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Ejercicios Resueltos de Derivadas

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Ejerciciosdederivadaseintegrales Este material puede descargarse desdehttp://www.uv.es/~montes/biologia/matcero.pdf Departamentd’Estad´ısticaiInvestigaci´oOperativa UniversitatdeVal`encia Derivadas Reglasdederivaci´ on Suma d dx [f(x) + g(x)] = f (x) + g (x) d dx [kf(x)] = kf (x) Producto d dx [f(x)g(x)] = f (x)g(x) + f(x)g (x) Cociente d dx ¸ f(x) g(x) = f (x)g(x) − f(x)g (x) g(x) 2 d dx {f[g(x)]} = f [g(x)]g (x) Regladelacadena d dx {f(g[h(x)])} = f (g[h(x)])g [h(x)]h (x) d dx (x k ) = kx k−1 d dx [f(x) k ] = kf(x) k−1 f (x) Potencia d dx ( √ x) = d dx (x 1/2 ) = 1 2 √ x d dx [ f(x)] = f (x) 2 f(x) d dx 1 x = d dx (x −1 ) = − 1 x 2 d dx ¸ 1 f(x) = − f (x) f(x) 2 2 Reglasdederivaci´ on(continuaci´ on) d dx (sin x) = cos x d dx [sin f(x)] = cos f(x)f (x) Trigonom´etricas d dx (cos x) = −sinx d dx [cos f(x)] = −sin f(x)f (x) d dx (tan x) = 1 + tan 2 x d dx [tan f(x)] = [1 + tan 2 f(x)]f (x) d dx (arcsinx) = 1 √ 1 − x 2 d dx [arcsin f(x)] = f (x) 1 − f(x) 2 Funcionesdearco d dx (arc cos x) = −1 √ 1 − x 2 d dx [arc cos f(x)] = −f (x) 1 − f(x) 2 d dx (arctanx) = 1 1 + x 2 d dx [arctan f(x)] = f (x) 1 + f(x) 2 d dx (e x ) = e x d dx (e f(x) ) = e f(x) f (x) Exponenciales d dx (a x ) = a x ln a d dx (a f(x) ) = a f(x) ln af (x) d dx (ln x) = 1 x d dx (ln f(x)) = f (x) f(x) Logar´ıtmicas d dx (lg a x) = 1 x 1 ln a d dx (lg a f(x)) = f (x) f(x) 1 ln a 3 Ejerciciosdederivadas 1. Determinar las tangentes de los ´angulos que forman con el eje positivo de lasx las l´ıneas tangentes a la curvay = x 3 cuandox = 1/2 yx = −1, construir la gr´afica y representar las l´ıneas tangentes. Soluci´on.- a) 3/4, b) 3. 2. Determinar las tangentes de los ´angulos que forman con el eje positivo de lasx las l´ıneas tangentes a la curvay = 1/x cuandox = 1/2 yx = 1, construir la gr´afica y representar las l´ıneas tangentes. Soluci´on.- a) -4, b) -1. 3. Hallar la derivada de la funci´ony = x 4 + 3x 2 − 6. Soluci´on.-y = 4x 3 + 6x. 4. Hallar la derivada de la funci´ony = 6x 3 − x 2 . Soluci´on.-y = 18x 2 − 2x. 5. Hallar la derivada de la funci´ony = x 5 a+b − x 2 a−b . Soluci´on.-y = 5x 4 a+b − 2x a−b . 6. Hallar la derivada de la funci´ony = x 3 −x 2 +1 5 . Soluci´on.-y = 3x 2 −2x 5 . 7. Hallar la derivada de la funci´ony = 2ax 3 − x 2 b + c. Soluci´on.-y = 6ax 2 − 2x b . 8. Hallar la derivada de la funci´ony = 6x 7 2 + 4x 5 2 + 2x. Soluci´on.-y = 21x 5 2 + 10x 3 2 + 2. 9. Hallar la derivada de la funci´ony = √ 3x + 3 √ x + 1 x . Soluci´on.-y = √ 3 2 √ x + 1 3 3 √ x 2 − 1 x 2 . 10. Hallar la derivada de la funci´ony = (x+1) 3 x 3 2 . Soluci´on.-y = 3(x+1) 2 (x−1) 2x 5 2 . 11. Hallar la derivada de la funci´ony = 3 √ x 2 − 2 √ x + 5. Soluci´on.-y = 2 3 1 3 √ x − 1 √ x . 12. Hallar la derivada de la funci´ony = ax 2 3 √ x + b x √ x − 3 √ x √ x . Soluci´on.-y = 5 3 ax 2 3 − 3 2 bx − 5 2 + 1 6 x − 7 6 . 