso surgir de la baseortonormal, con lo que: 1/ 2 0 1/ 2 M1 = 010 1/ 2 0 1/ 2 - Autovectores:Debe cumplirse la ecuacin vectorial: AXi = i Xi (por la derecha); 1 0 2 x 1 x 1 Para = 1 0 2 0 x 2 = x 2 ; 2 0 1 x 3 x 3 x1+ 2x 3 = x 1 x 1 x 3 = 0 2x 2 = x2 x2 = 0 2x 1- x 3 = x 3 x1 - x3 = 0 Se trata de un sistema homogneo de dos ecuaciones y tres incgnitas;1 0 10 1 0 = 0 ; Rango matriz coeficientes < nmero de incgnitas1 0 1 358. (r

b>c, el elipsoide en cuestin se denomina escaleno; cuandoes a=b>c, el elipsoide es de revolucin y se llama alargado, porengendrarse por la elipse girando alrededor del eje mayor; cuando esa>b=c, es de revolucin achatado y se engendra por la elipse girandoen torno de su eje menor. Finalmente, cuando es a=b=c, la superficieobtenida es una esfera, puesto que la ecuacin (1) se reduce a la: x2 + y2+ z2 = a2 , siendo a el radio de la misma.Por lo que se refiere a las secciones planas, veamos que considerandoun plano paralelo al XOY, de ecuacin z = h, su interseccin con elelipsoide, referida en su plano a las trazas de ste con los planos XOZ eYOZ, es: x2 y2 h2 + = 1 2(2) a2 b2 cque representa una elipse real, cuando h2 < c2, o sea, -c < h < c; y comolos semiejes de esta elipse son:h2h2 a 1yb 1 ,c2c2a medida que h crece la elipse va disminuyendo.Cuando es h= c, la ecuacin (2) se reduce a la siguiente:x2y2 b + 2 = 0 , o sea,y = x 1a2baque representa dos rectas imaginarias con el punto real (0,0,c); ycuando h> c, la ecuacin (2) representa una curva totalmenteimaginaria.Paraboloide elpticoLa grfica de la ecuacin:es un paraboloide elptico. Sus trazas sobre planos horizontales: z = k, son elipses: 370. Sus trazas sobre planos verticales, ya sean x = k o bien y = k, sonparbolas. Fig. A2-2. Paraboloide elptico.Se deduce inmediatamente que los nicos planos de simetra son el XOZy el YOZ; por tanto, slo hay un eje de simetra, que es el OZ. Asimismo,se ve que las secciones determinadas por planos horizontales z = k sonelipses. Paraboloide hiperblicoLa grfica de la ecuacin:es un paraboloide hiperblico o superficie reglada. Sus trazas sobreplanos horizontales son hiprbolas o bien dos rectas ( ). Sustrazas sobre planos verticales paralelos al plano OXZ son parbolas queabren hacia abajo, mientras que las trazas sobre planos verticalesparalelos al plano OYZ son parbolas que abren hacia arriba. Su grficatiene la forma de una silla de montar, como se observa en la figurasiguiente A2-3. 371. Fig. A2-3. Paraboloide hiperblico.Cono elpticoLa grfica de la ecuacin:es un cono elptico. Sus trazas sobre planos horizontalessonelipses. Sus trazas sobre planos verticales corresponden a hiprbolas oun par de rectas. Su grfica en forma de dibolo se muestra en la figurasiguiente A2-4.Fig. A2-4. Cono elptico. 372. Hiperboloide de una hojaLa grfica de la ecuacin:es un hiperboloide de una hoja. Sus trazas o secciones sobre planoshorizontales son siempre elipses reales.Por consiguiente, la elipse situada en el plano XOY es la menor detodas las generatrices y la superficie aparece engendrada por estaelipse, que va aumentando a medida que el plano se aleja del XOY. En cambio, sus trazas sobre planos verticales son hiprbolas o bien unpar de rectas que se intersectan. Su grfica se muestra en la figurasiguiente A2-5. Fig. A2-5. Hiperboloide de una hoja. Hiperboloide de dos hojasLa grfica de la ecuacin:es un hiperboloide de dos hojas. Su grfica consta de dos hojasseparadas. Sus trazas o secciones sobre planos horizontalessonelipses y sobre planos verticales son hiprbolas (vase la figura A2-6). 373. Fig. A2-6. Hiperboloide de dos hojas.2. EJEMPLO 1Identifquense cada una de las siguiente superficies cuadrticas:a)b)Solucin:a) Dividiendo por -4 la primera ecuacin obtenemos:lo cual corresponde a un hiperboloide de dos hojas, con el eje OY como eje de simetra.b) A continuacin, completando el cuadrado en x, para la segundasuperficie obtenemos:que corresponde, como puede comprobarse, a un paraboloide elptico con su ejeparalelo al eje OY. 374. 3. ECUACIN CON TRMINOS RECTANGULARESSi ahora introducimos la ecuacin completa que incluye los trminosrectangulares, veamos que la cudrica o superficie de segundo ordenser el conjunto de puntos del espacio cuyas coordenadashomogneas 90 verifican la ecuacin: F (x, y, z, t) = a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz +2a14xt ++ 2a24yt + 2a34zt + a44t2 = 0 (3) En funcin de las semiderivadas parciales respecto de las variables tambin se puede expresar as, de acuerdo con el conocido teorema deEuler 91: F (x, y, z, t) = x fx + y fy + z fz + t ft = 0En coordenadas cartesianas rectangulares, con t = 0, la ecuacin de unacudrica es:F (x, y, z) = a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz +2a14x ++ 2a24y + 2a34z + 2a34z + a44 = x fx + y fy + z fz = 0 (4) Matricialmente, la ecuacin general de las cudricas se puede expresaras:90 Sabemos que la rotacin alrededor de un punto, que no sea el origen, puede realizarse mediante unatraslacin, una rotacin u otra traslacin. Sera deseable combinar estas tres transformaciones en una solatransformacin por motivos de eficacia y elegancia. Una forma de hacer esto es emplear matricescuadradas 3 x 3 en vez de matrices 2 x 2, introduciendo una coordenada auxiliar w. Este mtodo recibe elnombre de coordenadas homogneas. En estas coordenadas, los puntos estn definidos por trescoordenadas y no por dos. As un punto (x, y) estar representado por la tripleta (xw, yw, w). Lascoordenadas x e y se pueden recuperar fcilmente dividiendo los dos primeros nmeros por el tercerorespectivamente. No emplearemos la coordenada w hasta que no veamos las transformacionestridimensionales de perspectiva. En dos dimensiones su valor suele ser 1, para simplificar.91 Leonhard Euler (nombre completo, Leonhard Paul Euler) naci el 15 de abril de 1707 en Basilea,Suiza, y muri el 18 de septiembre de 1783 en San Petersburgo, Rusia. Fue un respetado matemtico yfsico, y est considerado como el principal matemtico del siglo XVIII y como uno de los ms grandesde todos los tiempos. Vivi en Rusia y Alemania la mayor parte de su vida y realiz importantesdescubrimientos en reas tan diversas como el clculo o la teora de grafos. Tambin introdujo gran partede la moderna terminologa y notacin matemtica, particularmente para el rea del anlisis matemtico,como por ejemplo la nocin de funcin matemtica. Tambin se le conoce por sus trabajos en los camposde la mecnica, ptica y astronoma. Euler ha sido uno de los matemticos ms prolficos, y se calculaque sus obras completas reunidas podran ocupar entre 60 y 80 volmenes. Una afirmacin atribuida aPierre-Simon Laplace expresa la influencia de Euler en los matemticos posteriores: Lean a Euler, lean aEuler, l es el maestro de todos nosotros. 