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Ejercicios de derivadas e integrales Este material puede descargarse desde http://www.uv.es/~montes/biologia/matcero.pdf Departament d’Estad´ıstica i Investigaci´o Operativa Universitat de Val`encia Derivadas Reglas de derivaci´ on Suma d dx [f(x) + g(x)] = f (x) + g (x) d dx [kf(x)] = kf (x) Producto d dx [f(x)g(x)] = f (x)g(x) + f(x)g (x) Cociente d dx _ f(x) g(x) _ = f (x)g(x) − f(x)g (x) g(x) 2 d dx {f[g(x)]} = f [g(x)]g (x) Regla de la cadena d dx {f(g[h(x)])} = f (g[h(x)])g [h(x)]h (x) d dx (x k ) = kx k−1 d dx [f(x) k ] = kf(x) k−1 f (x) Potencia d dx ( √ x) = d dx (x 1/2 ) = 1 2 √ x d dx [ _ f(x)] = f (x) 2 _ f(x) d dx _ 1 x _ = d dx (x −1 ) = − 1 x 2 d dx _ 1 f(x) _ = − f (x) f(x) 2 2 Reglas de derivaci´ on (continuaci´ on) d dx (sinx) = cos x d dx [sinf(x)] = cos f(x)f (x) Trigonom´etricas d dx (cos x) = −sinx d dx [cos f(x)] = −sinf(x)f (x) d dx (tanx) = 1 + tan 2 x d dx [tan f(x)] = [1 + tan 2 f(x)]f (x) d dx (arcsinx) = 1 √ 1 − x 2 d dx [arcsinf(x)] = f (x) _ 1 − f(x) 2 Funciones de arco d dx (arc cos x) = −1 √ 1 − x 2 d dx [arc cos f(x)] = −f (x) _ 1 − f(x) 2 d dx (arctanx) = 1 1 + x 2 d dx [arctanf(x)] = f (x) 1 + f(x) 2 d dx (e x ) = e x d dx (e f(x) ) = e f(x) f (x) Exponenciales d dx (a x ) = a x lna d dx (a f(x) ) = a f(x) lnaf (x) d dx (lnx) = 1 x d dx (ln f(x)) = f (x) f(x) Logar´ıtmicas d dx (lg a x) = 1 x 1 lna d dx (lg a f(x)) = f (x) f(x) 1 lna 3 Ejercicios de derivadas 1. Determinar las tangentes de los ´angulos que forman con el eje positivo de las x las l´ıneas tangentes a la curva y = x 3 cuando x = 1/2 y x = −1, construir la gr´afica y representar las l´ıneas tangentes. Soluci´on.- a) 3/4, b) 3. 2. Determinar las tangentes de los ´angulos que forman con el eje positivo de las x las l´ıneas tangentes a la curva y = 1/x cuando x = 1/2 y x = 1, construir la gr´afica y representar las l´ıneas tangentes. Soluci´on.- a) -4, b) -1. 3. Hallar la derivada de la funci´on y = x 4 + 3x 2 − 6. Soluci´on.- y = 4x 3 + 6x. 4. Hallar la derivada de la funci´on y = 6x 3 − x 2 . Soluci´on.- y = 18x 2 − 2x. 5. Hallar la derivada de la funci´on y = x 5 a+b − x 2 a−b . Soluci´on.- y = 5x 4 a+b − 2x a−b . 6. Hallar la derivada de la funci´on y = x 3 −x 2 +1 5 . Soluci´on.- y = 3x 2 −2x 5 . 7. Hallar la derivada de la funci´on y = 2ax 3 − x 2 b + c. Soluci´on.- y = 6ax 2 − 2x b . 8. Hallar la derivada de la funci´on y = 6x 7 2 + 4x 5 2 + 2x. Soluci´on.- y = 21x 5 2 + 10x 3 2 + 2. 9. Hallar la derivada de la funci´on y = √ 3x + 3 √ x + 1 x . Soluci´on.