13. Hallar la derivada de la funci´ony = (1 + 4x 3 )(1 + 2x 2 ). Soluci´on.-y = 4x(1 + 3x + 10x 3 ). 14. Hallar la derivada de la funci´ony = x(2x − 1)(3x + 2). Soluci´on.-y = 2(9x 2 + x − 1). 4 15. Hallar la derivada de la funci´ony = (2x − 1)(x 2 − 6x + 3). Soluci´on.-y = 6x 2 − 26x + 12. 16. Hallar la derivada de la funci´ony = 2x 4 b 2 −x 2 . Soluci´on.-y = 4x 3 (2b 2 −x 2 ) (b 2 −x 2 ) 2 . 17. Hallar la derivada de la funci´ony = a−x a+x . Soluci´on.-y = − 2a (a+x) 2 . 18. Hallar la derivada de la funci´onf(t) = t 3 1+t 2 . Soluci´on.-f (t) = t 2 (3+t 2 (1+t 2 ) 2 . 19. Hallar la derivada de la funci´onf(s) = (s+4) 2 s+3 . Soluci´on.-f (s) = (s+2)(s+4) (s+3) 2 . 20. Hallar la derivada de la funci´ony = x 3 +1 x 2 −x−2 . Soluci´on.-y = x 4 −2x 3 −6x 2 −2x+1 (x 2 −x−2) 2 . 21. Hallar la derivada de la funci´ony = (2x 2 − 3) 2 . Soluci´on.-y = 8x(2x 2 − 3). 22. Hallar la derivada de la funci´ony = (x 2 + a 2 ) 5 . Soluci´on.-y = 10x(x 2 + a 2 ) 4 . 23. Hallar la derivada de la funci´ony = √ x 2 + a 2 . Soluci´on.-y = x √ x 2 +a 2 . 24. Hallar la derivada de la funci´ony = (a + x) √ a − x. Soluci´on.-y = a−3x 2 √ a−x . 25. Hallar la derivada de la funci´ony = 1+x 1−x . Soluci´on.-y = 1 (1−x) √ 1−x 2 . 26. Hallar la derivada de la funci´ony = 2x 2 −1 x √ 1+x 2 . Soluci´on.-y = 1+4x 2 x 2 (1+x 2 ) 3 2 . 27. Hallar la derivada de la funci´ony = 3 √ x 2 + x + 1. Soluci´on.-y = 2x+1 3 3 √ (x 2 +x+1) 2 . 28. Hallar la derivada de la funci´ony = (1 + 3 √ x) 3 . Soluci´on.-y = 1 + 1 3 √ x 2 . 5 29. Hallar la derivada de la funci´ony = sin 2 x. Soluci´on.-y = sin 2x. 30. Hallar la derivada de la funci´ony = 2 sin x + cos 3x. Soluci´on.-y = 2 cos x − 3 sin 3x. 31. Hallar la derivada de la funci´ony = tan(ax + b). Soluci´on.-y = a cos 2 (ax+b) . 32. Hallar la derivada de la funci´ony = sin x 1+cos x . Soluci´on.-y = 1 1+cos x . 33. Hallar la derivada de la funci´ony = sin 2xcos 3x. Soluci´on.-y = 2 cos 2xcos 3x − 3 sin 2xsin 3x. 34. Hallar la derivada de la funci´ony = cot 2 5x. Soluci´on.-y = −10 cot 5xcsc 2 5x. 35. Hallar la derivada de la funci´onf(t) = t sin t + cos t. Soluci´on.-f (t) = t cos t. 36. Hallar la derivada de la funci´onf(t) = sin 3 t cos t. Soluci´on.-f (t) = sin 2 t(3 cos 2 t − sin 2 t). 37. Hallar la derivada de la funci´ony = a √ cos 2x. Soluci´on.-y = − a sin 2x √ cos 2x . 38. Hallar la derivada de la funci´ony = 1 2 tan 2 x. Soluci´on.-y = tan xsec 2 x. 39. Hallar la derivada de la funci´ony = ln cos x. Soluci´on.-y = −tan x. 40. Hallar la derivada de la funci´ony = ln tan x. Soluci´on.-y = 2 sin 2x . 41. Hallar la derivada de la funci´ony = ln sin 2 x. Soluci´on.-y = 2 cot x. 42. Hallar la derivada de la funci´ony = tan x−1 sec x . Soluci´on.-y = sin x + cos x. 43. Hallar la derivada de la funci´ony = ln 1+sin x 1−sin x . Soluci´on.-y = 1 cos x . 44. Hallar la derivada de la funci´onf(x) = sin(ln x). Soluci´on.-f (x) = cos(ln x) x . 6 45. Hallar la derivada de la funci´onf(x) = tan(ln x). Soluci´on.