375. a 11 a 12 a13 a14x a a 22 a 23a 24 y ( x y z t ) 12 z = 0 aa 23 a 33a 34 13 a t 14 a 24 a 34a 44 Abreviadamente, podemos expresar el producto matricial o vectorialanterior as:Xt A X = 0 La matriz A es la matriz cuadrada simtrica de los coeficientes de las incgnitas. Su determinante se denomina discriminante de la cudrica.4. CENTRO DE LAS CUDRICAS Por otra parte, el centro de las cudricas es el punto o lugar geomtricodel espacio R3 cuyas coordenadas son las soluciones del sistema de ecuaciones formado por la igualacin a cero de las formas asociadas oderivadas parciales:F F F = 0; = 0; =0x y z Por tanto, derivando en la ecuacin general (4), nos queda un sistemaheterogneo, de tres ecuaciones y tres incgnitas, compatible ydeterminado, as:a11x + a12y + a13z + a14 = 0a12x + a22y + a23z + a24 = 0a13x + a23y + a33z + a34 = 0Resolviendo este sistema por aplicacin de la regla de Cramer 92 tenemosque las coordenadas del centro y las soluciones de este sistema son lassiguientes:92Gabriel Cramer (1704 - 1752) fue un matemtico suizo nacido en Ginebra. Profesor de matemticasde la Universidad de Ginebra durante el periodo 1724-27. En 1750 ocup la ctedra de filosofa en dichauniversidad. En 1731 present, ante la Academia de las Ciencias de Pars, una memoria sobre lasmltiples causas de la inclinacin de las rbitas de los planetas. Edit las obras de Jean Bernouilli (1742)y de Jacques Bernouilli (1744) y el Comercium epistolarum de Leibniz. Su obra fundamental fue laIntroduction lanalyse des courbes algbriques (1750), en la que se desarrolla la teora de las curvasalgebraicas segn los principios newtonianos, demostrando que una curva de grado n viene dada por Npuntos situados sobre ella. 376. A 14A 24A 34x0 =y0 =z0 = A 44A 44A 44Siendo Aij el determinante adjunto o cofactor del elemento aij en el determinante de la matriz de coeficientes A. Como podemos ver tieneque ser necesariamente A44 0 para evitar indeterminaciones. Cuando el origen de coordenadas es tambin el centro de la cudrica,debe cumplirse que: F (x, y, z) = F (-x, -y, -z). Para ello, la ecuacin de lacudrica slo debe poseer trminos de grado par.La ecuacin de la cudrica, una vez trasladados los ejes al centro, es lasiguiente: (x, y, z) + F (x0, y0, z0) = 0,habiendo representado mediante (x, y, z) al conjunto de los trminos desegundo grado de la ecuacin de la cudrica. Por tanto, las cudricascon centro propio (se pueden ver en el cuadro del epgrafe siguiente) son los elipsoides, hiperboloides y conos. Los paraboloides, en cambio,poseen centro impropio, que es el punto del infinito. 5. CLASIFICACIN DE LAS CUDRICASA la caracterstica o rango de la matriz A la llamaremos k y a la de A44 la llamaremos h. Con ello, segn los valores de k y h podremos clasificar convenientemente las cudricas, tal como se puede ver en el siguientecuadro. - CLASIFICACIN DE LAS CUDRICAS - k(A)k (centro)h(A44)CUDRICA Elipsoide o 43 (centro propio) 3 hiperboloide 43 (centro impropio) 2Paraboloide 33 (centro propio) 3Conos Cilindro elptico o 32 (recta propia)2 hiperblico 32 (recta impropia)1Cilindro parablico 22 (recta) 2Dos planos secantes 21 (plano) 1Planos paralelos 11 (plano) 1Plano doble 377. AS1 S2 S3CUDRICAELIPSOIDE A 44E++ ++ Elipsoide hiperblicoHIPERBOLOIDE ++ +- Elipsoide real ++ -- Hiperboloide de una hoja +- -- Hiperboloide de dos hojas AS1 S2 S3CUDRICAA 44CONOS ++ +0 Cono hiperblico ++ -0 Cono real +- -0 Cono real AS1 S2 S3 CUDRICA PARABOLOIDES A 44 ++ 0Paraboloide elptico -- 0Paraboloide hiperblico AS1 S2 S3 CUDRICA CILINDROSA 44ELPTICOS E ++- Cilindro elptico real HIPERBLICOS +++ Cilindro elptico hiperblico +-Cilindro hiperblico Como la ecuacin general de las cudricas no resulta adecuada para el estudio, conviene frecuentemente reducirla a otra con menor nmero detrminos que llamaremos ecuacin reducida de la cudrica. Para obtener la ecuacin reducida de las cudricas haremos una traslacin y unarotacin o giro de los ejes de coordenadas cartesianas, y utilizaremos losdenominados invariantes.6. ECUACIN REDUCIDA DEL ELIPSOIDE, HIPERBOLOIDE YCONOS Posee la siguiente configuracin analtica:I4 S1x2 + S2y2 + S3z2 +=0I3Los tres valores de S son las soluciones de la ecuacin secular: a 11 Sa 12 a 13a 12a 22 Sa 23=0a 13 a 23a 33 S 378. que tambin se denomina ecuacin caracterstica y los tres valores de S obtenidos (S1, S2 y S3) se denominan autovalores. Siendo: I3 = A44 = -R, es el invariante cbicoI4 = A, es el invariante bicuadrticoEl determinante de la matriz anterior, una vez desarrollado, ofrece la ecuacin de tercer grado:S3 + P S2 + Q S + R = 0, siendo:I1 = -P = a11 + a22 + a33I2 = Q = a11 a22 + a11 a33 + a22 a33 a212 a213 a223 7. ECUACIN REDUCIDA DE LOS PARABOLOIDESPosee la siguiente configuracin analtica: I4 S 2 y 2 + S 3 z 2 2x=0 I 4 = A o invariante bicuadrtico, e I2 I2 = 11 + 22 + 33 , que es el invariante cuadrtico, siendo 11, 22, 33los adjuntos o cofactores de los elementos a11, a22, a33 calculados en A44.8. ECUACIN REDUCIDA DE LOS CILINDROS ELPTICOS OHIPERBLICOS Posee la siguiente configuracin analtica: I 3S 1x 2 + S 2 y 2 +=0 I2siendo: I3 = A11 + A22 + A33 , que es el invariante especial de los cilindros,e I2 = 11 + 22 + 33 , que es el invariante cuadrtico. 