- y = √ 3 2 √ x + 1 3 3 √ x 2 − 1 x 2 . 10. Hallar la derivada de la funci´on y = (x+1) 3 x 3 2 . Soluci´on.- y = 3(x+1) 2 (x−1) 2x 5 2 . 11. Hallar la derivada de la funci´on y = 3 √ x 2 − 2 √ x + 5. Soluci´on.- y = 2 3 1 3 √ x − 1 √ x . 12. Hallar la derivada de la funci´on y = ax 2 3 √ x + b x √ x − 3 √ x √ x . Soluci´on.- y = 5 3 ax 2 3 − 3 2 bx − 5 2 + 1 6 x − 7 6 . 13. Hallar la derivada de la funci´on y = (1 + 4x 3 )(1 + 2x 2 ). Soluci´on.- y = 4x(1 + 3x + 10x 3 ). 14. Hallar la derivada de la funci´on y = x(2x − 1)(3x + 2). Soluci´on.- y = 2(9x 2 + x − 1). 4 15. Hallar la derivada de la funci´on y = (2x − 1)(x 2 − 6x + 3). Soluci´on.- y = 6x 2 − 26x + 12. 16. Hallar la derivada de la funci´on y = 2x 4 b 2 −x 2 . Soluci´on.- y = 4x 3 (2b 2 −x 2 ) (b 2 −x 2 ) 2 . 17. Hallar la derivada de la funci´on y = a−x a+x . Soluci´on.- y = − 2a (a+x) 2 . 18. Hallar la derivada de la funci´on f(t) = t 3 1+t 2 . Soluci´on.- f (t) = t 2 (3+t 2 (1+t 2 ) 2 . 19. Hallar la derivada de la funci´on f(s) = (s+4) 2 s+3 . Soluci´on.- f (s) = (s+2)(s+4) (s+3) 2 . 20. Hallar la derivada de la funci´on y = x 3 +1 x 2 −x−2 . Soluci´on.- y = x 4 −2x 3 −6x 2 −2x+1 (x 2 −x−2) 2 . 21. Hallar la derivada de la funci´on y = (2x 2 − 3) 2 . Soluci´on.- y = 8x(2x 2 − 3). 22. Hallar la derivada de la funci´on y = (x 2 + a 2 ) 5 . Soluci´on.- y = 10x(x 2 + a 2 ) 4 . 23. Hallar la derivada de la funci´on y = √ x 2 + a 2 . Soluci´on.- y = x √ x 2 +a 2 . 24. Hallar la derivada de la funci´on y = (a + x) √ a − x. Soluci´on.- y = a−3x 2 √ a−x . 25. Hallar la derivada de la funci´on y = _ 1+x 1−x . Soluci´on.- y = 1 (1−x) √ 1−x 2 . 26. Hallar la derivada de la funci´on y = 2x 2 −1 x √ 1+x 2 . Soluci´on.- y = 1+4x 2 x 2 (1+x 2 ) 3 2 . 27. Hallar la derivada de la funci´on y = 3 √ x 2 + x + 1. Soluci´on.- y = 2x+1 3 3 √ (x 2 +x+1) 2 . 28. Hallar la derivada de la funci´on y = (1 + 3 √ x) 3 . Soluci´on.- y = _ 1 + 1 3 √ x _ 2 . 5 29. Hallar la derivada de la funci´on y = sin 2 x. Soluci´on.- y = sin2x. 30. Hallar la derivada de la funci´on y = 2 sinx + cos 3x. Soluci´on.- y = 2 cos x − 3 sin3x. 31. Hallar la derivada de la funci´on y = tan(ax + b). Soluci´on.- y = a cos 2 (ax+b) . 32. Hallar la derivada de la funci´on y = sin x 1+cos x . Soluci´on.- y = 1 1+cos x . 33. Hallar la derivada de la funci´on y = sin2xcos 3x. Soluci´on.- y = 2 cos 2xcos 3x − 3 sin2xsin3x. 34. Hallar la derivada de la funci´on y = cot 2 5x. Soluci´on.- y = −10 cot 5xcsc 2 5x. 35. Hallar la derivada de la funci´on f(t) = t sint + cos t. Soluci´on.