-f (x) = sec 2 (ln x) x . 46. Hallar la derivada de la funci´onf(x) = sin(cos x). Soluci´on.-f (x) = −sin xcos(cos x). 47. Hallar la derivada de la funci´ony = ln 1+x 1−x . Soluci´on.-y = 2 1−x 2 . 48. Hallar la derivada de la funci´ony = log 3 (x 2 − sinx). Soluci´on.-y = 2x−cos x (x 2 −sin x) ln 3 . 49. Hallar la derivada de la funci´ony = ln 1+x 2 1−x 2 . Soluci´on.-y = 4x 1−x 4 . 50. Hallar la derivada de la funci´ony = ln(x 2 + x). Soluci´on.-y = 2x+1 x 2 +x . 51. Hallar la derivada de la funci´ony = ln(x 3 − 2x + 5). Soluci´on.-y = 3x 2 −2 x 3 −2x+5 . 52. Hallar la derivada de la funci´ony = xln x. Soluci´on.-y = ln x + 1. 53. Hallar la derivada de la funci´ony = ln 3 x. Soluci´on.-y = 3 ln 2 x x . 54. Hallar la derivada de la funci´ony = ln(x + √ 1 + x 2 ). Soluci´on.-y = 1 √ 1+x 2 . 55. Hallar la derivada de la funci´ony = ln(ln x). Soluci´on.-y = 1 x ln x . 56. Hallar la derivada de la funci´ony = e (4x+5) . Soluci´on.-y = 4e (4x+5) . 57. Hallar la derivada de la funci´ony = a x 2 . Soluci´on.-y = 2xa x 2 ln a. 58. Hallar la derivada de la funci´ony = 7 (x 2 +2x) . Soluci´on.-y = 2(x + 1)7 (x 2 +2x) ln 7. 59. Hallar la derivada de la funci´ony = e x (1 − x 2 ). Soluci´on.-y = e x (1 − 2x − x 2 ). 60. Hallar la derivada de la funci´ony = e x −1 e x +1 . Soluci´on.-y = 2e x (e x +1) 2 . 7 61. Hallar la derivada de la funci´ony = e sin x . Soluci´on.-y = e sin x cos x. 62. Hallar la derivada de la funci´ony = a tan nx . Soluci´on.-y = na tan nx sec 2 nxln a. 63. Hallar la derivada de la funci´ony = e cos x sin x. Soluci´on.-y = e cos x (cos x − sin 2 x). 64. Hallar la derivada de la funci´ony = e x ln(sin x). Soluci´on.-y = e x (cot x + ln(sin x)). 65. Hallar la derivada de la funci´ony = x 1 x . Soluci´on.-y = x 1 x 1−ln x x 2 . 66. Hallar la derivada de la funci´ony = x ln x . Soluci´on.-y = x ln x−1 ln x 2 . 67. Hallar la derivada de la funci´ony = x x . Soluci´on.-y = x x (1 + ln x). 68. Hallar la derivada de la funci´ony = e x x . Soluci´on.-y = e x x (1 + ln x)x x . 8 Integrales Tabladeintegralesinmediatas x p dx = x p+1 p + 1 + C (p = −1) f(x) p f (x)dx = f(x) p+1 p + 1 + C (p = −1) 1 x dx = ln |x| + C f (x) f(x) dx = ln |f(x)| + C sinxdx = −cos x + C f (x) sin f(x)dx = −cos f(x) + C cos xdx = sin x + C f (x) cos f(x)dx = sin f(x) + C 1 cos 2 x dx = tan x + C f (x) cos 2 f(x) dx = tan f(x) + C 1 sin 2 x dx = −cot x + C f (x) sin 2 f(x) dx = −cot f(x) + C 1 1 + x 2 dx = arctan x + C f (x) 1 + f(x) 2 dx = arctan f(x) + C 1 √ 1 − x 2 dx = arcsin x + C f (x) 1 − f(x) 2 dx = arcsin f(x) + C 10 Tabladeintegralesinmediatas(continuaci´ on) −1 √ 1 − x 2 dx = arc cos x + C −f (x) 1 − f(x) 2 dx = arc cos f(x) + C e x dx = e x + C f (x)e f(x) dx = e f(x) + C a x dx = a x ln a + C f (x)a f(x) dx = a f(x) ln a + C Ejerciciosdeintegralesindefinidas 1. Calcular la integral x 5 dx. Soluci´on.- x 6 6 + C. 2. Calcular la integral (x + √ x)dx. Soluci´on.- x 2 2 + 2x √ x 3 + C. 3. Calcular la integral 3 √ x − x √ x 4 dx. Soluci´on.