9. ECUACIN REDUCIDA DE LOS CILINDROS PARABLICOSPosee la siguiente configuracin analtica: I 3 S 2y 2 2x = 0 I1 379. teniendo en cuenta que:I1 = a11 + a22 + a33 , que es el invariante lineal I3 = A11 + A22 + A33 , que es el invariante especial de los cilindros10. RESUMEN DE LOS INVARIANTES DE LAS CUDRICAS Dada la ecuacin general de una cudrica, existen ciertas expresionesformadas con sus coeficientes que toman el mismo valor cuando se efecta una transformacin de coordenadas cartesianas rectangularescualesquiera (no varan en un giro de los ejes donde el origen de coordenadas queda fijo o bien en una traslacin de los ejes), por cuyarazn reciben el nombre de invariantes.Como hemos visto en los epgrafes anteriores, dichos invariantes son los siguientes: Invariante lineal o mtrico: I1 = a11 + a22 + a33Invariante cuadrtico o afn: I2 = 11 + 22 + 33Invariante cbico o proyectivo: I3 = A44Invariante bicuadrtico: I4 = AInvariante especial de los cilindros: I3 = A11 + A22 + A3311. EJEMPLO 2Dada la cudrica de ecuacin:4y2 + 4z2 + 4yz 2x 14y 22z + 33 = 0a) Clasificarla.b) Hallar la ecuacin reducida.c) Determinar el plano que corta a la cudrica segn una cnica de centro en el punto de coordenadas (8, -1, 4). Solucin:a) Formaremos la matriz A para hallar su rango o caracterstica: 0 0 0 1 04 2 7 A = ; A= -12 0 ; k(A) = 4 0 2 4 11 1 7 11 33 380. Al ser A < 0, se tratar de un paraboloide elptico, como tambin tendremos ocasin de corroborar.La caracterstica o rango de la matriz h de A44 ser:0 0 0 A 44 = 0 4 2 =0h(A 44 ) = 2 02 4 Tiene centro impropio, pues A44 = 0. Luego por los valores de k y h sabemos que es un paraboloide.Ahora formaremos la ecuacin en S, o ecuacin caracterstica o secular, para ver los signos de los autovalores: S000 4S 2 =002 4S-S(4 S)(4 S) + 4S = 0;Luego S3 = 0 S2 8S + 12 = 0 ;S1 = 2 ;S2 = 6Luego como los dos autovalores son positivos se trata de un paraboloide elptico. b) La ecuacin reducida de los paraboloides es, como ya se ha visto: I4S 2 y 2 + S 3 z 2 2x= 0 . En nuestro caso:I2 I4 = A= -12 , I2 = 11 + 22 + 33 = 12 + 0 + 0 = 12Luego la ecuacin reducida de la superficie cudrica que nos ocupa ser la siguiente:2y2 + 6z2 2x = 0 c) La ecuacin de los planos que pasan por el punto (8, -1, 4) es: A(x-8) + B(y+1) + (z-4) = 0.puesto que se puede dividir por un parmetro. Luego la cnica de centro (8, -1, 4) vendr dada por la interseccin: 381. Ax + By + z - 8A + B - 4 = 0 4y2 + 4z2 +4yz 2x 14y 22z + 33 = 0Despejando ahora la variable x en la segunda ecuacin y substituyndolaen la primera, nos dar la cnica interseccin resultado de su proyeccin ortogonal sobre el plano YOZ: 2Ay2 + 2Az2 + 2Ayz + (B-7A)y + (1-11A)z + (17/2)A + B 4 = 0El centro de esta cnica, que es el punto o lugar geomtrico del espaciode coordenadas cartesianas rectangulares (8, -1, 4), vendr dado por laresolucin del siguiente sistema de ecuaciones: fy = 4Ay + 2Az + B 7A = 0 y = -1 en donde:fz = 4Az + 2Ay + 1 11A = 0 z=4 -3A + B = 0 luegode donde: A = -1/3 ; B = -13A + 1 = 0 El plano buscado ser, por tanto, aquel de ecuacin ordinaria o no paramtrica:x + 3y 3z + 7 = 0 Substituyendo ahora los valores obtenidos de A y B, se tendr una cnica de ecuacin: 2 2 2 2 2 41447 y z yz + y +z=0 33 33 3 6 - 4y2 4z2 4yz + 8y + 28z 47 = 0 De haber despejado alternativamente la variable z en el sistema deecuaciones anterior (lo que supone, sin duda, un proceso ms largo)hubiramos obtenido la proyeccin ortogonal sobre el plano XOY, lo cualnos permitira clasificar dicha cnica y hallar su correspondiente ecuacin reducida previo el clculo de sus invariantes. En cualquier caso, dichadeterminacin se propone como ejercicio complementario a nuestrosamables lectores. 382. 12. AJUSTE DEL TERRENO A UNA SUPERFICIE CURVA12.1. Modelizacin de formas bsicasSe definen como formas geomtricas bsicas a aquellas entidades paralas que se dispone de un modelo matemtico simple que las defineunvocamente. Las formas geomtricas bsicas interesantes a losefectos que nos ocupan incluyen el plano, la esfera, el cilindro, el cono yel toro. Las cuatro primeras constituyen las formas cannicas de lascudricas implcitas. El toro no forma parte de la familia de las cudricasy es una superficie de revolucin obtenida al desplazar unacircunferencia o, en general, una curva cerrada alrededor de un ejecoplanar exterior (con el eje de rotacin situado en su mismo plano) 93.Para todas ellas, incluido el toro, se puede realizar un ajuste directo porel mtodo de los mnimos cuadrados, siendo un algoritmo clsico para laobtencin de los parmetros ptimos de aproximacin de un conjunto dedatos mediante un modelo paramtrico.El mtodo de los mnimos cuadrados, utilizado profusamente en estelibro, permite encontrar el mejor conjunto de parmetros haciendomnima la suma de los errores cuadrticos de la aproximacin de unacurva superficie a la nube de puntos.Los algoritmos de ajuste a geometras bsicas como rectas, planos,circunferencias, cilindros, conos, esferas y toros se clasifican en dosgrandes grupos que determinan claramente los mtodos empleados ensu aproximacin, esto es, las geometras lineales como rectas y planos ylas no lineales que comprenden a todas las dems.Normalmente, para geometras lineales, se emplean mtodos deresolucin u optimizacin condicionados como el de los multiplicadores uoperadores de Lagrange, que permiten obtener algoritmos ms sencillosbasados en mtodos de obtencin de valores y vectores propios (vanseestos conceptos en el epgrafe 9 del anexo 1 de este mismo libro). Ennuestro caso, el tema queda resuelto con la aplicacin informtica Excela la que nos venimos refiriendo.Los mtodos de resolucin especficos para geometras no lineales sebasan en algoritmos de optimizacin como por ejemplo el algoritmo deLevenberg-Marquardt (BERNAL et alt., 2004).93 La palabra toroide tambin se usa para referirse a un poliedro toroidal, esto es, la superficie derevolucin generada por un polgono que gira alrededor de un eje. En lenguaje cotidiano se denominaanillo al cuerpo cuya superficie exterior es un toro, lo que ilustra la diferencia existente entre unasuperficie y el volumen encerrado por ella. 383. 12.2. Segmentacin de los datosLos ajustes a las formas geomtricas descritos anteriormente requierenuna segmentacin previa de los datos. La segmentacin de los datos esla etapa ms compleja que consiste en realizar una divisin lgica delconjunto inicial de puntos en subconjuntos que contengan exactamenteaquellos datos pertenecientes a una geometra particular, identificando oclasificando de antemano el tipo de geometra descrita (BERNAL et alt.,2004).12.3. Caracterizacin de superficiesDiferentes autores han estudiado el reconocimiento y reconstruccin deobjetos estudiando las superficies. Analizando las curvaturas locales sepueden identificar caractersticas comunes a diferentes tipos degeometras y se puede determinar en qu momento nos hallamos en lafrontera existente entre dos superficies geomtricamente diferentes.La curvatura en un punto de una superficie del terreno se puede calcularen dos direcciones particulares que maximizan y minimizan,respectivamente, la variacin de la normal a dicha superficie. Estasdirecciones definen a las curvaturas principales K1 y K2 estudiadas engeometra diferencial y sirven para caracterizar y codificar unainformacin discriminatoria acerca de una geometra o un objetodeterminado.Las expresiones de las curvaturas de algunas de las superficiesgeomtricas consideradas como planos, cilindros, conos, toros y esferasresultan relativamente sencillas. Sin embargo, los datos de partida (nubede puntos de las cotas taquimtricas del terreno original) son discretos ysera necesario obtener, en primer lugar, la superficie de aproximacinque es precisamente lo que se pretende conseguir (BERNAL et alt.,2004).13. DETERMINACIN DE LAS COTAS EXTREMAS13.1. Mximos y mnimos condicionados por relaciones de desigualdadCuando se trate (la funcin de la superficie explanada) de una funcinlineal (plano), la determinacin de las cotas extremas de la parcelaexplanada (mxima y mnima) la ofrece directamente el programa dedibujo empleado (generalmente el CAD o los propios listados de la hojade clculo), por lo que el tema planteado no ofrece mayor dificultad. 