- f (t) = t cos t. 36. Hallar la derivada de la funci´on f(t) = sin 3 t cos t. Soluci´on.- f (t) = sin 2 t(3 cos 2 t − sin 2 t). 37. Hallar la derivada de la funci´on y = a √ cos 2x. Soluci´on.- y = − a sin 2x √ cos 2x . 38. Hallar la derivada de la funci´on y = 1 2 tan 2 x. Soluci´on.- y = tan xsec 2 x. 39. Hallar la derivada de la funci´on y = lncos x. Soluci´on.- y = −tanx. 40. Hallar la derivada de la funci´on y = lntanx. Soluci´on.- y = 2 sin 2x . 41. Hallar la derivada de la funci´on y = lnsin 2 x. Soluci´on.- y = 2 cot x. 42. Hallar la derivada de la funci´on y = tan x−1 sec x . Soluci´on.- y = sinx + cos x. 43. Hallar la derivada de la funci´on y = ln _ 1+sin x 1−sin x . Soluci´on.- y = 1 cos x . 44. Hallar la derivada de la funci´on f(x) = sin(lnx). Soluci´on.- f (x) = cos(ln x) x . 6 45. Hallar la derivada de la funci´on f(x) = tan(lnx). Soluci´on.- f (x) = sec 2 (ln x) x . 46. Hallar la derivada de la funci´on f(x) = sin(cos x). Soluci´on.- f (x) = −sinxcos(cos x). 47. Hallar la derivada de la funci´on y = ln 1+x 1−x . Soluci´on.- y = 2 1−x 2 . 48. Hallar la derivada de la funci´on y = log 3 (x 2 − sinx). Soluci´on.- y = 2x−cos x (x 2 −sin x) ln 3 . 49. Hallar la derivada de la funci´on y = ln 1+x 2 1−x 2 . Soluci´on.- y = 4x 1−x 4 . 50. Hallar la derivada de la funci´on y = ln(x 2 + x). Soluci´on.- y = 2x+1 x 2 +x . 51. Hallar la derivada de la funci´on y = ln(x 3 − 2x + 5). Soluci´on.- y = 3x 2 −2 x 3 −2x+5 . 52. Hallar la derivada de la funci´on y = xlnx. Soluci´on.- y = lnx + 1. 53. Hallar la derivada de la funci´on y = ln 3 x. Soluci´on.- y = 3 ln 2 x x . 54. Hallar la derivada de la funci´on y = ln(x + √ 1 + x 2 ). Soluci´on.- y = 1 √ 1+x 2 . 55. Hallar la derivada de la funci´on y = ln(lnx). Soluci´on.- y = 1 xln x . 56. Hallar la derivada de la funci´on y = e (4x+5) . Soluci´on.- y = 4e (4x+5) . 57. Hallar la derivada de la funci´on y = a x 2 . Soluci´on.- y = 2xa x 2 lna. 58. Hallar la derivada de la funci´on y = 7 (x 2 +2x) . Soluci´on.- y = 2(x + 1)7 (x 2 +2x) ln7. 59. Hallar la derivada de la funci´on y = e x (1 − x 2 ). Soluci´on.- y = e x (1 − 2x − x 2 ). 60. Hallar la derivada de la funci´on y = e x −1 e x +1 . Soluci´on.- y = 2e x (e x +1) 2 . 7 61. Hallar la derivada de la funci´on y = e sin x . Soluci´on.- y = e sin x cos x. 62. Hallar la derivada de la funci´on y = a tan nx . Soluci´on.- y = na tan nx sec 2 nxlna. 63. Hallar la derivada de la funci´on y = e cos x sinx. Soluci´on.- y = e cos x (cos x − sin 2 x). 