- 6 √ x − 1 10 x 2 √ x + C. 4. Calcular la integral x 2 √ x dx. Soluci´on.- 2 5 x 2 √ x + C. 5. Calcular la integral 1 x 2 + 4 x √ x + 2 dx. Soluci´on.- − 1 x − 8 √ x + 2x + C. 6. Calcular la integral 1 4 √ x dx. Soluci´on.- 4 3 4 √ x 3 + C. 11 7. Calcular la integral e 5x dx. Soluci´on.- 1 5 e 5x + C. 8. Calcular la integral cos 5xdx. Soluci´on.- sin 5x 5 + C. 9. Calcular la integral sin axdx. Soluci´on.- − cos ax a + C. 10. Calcular la integral ln x x dx. Soluci´on.- 1 2 ln 2 x + C. 11. Calcular la integral 1 sin 2 3x dx. Soluci´on.- − cot 3x 3 + C. 12. Calcular la integral 1 cos 2 7x dx. Soluci´on.- tan 7x 7 + C. 13. Calcular la integral 1 3x − 7 dx. Soluci´on.- 1 3 ln |3x − 7| + C. 14. Calcular la integral 1 1 − x dx. Soluci´on.- −ln |1 − x| + C. 15. Calcular la integral 1 5 − 2x dx. Soluci´on.- − 1 2 ln |5 − 2x| + C. 16. Calcular la integral tan 2xdx. Soluci´on.- − 1 2 ln | cos 2x| + C. 17. Calcular la integral sin 2 xcos xdx. Soluci´on.- sin 3 x 3 + C. 18. Calcular la integral cos 3 xsin xdx. Soluci´on.- − cos 4 x 4 + C. 12 19. Calcular la integral x √ x 2 + 1dx. Soluci´on.- 1 3 (x 2 + 1) 3 + C. 20. Calcular la integral x √ 2x 2 + 3 dx. Soluci´on.- 1 2 2x 2 + 3 + C. 21. Calcular la integral cos x sin 2 x dx. Soluci´on.- − 1 sin x + C. 22. Calcular la integral sinx cos 3 x dx. Soluci´on.- 1 2 cos 2 x + C. 23. Calcular la integral tan x cos 2 x dx. Soluci´on.- tan 2 x 2 + C. 24. Calcular la integral cot x sin 2 x dx. Soluci´on.- − cot 2 x 2 + C. 25. Calcular la integral ln(x + 1) x + 1 dx. Soluci´on.- ln 2 (x + 1) 2 + C. 26. Calcular la integral cos x √ 2 sin x + 1 dx. Soluci´on.- √ 2 sin x + 1 + C. 27. Calcular la integral sin 2x (1 + cos 2x) 2 dx. Soluci´on.- 1 2(1 + cos 2x) + C. 28. Calcular la integral sin 2x 1 + sin 2 x dx. Soluci´on.- 2 1 + sin 2 x + C. 29. Calcular la integral √ tan x + 1 cos 2 x dx. Soluci´on.- 2 3 (tan x + 1) 3 + C. 13 30. Calcular la integral ln 2 x x dx. Soluci´on.- ln 3 x 3 + C. 31. Calcular la integral arcsin x √ 1 − x 2 dx. Soluci´on.- arcsin 2 x 2 + C. 32. Calcular la integral x x 2 + 1 dx. Soluci´on.- 1 2 ln(x 2 + 1) + C. 33. Calcular la integral x + 1 x 2 + 2x + 3 dx. Soluci´on.- 1 2 ln(x 2 + 2x + 3) + C. 34. Calcular la integral e 2x dx. Soluci´on.- 1 2 e 2x + C. 35. Calcular la integral e x 2 dx. Soluci´on.- 2e x 2 + C. 36. Calcular la integral e sin x cos xdx. Soluci´on.-e sin x + C. 37. Calcular la integral 3 x e x dx. Soluci´on.- 3 x e x ln 3 + 1 + C. 38. Calcular la integral e −3x dx. Soluci´on.- − 1 3 e −3x + C. 39. Calcular la integral e x 2 +4x+3 (x + 2)dx. Soluci´on.- 1 2 e x 2 +4x+3 + C. 40. Calcular la integral 1 1 + 2x 2 dx. Soluci´on.- 1 √ 2 arctan( √ 2x) + C. 41. Calcular la integral 1 √ 1 − 3x 2 dx. Soluci´on.- 1 √ 3 arcsin( √ 3x) + C. 14 42. Calcular la integral 1 √ 9 − x 2 dx. Soluci´on.- arcsin x 3 + C. 43. Calcular la integral 1 4 + x 2 dx. Soluci´on.