384. No obstante, a efectos didcticos, veamos que procedera aplicar, parasu resolucin, los recursos grficos que ofrece la Programacin Lineal,que es una tcnica de la Investigacin Operativa. Si ello lo aplicamos alprimer ejemplo del captulo 6 de nuestro libro, con el plano definitivo deexplanacin de ecuacin: Z = 0061 + 0012 x + 0017 y ,que constituye la funcin objetivo con las siguientes restricciones o ecuacionescondicionantes dadas por la propia configuracin de la parcela del terreno problema:x 108y 52x0y0Si dibujamos ahora, sobre el plano X0Y, las 4 restricciones anteriormente enunciadas ydesplazamos paralelamente la funcin econmica u objetivo, obtendremos el siguientepolgono (rectngulo) convexo: Fig. A2-7. Solucin grfica del programa lineal.Obviamente, las soluciones del problema planteado se encuentran en los vrticesdel polgono convexo anterior, con el mximo en 1 (108,52,2241) y el mnimo en 15(0,0,0061).En el caso de tratarse del ajuste de una funcin no lineal, como los que se contemplanen el presente anexo (podra tratarse de una cudrica o de cualquier otra superficiecurva), procede la aplicacin de la programacin no lineal mediante el mtodo de 385. Karush-Kuhn-Tucker 94, cuya explicacin pormenorizada excede de los lmites delpresente libro, por los que nos remitiremos a la bibliografa especializada existente alrespecto.13.2. Mximos y mnimos condicionados por relaciones de igualdad En este caso, se trata de hallar los extremos relativos de la funcin de ajuste de la explanacin de una parcela dada por la ecuacin: 1 1 z = + x ycon la condicin x2 + y2 = 18. Formada la funcin de Lagrange 95 o lagrangiana: 1 1L( x, y, ) =+ + ( x 2 + y 2 18 ) x y se obtienen las derivadas parciales (condicin necesaria o de primer grado): 11 L x ( x, y, ) = 2+ 2 x = 0 ; L y ( x, y, ) = 2 + 2 y = 0xyde donde se deduce que:11 2 =3 = 3 xyo sea y = x; como x2 + y2 = 18, x = y = 3. Para el punto crtico (3,3),1 1 2 = , = 275494En matemticas, las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (tambin conocidas como las condicionesKKT o de Kuhn-Tucker) son condiciones necesarias y suficientes para que la solucin de un problema deprogramacin no lineal sea la ptima. En definitiva, se trata de una generalizacin del mtodo de losmultiplicadores de Lagrange que veremos a continuacin.95Joseph Louis Lagrange, bautizado como Giuseppe Lodovico Lagrangia, tambin llamado GiuseppeLuigi Lagrangia o Lagrange (25 de enero de 1736 en Turn - 10 de abril de 1813 en Pars) fue unmatemtico, fsico y astrnomo italiano que despus vivi en Prusia y Francia. Lagrange trabaj paraFederico II de Prusia, en Berln, durante veinte aos. Lagrange demostr el teorema del valor medio,desarroll la mecnica lagrangiana y tuvo una importante contribucin en astronoma. 386. y para el punto crtico (-3,-3),112 = , = 27 54Formando el determinante funcional hessiano orlado relevante (condicin suficiente o de segundo grado), se tiene: 0 2 22 H( x, y, ) = 0+ 20x3 2 20 + 2 y3Para el punto (3,3), resultar:0 22 0 2 2 121 1 8 H ( 3 ,3 ,)= 0 +0= 20 = 0, y > 0Las primeras derivadas parciales (condicin necesaria o de primer grado)son las siguientes: zx = 3x2y2(6 x y) x3y2 = x2y2(18 3x 3y x) == x2y2(18 4x 3y) = 0zy = 2x3y(6 x y) x3y2 = x3y(12 2x 2y y) == x3y(12 2x 3y) = 0 Los nicos valores que verifiquen x > 0, y > 0, se obtendrn de 18 4x 3y = 0 y 12 2x 3y = 0 o sea, sern las soluciones del sencillo sistema de ecuaciones lineales,compatible y determinado:4x + 3y = 182x + 3y = 12de donde x = 3, y = 2. 388. A continuacin, se obtienen las derivadas segundas (condicin suficiente o de segundo grado), para formar el determinante funcional hessiano, esto es:zx2 = 2xy2(18 4x 3y) 4x2y2 = 2xy2(18 4x 3y 2x) = = 2xy2(18 6x 3y)zxy = 2x2y(18 4x 3y) 3x2y2 = x2y(36 8x 6y 3y) == x2y(12 2x 6y) zy2 = x3(123 2x 3y) 3x3y = x3(12 2x 3y 3y) = = x3(12 2x 6y)que substituyendo los valores: x = 3, y = 2, toman los valores respectivosde -144, -108 y -162.Por lo tanto, se tendr: 144 108 H( 3,2 ) == 11.664 > 0, y como 144 < 0 108 162podremos afirmar que en el punto (3,2) existe un mximo relativo de valor: z = 27 x 4 x 1 = 108.ANEXO 3 RESTANTES ESPECIFICACIONESMETODOLGICASI. LA DISTRIBUCIN NORMAL1. LA DISTRIBUCIN TERICA DE PROBABILIDAD 389. A lo largo de nuestro libro, y en las ciencias aplicadas en general, seutilizan profusamente conceptos relacionados con la distribucin tericade probabilidad normal, tipificada o no; de ah el inters de desarrollaraqu algunas ampliaciones conceptuales que puedan resultar de utilidadpara una mejor comprensin de los estudios y determinacionesefectuadas en algunos captulos del presente libro. Por otra parte, elsignificado fsico del CV (coeficiente de variacin de Pearson) se deduceclaramente si aceptamos que todos los valores de la variable elegida enel estudio (por ejemplo, la cota taquimtrica de los diversos puntos deuna parcela o solar), se distribuyen de acuerdo con la curvacampaniforme de una distribucin normal y, por lo tanto, se tendr losiguiente:a) Prcticamente, todos los valoresobservadosse hallarncomprendidos en el entorno: (1 3 CV) X .b) Aproximadamente, el 95% de las observaciones se encuentrancomprendidas en el entorno: (1 2 CV) X .c) Si se toman las N/4 observaciones o cotas taquimtricas de valoresms bajos del total de los N valores medidos de la variable en cuestin(cuyo valor superior ser el primer cuartil Q1 de la distribucin defrecuencias), su media aritmtica ser igual a: q25=(1-127 CV) X .d) EL 6827% de las observaciones realizadas estarn comprendidas enel intervalo: (1 CV) X .Desde luego, la ecuacin matemtica de la funcin de la distribucinnormal sin tipificar viene dada por la expresin: y = 1 / 2 e -1/2 ( x -/ ) 2, en la que se ha tomado, como es usual, X = , y que coincide con laexpresin matemtica de la clebre "ley de los errores", debida a KarlGauss, siendo y = f(x) la denominada "funcin de densidad normal".De esta definicin se deduce que no hay una nica distribucin normalsino una familia de distribuciones, resultante de los diferentes valores delos parmetros y .Veamos ahora que la expresin de la funcin de densidad normal sintipificar est bien definida, es decir, es una funcin de densidad.Evidentemente f(x) > 0 por la propia definicin, pero necesitamos probarque la integral impropia de primera especie extendida a toda la recta realvale la unidad (probabilidad total). 