64. Hallar la derivada de la funci´on y = e x ln(sinx). Soluci´on.- y = e x (cot x + ln(sinx)). 65. Hallar la derivada de la funci´on y = x 1 x . Soluci´on.- y = x 1 x _ 1−ln x x 2 _ . 66. Hallar la derivada de la funci´on y = x ln x . Soluci´on.- y = x ln x−1 lnx 2 . 67. Hallar la derivada de la funci´on y = x x . Soluci´on.- y = x x (1 + lnx). 68. Hallar la derivada de la funci´on y = e x x . Soluci´on.- y = e x x (1 + ln x)x x . 8 Integrales Tabla de integrales inmediatas _ x p dx = x p+1 p + 1 + C (p = −1) _ f(x) p f (x)dx = f(x) p+1 p + 1 + C (p = −1) _ 1 x dx = ln|x| + C _ f (x) f(x) dx = ln|f(x)| + C _ sinxdx = −cos x + C _ f (x) sinf(x)dx = −cos f(x) + C _ cos xdx = sinx + C _ f (x) cos f(x)dx = sinf(x) + C _ 1 cos 2 x dx = tanx + C _ f (x) cos 2 f(x) dx = tanf(x) + C _ 1 sin 2 x dx = −cot x + C _ f (x) sin 2 f(x) dx = −cot f(x) + C _ 1 1 + x 2 dx = arctan x + C _ f (x) 1 + f(x) 2 dx = arctan f(x) + C _ 1 √ 1 − x 2 dx = arcsin x + C _ f (x) _ 1 − f(x) 2 dx = arcsin f(x) + C 10 Tabla de integrales inmediatas (continuaci´ on) _ −1 √ 1 − x 2 dx = arc cos x + C _ −f (x) _ 1 − f(x) 2 dx = arc cos f(x) + C _ e x dx = e x + C _ f (x)e f(x) dx = e f(x) + C _ a x dx = a x lna + C _ f (x)a f(x) dx = a f(x) lna + C Ejercicios de integrales indefinidas 1. Calcular la integral _ x 5 dx. Soluci´on.- x 6 6 + C. 2. Calcular la integral _ (x + √ x)dx. Soluci´on.- x 2 2 + 2x √ x 3 + C. 3. Calcular la integral _ _ 3 √ x − x √ x 4 _ dx. Soluci´on.- 6 √ x − 1 10 x 2 √ x + C. 4. Calcular la integral _ x 2 √ x dx. Soluci´on.- 2 5 x 2 √ x + C. 5. Calcular la integral _ _ 1 x 2 + 4 x √ x + 2 _ dx. Soluci´on.- − 1 x − 8 √ x + 2x + C. 6. Calcular la integral _ 1 4 √ x dx. Soluci´on.- 4 3 4 √ x 3 + C. 11 7. Calcular la integral _ e 5x dx. Soluci´on.- 1 5 e 5x + C. 8. Calcular la integral _ cos 5xdx. Soluci´on.- sin5x 5 + C. 9. Calcular la integral _ sinaxdx. Soluci´on.- − cos ax a + C. 10. Calcular la integral _ lnx x dx. Soluci´on.- 1 2 ln 2 x + C. 11. Calcular la integral _ 1 sin 2 3x dx. Soluci´on.- − cot 3x 3 + C. 12. Calcular la integral _ 1 cos 2 7x dx. Soluci´on.- tan7x 7 + C. 13. Calcular la integral _ 1 3x − 7 dx. Soluci´on.- 1 3 ln|3x − 7| + C. 14. Calcular la integral _ 1 1 − x dx. Soluci´on.- −ln|1 − x| + C. 15. Calcular la integral _ 1 5 − 2x dx. Soluci´on.- − 1 2 ln|5 − 2x| + C. 16. Calcular la integral _ tan2xdx. Soluci´on.- − 1 2 ln| cos 2x| + C. 17. Calcular la integral _ sin 2 xcos xdx. Soluci´on.- sin 3 x 3 + C. 18. Calcular la integral _ cos 3 xsinxdx. Soluci´on.