- 1 2 arctan x 2 + C. 15 Integraci´onporpartes Recordemos la f´ormula de la deriva del producto de funciones d dx [u(x)v(x)] = u (x)v(x) + u(x)v (x), que expresada bajo forma de diferencial da lugar a d[u(x)v(x)] = d[u(x)]v(x) + u(x)d[v(x)]. De donde se obtiene, u(x)d[v(x)] = d[u(x)v(x)] − v(x)d[u(x)]. Integrando ahora ambos miembros tendremos u(x)d[v(x)] = u(x)v(x) − v(x)d[u(x)], que se escribe tambi´en en forma abreviada, udv = uv − vdu. (1) Esta expresi´on es conocida como la f´ormula dela integraci´on por partesy es de gran utilidad paralaresoluci´ondeintegrales. Seaplicaalaresoluci´ondelasintegrales udvapartirde laintegral vduquesesuponem´assencilla. Laaplicaci´onde(1)exigeprimeroidentificar adecuadamente en el integrando las funcionesu(x) yv(x). Veamos un ejemplo Ejemplo1Si queremos calcular la integral x 3 ln xdx, observemos que la integral de x 3 es inmediata y que la derivada de ln x es tambi´en muy sencilla. As´ı, si asignamos u = ln x y dv = x 3 dx, tendremos du = dx x y v = x 4 4 + C 1 , si integramos ahora x 3 ln xdx = ln x ¸ d x 4 4 + C 1 = x 4 4 + C 1 lnx − x 4 4 + C 1 dx x = x 4 4 + C 1 lnx − x 3 4 + C 1 x dx = x 4 4 ln x − x 4 16 + C. Observemos que la primera constante de integraci´on C 1 se cancela de la respuesta final (C 1 ln x− C 1 ln x). Este es siempre el caso cuando integramos por partes, por ello, en la pr´actica, nunca incluimosunaconstantedeintegraci´ onenv(x), simplementetomaremosparav(x)cualquier primitiva dedv(x). 16 Algunostiposdeintegralesqueseresuelvenporpartes x n e x dx u = x n dv = e x dx x n sinxdx u = x n dv = sin xdx x n cos xdx u = x n dv = cos xdx x n lnxdx u = ln x dv = x n dx arctan xdx u = arctan x dv = dx arcsin xdx u = arcsin x dv = dx ln xdx u = ln x dv = dx Ejerciciosdeintegraci´onporpartes 1. Calcular la integral xe x dx. Soluci´on.-xe x − e x + C. 2. Calcular la integral ln xdx. Soluci´on.-xln x − x + C. 3. Calcular la integral x 2 e 3x dx. Soluci´on.-e 3x x 2 3 − 2x 9 + 2 27 + C. 4. Calcular la integral x 3 e −x dx. Soluci´on.- −e −x x 3 + 3x 2 + 6x + 6 + C. 5. Calcular la integral xsinxdx. Soluci´on.- −xcos x + sin x + C. 6. Calcular la integral x 2 cos 2xdx. Soluci´on.- x 2 sin 2x 2 + xcos 2x 2 − 1 4 sin 2x + C. 7. Calcular la integral e x sinxdx. Soluci´on.- −e x cos x + e x sin x 2 + C. 8. Calcular la integral x 5 e x 3 dx. Soluci´on.- e x 3 3 (x 3 − 1) + C. 17 Ejerciciosdeintegralesdefinidasyc´alculode´areas 1. Calcular la integral definida 1 0 x 4 dx. Soluci´on.- 1 5 . 2. Calcular la integral definida 1 0 e x dx. Soluci´on.-e − 1. 3. Calcular la integral definida π 2 0 sinxdx. Soluci´on.- 1. 4. Calcular la integral definida 1 0 1 1 + x 2 dx. Soluci´on.- π 4 . 5. Hallar el ´area de la figura comprendida entre la curvay = 4 − x 2 y el ejeX. Soluci´on.- 10 2 3 . 6. Hallar el ´area de la figura comprendida entre las curvasy 2 = 9x ey = 3x. Soluci´on.- 1 2 . 7. Hallarel ´areadelafiguralimitadaporlahip´erbolaequil´ateraxy=a 2 , el ejeXylas rectasx = a yx = 2a. Soluci´on.-a 2 ln 2.
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