390. ( x - )2 + 1 - 2 e 22 dx = 1Para ello hacemos el cambio de variable:x- z= de donde: dx = dzSustituyendo en la expresin anterior, tenemos la tipificacin:( x - )2 z2 z2+ 11+ 2 + dx = dz = 22e e2e 2 dz - 2 2 - 2 0Haciendo un nuevo cambio de variable:z2 = v2de donde:1 z =2vydz = dv2vresultando que la integral anterior ser 96: z2 1 2 +2 +11+- 2 0 e 2 dz = 2 0 e v 2v dv =0 e v v 2dv =1 1= = =1 2 con lo cual tenemos probado que la expresin anteriormente relacionadaes una funcin de densidad.As mismo, se tendr que:96 La funcin gamma de p, (p), se define como: (p) = 0 x p -1 e - x dx, p > 0y se puede ver que:11 (p) = (p - 1)! , (1) = 1 y =20x 2e - x dx = 391. F(x i ) = P(x x i ) = P(- < x x i ) = f (x )dxxi-, es la denominada funcin de distribucin normal, que es laprobabilidad de que la variable aleatoria estadstica tome un valor xi.Las reas comprendidas bajo la curva normal y hasta el eje de abscisasrepresentan probabilidades; en estas condiciones, veamos que laprobabilidad de que: x ]x1, x2] ser: P(x 1 < x x 2 ) = F(x 2 ) F(x 1 ) = P(x x 2 ) P(x x 1 ) =f (x )dx f (x )dx = f (x )dx. x2x1x2 = --x1Como ya hemos visto, cuando la variable aleatoria estadstica queestamos investigando x viene expresada en unidades de desviacin: Z =(x-)/, se tiene la distribucin normal tipificada, as:2y = 1 / 2 e -z/2, y decimos que la variable Z se distribuye normalmente con media cero( = 0) y varianza uno (2 = 1).Vamos a proceder, seguidamente, al estudio ms pormenorizado deambas curvas.1) Como acabamos de ver, la ecuacin de la curva normal tipificadaes: 2y = 1 / 2 e -z /2 ; = 0 ; 2 = 1 ,que es la funcin de densidad normal reducida. Extremos relativos y puntos de inflexin:Se tiene: ( z ) = 02 y = 1 / 2 e -z /2;z = 0 (origen) ;y" = 1 / 2 e - z2/2 ( ) z 2 1 ; Z = 0 y" = 1 / 2 < 0luego existe un mximo relativo o local en el punto (0, 1 / 2 ), deinterseccin con el eje de ordenadas OY, y no habr interseccin con eleje de abscisas OZ a distancia finita, esto es:y=0: Z=+y Z=- . 392. De y" = 0, o sea: Z2-1 = 0, saldrn los puntos de inflexin, que son: Z =+1; o sea, los puntos de coordenadas: (1, 1 / 2 e ) y (-1, 1 / 2 e ). Crecimientos y decrecimientos: Z < 0 y> 0 CRECIENTEVeamos que Z > 0 y< 0 DECRECIENTE Asntotas:2 lm. 1/ 2 e -z /2 = 1/ 2 e = 1/ 2 1/ e = 1/ = 0 Z +2 lm. 1/ 2 e - z/2 = 1/ 2 e = 1/ 2 1/ e = 1/ = 0 Z , luego tiene por asntota horizontal (rama hiperblica) el eje OZ. No tieneotras ramas infinitas o ramas parablicas.Simetras:- Respecto al eje OY, pues al cambiar (Z) por (-Z), no sufre variacin (setrata de una funcin par).Concavidades y convexidades: 2( )De: y" = 1 / 2 e -z /2 z 2 1 , se deduce 97 que, segn los diferentesintervalos de la recta real: Z ]-, -1[ y" > 0 CNCAVA Z ]-1, -1[ y" < 0 CONVEXAZ ]1, +[ y" > 0 CNCAVASu representacin grfica, en definitiva, ser la siguiente:97 En este caso consideramos que una funcin es cncava si fijado un vector unitario en el semiejepositivo OY, dicho vector est en el mismo semiplano (determinado por las rectas tangentes a la funcin)que la funcin. En caso contrario (distintos semiplanos) se dice convexa. Para calcular los intervalos laconcavidad y convexidad de una funcin cualquiera seguiremos los siguientes pasos: 1. Hallamos laderivada segunda y calculamos sus races. 2. Formamos intervalos abiertos con los ceros (races) de laderivada segunda y los puntos de discontinuidad (si los hubiese). 3. Tomamos un valor de cada intervaloy hallamos el signo que tiene en la derivada segunda. Si f(x) > 0 es cncava. Si f(x) < 0 es convexa. 393. Fig. A3-1. Curva de distribucin normal tipificada.Veamos que en esta distribucin terica de probabilidad, como en todas las simtricas,se cumple, como puede observarse fcilmente, la igualdad entre la media aritmtica, lamediana y la moda, valores que, en este caso, coinciden con cero.2) La ecuacin de la curva normal sin tipificar es:y = 1/ 2 e - ( X- ) 2 /2 2(funcin de densidad normal)Asntotas: lm. y = 1/ 2 e - ( X- ) 2 /2 2= 1/ 2 e - = 0 ; X+ lm. y = 1/ 2 e -( X- ) 2 /2 2= 1/ 2 e - = 0X - , luego tiene por asntota horizontal (rama hiperblica) el eje de abscisasOX. No tiene otras ramas infinitas o ramas parablicas.Cortes con los ejes:2 2Cortar al eje OY en el punto (0, 1 / 2 e - /2 ) y no cortar al eje OX adistancia finita.Extremos relativos y puntos de inflexin: 394. y = 1 / 2 e - (x - )2/2 2[ ] ( x ) / 2 = y ( x ) / 2 = 0 ; x = y" = y ( - x ) / 2 - y 1/ 2 = y ( - x ) / 2 [ ]2 y 1/ 2 =[ = y ( - x ) / 4 y 2 / 4 = y ( - x ) 2 / 4 ;2 2] ( x = y" = y - / = y/ < 0 2) 4 2luego existe un mximo relativo o local en el punto de coordenadas:(a, 1 / 2 ).Por otra parte, de y"=0, o sea: ( - x)2 = 2, saldrn los puntos deinflexin, que son: (- x) = ; o sea: x = +, o bien x = -, esto es,los puntos de las coordenadas cartesianas rectangulares:( + , 1/ 2 e )( y - , 1/ 2 e ), siendo convexa la curva entre dichos puntos, y cncava en el restodel intervalo de existencia, como puede comprobarse del estudio dela segunda derivada y". As pues, la curva en cuestin es cncavahacia la regin positiva de OY, para: - < x < -, y para + < x < + , y cncava hacia la regin negativa del eje de ordenadas (convexahacia las y+) en el intervalo o dominio de definicin: - < x < +.Simetras:La curva es simtrica con respecto a la ordenada correspondiente alpunto , por ser una funcin par con respecto a la diferencia: (x-).Crecimientos y decrecimientos: x < y > 0 CRECIENTEVeamos que x > y < 0 DECRECIENTESu representacin grfica ser: 395. Fig. A3-2. Curva de distribucin normal sin tipificar.2. LAS REAS BAJO LA CURVA NORMALEl estudio detenido que acabamos de realizar, desde el punto de vistadel anlisis matemtico, de las distribuciones normales tipificadas y sintipificar, nos permitir aprovechar los