- − cos 4 x 4 + C. 12 19. Calcular la integral _ x √ x 2 + 1dx. Soluci´on.- 1 3 _ (x 2 + 1) 3 + C. 20. Calcular la integral _ x √ 2x 2 + 3 dx. Soluci´on.- 1 2 _ 2x 2 + 3 + C. 21. Calcular la integral _ cos x sin 2 x dx. Soluci´on.- − 1 sinx + C. 22. Calcular la integral _ sinx cos 3 x dx. Soluci´on.- 1 2 cos 2 x + C. 23. Calcular la integral _ tanx cos 2 x dx. Soluci´on.- tan 2 x 2 + C. 24. Calcular la integral _ cot x sin 2 x dx. Soluci´on.- − cot 2 x 2 + C. 25. Calcular la integral _ ln(x + 1) x + 1 dx. Soluci´on.- ln 2 (x + 1) 2 + C. 26. Calcular la integral _ cos x √ 2 sin x + 1 dx. Soluci´on.- √ 2 sinx + 1 + C. 27. Calcular la integral _ sin2x (1 + cos 2x) 2 dx. Soluci´on.- 1 2(1 + cos 2x) + C. 28. Calcular la integral _ sin2x _ 1 + sin 2 x dx. Soluci´on.- 2 _ 1 + sin 2 x + C. 29. Calcular la integral _ √ tanx + 1 cos 2 x dx. Soluci´on.- 2 3 _ (tanx + 1) 3 + C. 13 30. Calcular la integral _ ln 2 x x dx. Soluci´on.- ln 3 x 3 + C. 31. Calcular la integral _ arcsinx √ 1 − x 2 dx. Soluci´on.- arcsin 2 x 2 + C. 32. Calcular la integral _ x x 2 + 1 dx. Soluci´on.- 1 2 ln(x 2 + 1) + C. 33. Calcular la integral _ x + 1 x 2 + 2x + 3 dx. Soluci´on.- 1 2 ln(x 2 + 2x + 3) + C. 34. Calcular la integral _ e 2x dx. Soluci´on.- 1 2 e 2x + C. 35. Calcular la integral _ e x 2 dx. Soluci´on.- 2e x 2 + C. 36. Calcular la integral _ e sin x cos xdx. Soluci´on.- e sin x + C. 37. Calcular la integral _ 3 x e x dx. Soluci´on.- 3 x e x ln3 + 1 + C. 38. Calcular la integral _ e −3x dx. Soluci´on.- − 1 3 e −3x + C. 39. Calcular la integral _ e x 2 +4x+3 (x + 2)dx. Soluci´on.- 1 2 e x 2 +4x+3 + C. 40. Calcular la integral _ 1 1 + 2x 2 dx. Soluci´on.- 1 √ 2 arctan( √ 2x) + C. 41. Calcular la integral _ 1 √ 1 − 3x 2 dx. Soluci´on.- 1 √ 3 arcsin( √ 3x) + C. 14 42. Calcular la integral _ 1 √ 9 − x 2 dx. Soluci´on.- arcsin x 3 + C. 43. Calcular la integral _ 1 4 + x 2 dx. Soluci´on.- 1 2 arctan x 2 + C. 15 Integraci´on por partes Recordemos la f´ormula de la deriva del producto de funciones d dx [u(x)v(x)] = u (x)v(x) + u(x)v (x), que expresada bajo forma de diferencial da lugar a d[u(x)v(x)] = d[u(x)]v(x) + u(x)d[v(x)]. De donde se obtiene, u(x)d[v(x)] = d[u(x)v(x)] − v(x)d[u(x)]. Integrando ahora ambos miembros tendremos _ u(x)d[v(x)] = u(x)v(x) − _ v(x)d[u(x)], que se escribe tambi´en en forma abreviada, _ udv = uv − _ vdu. (1) Esta expresi´on es conocida como la f´ormula de la integraci´on por partes y es de gran utilidad para la resoluci´on de integrales. Se aplica a la resoluci´on de las integrales _ udv a partir de la integral _ vdu que se supone m´as sencilla. La aplicaci´on de (1) exige primero identificar adecuadamente en el integrando las funciones u(x) y v(x). Veamos un ejemplo Ejemplo 1 Si queremos calcular la integral _ x 3 lnxdx, observemos que la integral de x 3 es inmediata y que la derivada de lnx es tambi´en muy sencilla. As´ı, si asignamos u = lnx y dv = x 3 dx, tendremos du = dx x y v = x 4 4 + C 1 , si integramos ahora _ x 3 lnxdx = _ lnx _ d _ x 4 4 + C 1 __ = _ x 4 4 + C 1 _ lnx − _ _ x 4 4 + C 1 _ dx x = _ x 4 4 + C 1 _ lnx − _ _ x 3 4 + C 1 x _ dx = x 4 4 lnx − x 4 16 + C. Observemos que la primera constante de integraci´on C 1 se cancela de la respuesta final (C 1 lnx− C 1 lnx). Este es siempre el caso cuando integramos por partes, por ello, en la pr´actica, nunca incluimos una constante de integraci´ on en v(x), simplemente tomaremos para v(x) cualquier primitiva de dv(x). 16 Algunos tipos de integrales que se resuelven por partes _ x n e x dx u = x n dv = e x dx _ x n sinxdx u = x n dv = sinxdx _ x n cos xdx u = x n dv = cos xdx _ x n lnxdx u = lnx dv = x n dx _ arctanxdx u = arctanx dv = dx _ arcsinxdx u = arcsinx dv = dx _ lnxdx u = lnx dv = dx Ejercicios de integraci´on por partes 1. Calcular la integral _ xe x dx. Soluci´on.- xe x − e x + C. 2. Calcular la integral _ lnxdx. Soluci´on.- xlnx − x + C. 3. Calcular la integral _ x 2 e 3x dx. Soluci´on.- e 3x _ x 2 3 − 2x 9 + 2 27 _ + C. 4. Calcular la integral _ x 3 e −x dx. Soluci´on.- −e −x _ x 3 + 3x 2 + 6x + 6 _ + C. 5. Calcular la integral _ xsinxdx. Soluci´on.- −xcos x + sinx + C. 6. Calcular la integral _ x 2 cos 2xdx. Soluci´on.- x 2 sin2x 2 + xcos 2x 2 − 1 4 sin2x + C. 7. Calcular la integral _ e x sinxdx. Soluci´on.- −e x cos x + e x sinx 2 + C. 8. Calcular la integral _ x 5 e x 3 dx. Soluci´on.- e x 3 3 (x 3 − 1) + C. 17 Ejercicios de integrales definidas y c´alculo de ´areas 1. Calcular la integral definida _ 1 0 x 4 dx. Soluci´on.- 1 5 . 2. Calcular la integral definida _ 1 0 e x dx. Soluci´on.- e − 1. 3. Calcular la integral definida _ π 2 0 sinxdx. Soluci´on.- 1. 4. Calcular la integral definida _ 1 0 1 1 + x 2 dx. Soluci´on.- π 4 . 5. Hallar el ´area de la figura comprendida entre la curva y = 4 − x 2 y el eje X. Soluci´on.- 10 2 3 . 6. Hallar el ´area de la figura comprendida entre las curvas y 2 = 9x e y = 3x. Soluci´on.- 1 2 . 7. Hallar el ´area de la figura limitada por la hip´erbola equil´atera xy = a 2 , el eje X y las rectas x = a y x = 2a. Soluci´on.- a 2 ln2.
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