conocimientos que la cienciaestadstica proporciona acerca de dicha distribucin terica defrecuencias para obtener ciertas conclusiones de tipo cuantitativo, degran aplicacin en el anlisis de la uniformidad de las variablesaltimtricas como la cota taquimtrica o la altitud.Y as, se tendr lo siguiente: Tabla A3-1. Intervalos en la distribucin normal. % de casosINTERVALOS 5000 [(1 - 068CV)X , (1 + 068 CV) X ] 6424 [(1 - 092CV)X , (1 + 092 CV) X ] 6827 [(1 - CV) X , (1 + CV) X ] 9500 [(1 - 196CV)X , (1 + 196 CV) X ] 9545 [(1 - 2CV) X , (1 + 2CV) X ] 9900 [(1 - 258CV)X , (1 + 258 CV) X ] 9973 [(1 - 3CV) X , (1 + 3CV) X ] , intervalos que podran representarse, grficamente, del siguiente modo: 396. Fig. A3-3. rea del 6827%.Fig. A3-4. rea del 9545%.Fig. A3-5. rea del 9973%.El resumen conjunto de los tres grficos anteriores puede verse en elsiguiente: 397. Fig. A3-6. Diferentes reas bajo la curva de distribucin normal. f (x )dx (multiplicadas xEn la siguiente tabla se presentan las reas:0por 1.000) bajo la curva de distribucin normal. A saber:Tabla A3-2. reas bajo la curva normal.De aqu, pueden resolverse las siguientes cuestiones:a) rea total bajo la curva normal y probabilidad de que la variablealtimtrica cota tome un valor cualquiera de su recorrido o campode variacin (de - a +).La simple observacin de la tabla anterior nos dice que el rea bajo la curva normal,desde 0 a 39, toma el valor: 398. 49995 / 1.000 = 049995 05Por la simetra de la curva de Gauss, sta es la mitad del rea total, quevale la unidad. Por otra parte, la probabilidad de que la variablealtimtrica en estudio x tome cualquier valor es la certeza absoluta; porello, su valor es la unidad, en virtud del axioma o postulado que reza quela probabilidad de un suceso cierto vale 1 (probabilidad total).b) rea bajo la curva determinada por las ordenadas en losextremos de los intervalos (1, 2) y (-1, -2). Cul es el valor de laprobabilidad de que la variable altimtrica x tome un valorcomprendido entre 1 y 2? Y entre -2 y -1?Segn puede verse en la tabla anterior, las reas bajo la curvacomprendidas entre el eje de ordenadas (x=0) y las ordenadas x=2 yx=1, son, respectivamente:477 / 1.000 = 0477y341 / 1.000 = 0341 ;entonces, el rea pedida ser la diferencia:f (x )dx - f (x )dx = 0477 - 0341 = 0136 = f (x )dx = 136%2 1 20 01que es tambin la probabilidad de que la variable altimtrica x tome unvalor comprendido entre 1 y 2, por la propiedad aditiva del intervalo deintegracin en las integrales definidas.El rea comprendida entre las ordenadas x = -2 y x = -1 es la mismaanterior y la probabilidad de que x tome un valor del intervalo (-2, -1) estambin igual, en virtud de la simetra de la figura, a: f (x ) dx = 0136 -1 -2 y P(-2 < x < -1) = 0136 .c) Intervalo (-a, a) cuyas ordenadas extremas delimiten el 50 por 100del rea total existente bajo la curva normal y su expresinprobabilstica.Hemos de encontrar ahora un valor x = a, tal que delimite hasta el eje deordenadas el 25 por 100 del rea total (por simetra, el intervalo [-a, 0]delimitar el otro 25 por 100).Segn la tabla, este valor comprendido entre x = 06 y x = 07, y lasreas respectivas, a saber, 0226 y 0258, incluyen la de valor 0250pedido. 399. De la proporcin:0258 - 0226 0250 - 0226 = 07 - 06 a - 06obtendremos el valor: a = 068, con lo que:f (x )dx = 050 068 - 068 y P(-068 < x < 068) = 050 .d) Valor de a tal que las colas (reas a la izquierda de -a y a laderecha de +a) que existen bajo la curva normal sumen el 5 por 100del rea total.El rea de cada cola debe medir el 25 por 100 del rea total; entonces elvalor de a ha de satisfacer la condicin: f (x )dx = 0500 - 0025 = 0475a0Segn la tabla, este valor de a est comprendido entre 19 y 20 y sepuede estimar segn la proporcin:477 - 471 475 - 471 =; a = 19667 2. 2 - 19 a - 19En la prctica, se suelen tomar los valores de -2 y 2 para definir la coladel 5 por 100, o lo que es igual: P(-2 < x < 2) = 095 .Habida cuenta de su inters para la realizacin de este tipo de clculos, acontinuacin se presenta una tabla que ofrece las reas existentes bajola curva normal tipificada, limitadas por la ordenada z = 0 y cualquiervalor positivo de z.A partir de esta misma tabla, se pueden encontrar las reascomprendidas entre dos ordenadas cualesquiera, utilizando la simetrade la curva de Gauss en relacin al eje de ordenadas z = 0. Por ltimo,se incluye tambin una tabla con los valores de las ordenadas (y) de lacurva normal tipificada para los diferentes valores de z.Vemoslas a continuacin: 400. Fig. A3-7. reas bajo la curva normal tipificada de 0 a z. 401. Fig. A3-8. reas bajo la curva normal tipificada de - a z. 402. Fig. A3-9. Ordenadas (y) de la curva normal tipificada en z. 403. II. LA PRUEBA DEL CHI-CUADRADO1. FRECUENCIAS OBSERVADAS Y TERICASEn diferentes partes de nuestro estudio se recurre al uso de ladistribucin terica de probabilidad Chi-cuadrado con el objetivo decontrastar ciertas hiptesis y poder comparar la dificultad de explanacinde un terreno. Particularmente, por lo que se refiere a la determinacinobjetiva del denominado grado de explanacin de un terreno C, queaqu hemos definido.Como ya se ha visto muchas veces, los resultados obtenidos de lasmuestras de una poblacin o universo no siempre concuerdanexactamente con los resultados tericos estimados, segn las reglas deprobabilidad.Por ejemplo, aunque las consideraciones tericas basadas en laequiprobabilidad laplaciana 98 (a priori) o en la probabilidad frecuencialistade Von Mises 99 (a posteriori) nos lleven a esperar obtener 50 caras y 50cruces cuando se lanza al aire 100 veces aleatoriamente una monedabien hecha, es raro que se obtengan exactamente estos mismosresultados.Supongamos ahora que, en una determinada muestra, se observan unaserie de posibles sucesos: E1, E2, E3, ... , Ek (ver el cuadro siguiente)que pasan con frecuencias: o1, o2, o3, ... , ok, llamadas frecuenciasobservadas y que, segn las reglas de probabilidad, se espera queocurran con frecuencias: e1, e2, e3, ... ,ek, llamadas frecuencias tericas oesperadas.98 El gran matemtico, fsico y astrnomo francs Pierre-Simon Laplace (1749-1827) tambin trabaj enla Teora de la Probabilidad, y en particular dedujo el mtodo de los mnimos cuadrados. Su "ThorieAnalytique des Probabilits" se public en 1812. La primera formulacin explcita del concepto de leyesdel azar se debe al famoso matemtico y fsico Cardano, quien en 1526 establece, por condiciones desimetra, la equiprobabilidad de aparicin de las caras de un dado a largo plazo. Tambin se conserva unfragmento de Galileo, respondiendo a un jugador que le pregunt por qu es ms difcil obtener 9 tirandotres dados que obtener 10, lo que pone de manifiesto que comprendi claramente el mtodo de calcularprobabilidades en el juego de dados. Sin embargo, tardaron todava en aparecer los primeros tratadossobre el tema.99 Hacia el ao 1920 el matemtico Von Mises presenta un nuevo concepto de probabilidad, quecorresponde a un lmite especial, cuando n tiende a infinito, de la frecuencia relativa o cociente de dividirel nmero de veces o frecuencia absoluta v que aparece en un suceso S por el nmero de veces n que serealiza o repite un determinado experimento o prueba. Los tratadistas del Clculo de Probabilidadesrecogieron la idea de Von Mises como un postulado emprico, al que denominaron la ley emprica delcaso y tal idea la ha recogido la moderna Estadstica no como un postulado, sino ms bien como unabase o imagen emprica que han tenido presente los estadsticos que han elaborado teoras formalesbasadas en el concepto de frecuencia. 404. Tabla A3-3. Frecuencias observadas y esperadas de la prueba del Chi-cuadrado. SUCESOSE1E2 E3...Ek Frecuencia o1o2 o3... ok observada Frecuencia e1e2 e3ek ...esperadaA menudo se desea saber si las frecuencias observadas difierensignificativamente de las frecuencias esperadas. Para el caso en quesolamente son posibles dos sucesos: E1 y E2 (que suele denominarsedicotoma o clasificacin dicotmica), como, por ejemplo, caras y cruces,defectuoso o no defectuoso, blanco y negro, etc., el problema quedaresuelto satisfactoriamente con los mtodos clsicos. En este apartadoaclaratorio, se considera el problema general.2. DEFINICIN DE 2Una medida de la discrepancia o divergencia existente entre lasfrecuencias realmente observadas y las esperadas o tericas, es lasuministrada por el conocido estadgrafo 2 de Pearson, dado por laexpresin: (o e1 )2 + (o 2 e 2 )2(o e k )2 k (o ej )2 j 2= 1 + ... + k=(1)e1e2 ekj=1ejdonde si el total de estacas o vrtices del terreno analizado es N,tendremos:oj = ej = N (2)Una explicacin equivalente a la ofrecida por la (1) es la siguiente: o2 =j N (3) 2 ejEn la terminologa topogrfica que venimos empleando en el presentelibro, se considera: oj = Yi y ej = Ti. Pues bien, si 2 = 0, las cotasobservadas del terreno natural y las corregidas mediante la nivelacinptima que aqu se propugna concuerdan exactamente; mientras que si2>0, no coinciden exactamente. Para mayores valores de 2, mayoresson tambin las discrepancias existentes entre las cotas observadas ylas tericamente estimadas. 405. La distribucin muestral de 2 se aproxima muy estrechamente a ladistribucin terica de probabilidad Chi-cuadrado, cuya grfica puedeverse en la siguiente figura para diferentes valores de , de configuracinanaltica:1 ( v -2)- 1 2 - 1 2Y = Yo ( 2 )2e2= Yo v -2 e2 (4)si los valores estimados son al menos iguales a 5; la aproximacinmejora para valores superiores. Por esto debemos siempre procurar quelas cotas relativas con las que trabajamos no resulten, en ningn caso,inferiores a 5 m., razn por la cual habr que efectuar las correccionespropuestas en el captulo correspondiente. Aqu es el nmero degrados de libertad, Y0 es una constante que depende de con lo cual,lgicamente, el rea total bajo la curva vale 1. Algunas distribuciones 2correspondientes a diferentes valores de se muestran en la siguientefigura: Fig. A3-10. Distribuciones de Chi-cuadrado para diferentes valores de .El valor mximo que alcanza Y se presenta en 2 = - 2, para 2.Por otra parte, el nmero de grados de libertad a tener en cuenta viene dado por: 406. a) = N - 1, si las cotas esperadas o resultantes de la nivelacin quepropugnamos pueden calcularse sin haber de estimar parmetrospoblacionales con los estadsticos muestrales. Advirtindose que elrestar 1 a N es a causa de la condicin restrictiva (2) que denota que sison conocidas (N-1) de las cotas esperadas, la cota restante puede serdeterminada.b) = N - 1 - m, si las cotas esperadas o definitivas del proceso denivelacin solamente pueden calcularse estimando m parmetros de lapoblacin de cotas a partir de los estadsticos muestrales.3. ENSAYOS DE SIGNIFICACINEn la prctica, las cotas son esperadas de acuerdo con una hiptesis H0.Si bajo esta hiptesis el valor calculado de 2 dado por las expresiones(1) o (3) es mayor que algn valor crtico (tal como puede ser 2o 0952, que son valores crticos en los niveles de significacin del 005 y 099001, respectivamente), se deduce que las cotas observadas difierensignificativamente de las esperadas o definitivas y se rechaza la hiptesisnula H0 al nivel de significacin correspondiente. En caso contrario, seaceptar, o al menos no se rechazar. Este procedimiento se llamaensayo o prueba de Chi-cuadrado de la hiptesis.Se debe advertir que, en aquellas circunstancias en que 2 est muyprximo a cero, ha de mirarse el procedimiento empleado con ciertorecelo, ya que es raro que las cotas observadas concuerdensuficientemente bien con las esperadas o resultantes de la nivelacin,salvo en aquellos terrenos naturales suficientemente llanos. Paraexaminar objetivamente estas situaciones, se puede determinar si elvalor calculado de 2 es menor que: 2005 o bien 2001,respectivamente.4. LA PRUEBA CHI-CUADRADO PARA LA BONDAD DELAJUSTELa prueba Chi-cuadrado tambin puede ser utilizada para determinar dequ manera ciertas distribuciones tericas de probabilidad, como puedenser la normal, binomial, hipergeomtrica, de Euler, etc., se ajustan adistribuciones empricas, es decir, aquellas que se obtienen de los datosmuestrales o cotas taquimtricas iniciales del terreno natural. En nuestrocaso, como ya se ha visto, puede servir para determinar la bondad delajuste de diversas funciones de variables altimtricas de inters. 407. 5. TABLAS DE CONTINGENCIALa tabla anterior A3-3, en la cual las frecuencias observadas ocupan unasola fila, es una tabla de clasificacin simple. Ya que el nmero decolumnas es k, tambin se llama tabla 1k. Desarrollando esta idea, sellega a las tablas de clasificacin doble o tablas hk, en las cuales lasfrecuencias observadas ocupan h filas y k columnas. Estas tablas sellaman, normalmente, tablas de contingencia.Correspondindose con cada frecuencia real u observada en una tablade contingencia hk, hay una frecuencia terica o esperada que secalcula bajo alguna hiptesis y segn las reglas clsicas de laprobabilidad. Estas frecuencias, que ocupan las casillas de una tabla decontingencia, se llaman frecuencias elementales. La frecuencia total decada fila o columna es la llamada frecuencia marginal.Para estudiar el acuerdo entre las frecuencias observadas y lasesperadas, se calcula, como ya se ha dicho, el estadstico:(o ej )2 j = 2, (5) ejdonde la suma se extiende a todas las casillas de la tabla decontingencia; los smbolos oj y ej representan, respectivamente, lasfrecuencias observadas y las esperadas en la casilla j. Esta suma, que esanloga a (1), contiene hk trminos. La suma de todas las frecuenciasobservadas se denota por N y es igual a la suma de todas lasfrecuencias esperadas.Como antes, el estadstico (5) tiene una distribucin muestral muyestrechamente aproximada a la dada por (4), con tal de que lasfrecuencias esperadas no sean demasiado pequeas. El nmero degrados de libertad de esta distribucin Chi-cuadrado viene dado, por h>1,k>1 por:(a) = (h-1) (k-1), si las frecuencias esperadas pueden calcularse sintener que estimar parmetros poblacionales con los estadsticosmuestrales.(b) = (h-1) (k-1) m, si las frecuencias observadas pueden solamentecalcularse estimando m parmetros poblacionales con los estadsticosmuestrales. 408. Los ensayos de significacin para tablas hk son anlogos a los de lastablas 1k. Las frecuencias esperadas se buscan bajo una determinadahiptesis Ho. Una hiptesis normalmente supuesta es aquella en la cuallas dos clasificaciones son independientes entre s.Las tablas de contingencia pueden extenderse a un nmero mayor dedimensiones. As, por ejemplo, se pueden tener tablas hkl donde estnpresentes tres clasificaciones.6. CORRECCIN DE YATES PARA LA CONTINUIDADCuando se aplican a datos discretos los resultados para distribuciones continuas,se deben hacer unas determinadas correcciones, como ya se ha sealado en eltexto. Una correccin anloga es aplicable cuando se utiliza la distribucin Chi-cuadrado. La correccin consiste en poner la expresin (1) de la siguiente forma:(o1 e 1 05 )2(o 2 e 2 05 ) 2 (o k e k 05 )2 (corregida ) = 2++ ... +=e1 e2 ek=K (o j e j 05)2j=1ej(6)que se conoce frecuentemente como correccin de YATES. Tambinexiste una modificacin anloga de la formulacin (4).En general, la correccin se hace solamente cuando el nmero degrados de libertad es =1, por lo que en nuestro caso prcticamente notendr aplicacin, habida cuenta de que el nmero de grados de libertadcasi siempre ser mayor.En muestras grandes, se obtienen prcticamente los mismos resultadosque la 2 no corregida, pero pueden aparecer ciertas dificultades enrelacin con los valores crticos. Para muestras pequeas, donde cadafrecuencia esperada se encuentra entre 5 y 10, puede ser que sea mejorcomparar los valores de 2 corregido y de 2 no corregido. Si ambosvalores conducen a la misma conclusin segn una cierta hiptesis, talcomo despreciarla en el nivel de significacin del contraste del 005,raramente se presentan dificultades. Si conducen a conclusionesdiferentes, se puede o bien incrementar las dimensiones muestrales o, siesto no fuera posible, se pueden utilizar mtodos de probabilidadexactos, de acuerdo con la distribucin multinomial. 409. La distribucin multinomial constituye una generalizacin de ladistribucin binomial. En este caso, en un experimento interesa estudiarno la ocurrencia de un nico suceso o la de su contrario, sino la de variossucesos (tres o ms). La distribucin multinomial es esencialmente iguala la binomial con la nica diferencia de que cada prueba tiene ms dedos posibles resultados mutuamente excluyentes.Si tenemos K resultados posibles (Ei , i = 1, ... , K) con probabilidadesfijas (pi , i = 1, ... , K), la variable que expresa el nmero de resultadosde cada tipo obtenidos en n pruebas independientes tiene unadistribucin multinomial.Esta ltima se basa en que si los sucesos E1, E2, .., Ek, pueden ocurrircon probabilidades respectivas: p1, p2, , pk, entonces la probabilidad deque: E1, E2, , Ek, ocurran X1, X2, , Xk, veces respectivamente, vienedada por la expresin: k N! p ixix x xN! (N! / X1!X 2 !...Xk ! )p1 1 p 2 2 ...pk k = p1 1 p 22 ...p k k = x x x i=1 ,X1!X 2 !... Xk !kX ! i=1 ikdonde: X1 + X2 + + Xk = Xi=1i = N.Esta distribucin terica de probabilidad, que constituye unageneralizacin de la conocida distribucin binomial, se llama distribucinmultinomial, ya que la expresin anterior es el trmino general deldesarrollo multinomial: (p1 + p2 + + pk)N. Los nmeros tericos a vecespara que ocurran los sucesos: E1, E2, , Ek, en N repeticiones, son: Np1,Np2,, Npk, respectivamente.Adems, cada una de las n variables, Xi, que forman una multinomialM(n,p1,,pn) siguen distribuciones binomiales B(m,pi), es decir, lasdistribuciones marginales de una multinomial son binomiales, por tanto,la esperanza y la varianza de cada una de estas variables es, E[Xi]=mpiy Var(Xi)=mpi(1-pi). Estos momentos de las variables componentes deuna multinomial se pueden agrupar en forma de matriz dando lugar a lasdenominadas matriz de esperanzas y matriz de varianzas-covarianzas, que recogen las caractersticas tericas principales de ladistribucin multinomial (medias, varianzas y covarianzas).La distribucin 2 de Pearson aparece, naturalmente, en la teora asociada a la suma de los cuadrados de las variables aleatoriasindependientes e igualmente distribuidas segn una distribucinnormal. 410. Conviene, en definitiva, para la realizacin de dichos clculos, el manejo de la tabla de percentiles de la distribucin 2, a saber:Fig. A3-11. Percentiles de la distribucin 2 de Pearson (I). 411. NOTA: Para valores grandes de los grados de libertad se puede utilizar la frmula aproximada:322 = n1 2 9n + Z 9n siendo Z la desviacin normal y n el nmero de grados de libertad. As, v. gr.: 99 2= 60 (1 000370 + 2326 006086)3 = 60 (11379)3 = 884 para el percentil 99 con 60 grados de libertad. 412. Fig. A3-12. Percentiles de la distribucin 2 de Pearson (II).III. FUNCIONES DE DENSIDAD Y DE DISTRIBUCIN1. GENERALIDADESEn el estudio de las diversas funciones aplicadas a la distribucin de lasvariables topogrficas que aqu nos ocupan, pueden ser de aplicacin losconceptos estadsticos de funcin de distribucin y de funcin dedensidad.Conviene, al respecto, recordar la definicin de "funcin de distribucinF(x) para una variable aleatoria continua", como:x F(x) = P(X x) = P(- < X x) = f(u)du (1)-En los puntos de continuidad de f(x), el signo se puede, si se desea,sustituir por el